结构力学第六章结构位移计算

1、1 2 A 第六章 结构位移计算 61 概述 62 变形体系的虚功原理 63 位移计算的一般公式 64 静定结构在荷载作用下的位移计算 65 图乘法 66 静定结构温度变化时的位移计算 67 静定结构支座移动时的位移计算 68 线弹性结构的互等定理 3 61 概 述 1. 变形和位移 在荷载作用下，结构将产生变形 和位移。 变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。 2. 位移的分类 A P A A 线位移： AA 角位移：A (A) Ay Ax Ay Ax A 绝对位移 相对位移 P AB CDCD C D CD= C+ D C D 4 3. 计算位移的目的 （1）校核结构的

2、刚度。 （2）结构施工的需要。 除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。 结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。 （3）为分析超静定结构打 基础。 起拱高度 5 62 变形体系的虚功原理 1. 功、实功与虚功 A dW=PdW=P w= （a a） （1）功 P dS S B dSdS CosCos s dWdW= = s P PCosCos dS dS 6 常力功 W=W=(b)(b) 变力功 由AB, W=W=（c c） 力偶功 P P AB （d d） d P A B

3、 常力常力 W=W= 变力变力 W=W= P PCosCos 2 2 1 1 P PCosCos MM 2 2 1 1 MM 力由0P M=PdM=Pd 7 （2）实功与虚功 实功： AB P1 1 虚功： W= AB P2 2 力在其它 因素引起的位移上所作 的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系 的两种彼此无关的状态。 例如： 例如：W12=P12 11 P 2 1 力在本身引起的位移上所作的功。 1 2 8 2. 变形体的虚功原理： 变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小 虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段 上内力所作的变形虚功总和。（证明从略）即 W外=W内 或写成

4、 W=Wi （61） 式(61）称为虚功方程，式中 W Wi 外力虚功 内力虚功 9 AB 力状态 P q M dS 内力虚功的计算 给定力状态 RA RB 给定位移状态 位移状态位移状态 dWi=Ndu+QdS+Md Wi= MdNdu 微段dS上内力的变形虚功为 整个结构内力的变形虚功为 （62) 虚功方程为 W= MdNdu （63) dsQ dsQ q N NN+dNN+dN QQ Q+dQQ+dQ MM M+dMM+dM dS ds dS du dS dxdx d d dS AB 10 1. 位移计算的一般公式 设平面杆系结构由 于荷载、温度变化及支 座移动等因素引起位移 如图示。

5、P2 P1 K k k K K K 利用虚功原理计算 c1 c2 c3 k k PK=1 实际状态位移状态 c1、c2、c3、K du、d、ds ds 虚拟状态力状态 ds K QMN、dSddu、 外力虚功 3 3 2 2 1 1 KK CRCRCRPW=CR K 内力虚功 Wi= dSQdMduN 可得 dsQdMduNCR K 求任一指定截面K K 沿任一指定方向 kk 上的位移K 。 1PRQMN K i、 (75) t1 t2 cRdsQdMduN K (64) 这便是平面杆系结构位移计算的一般公式，若计算结 果为正，所求位移K与假设的 PK=1同向，反之反向。 这种方法又称为单位荷

6、载法单位荷载法。 63 位移计算的一般公式 单位荷载法 11 2. 虚拟状态的设置 在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设 置相应的虚拟力状态。 例如: A 求求AH AH 实际状态虚拟状态 A 1 A 求求 A A 1 虚拟状态 A A 虚拟状态虚拟状态 B 求求AB AB 1 1 B 求 求 AB AB 1 1 12 64 静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位 移KP，此时没有支座位移，故式（64）为 dsQduNdM PPP KP= 式中： QNM、 为虚拟状态中微段上的内力；dP、duP、 Pds为实际状态中微段上的变形。由材料力学知 （a

7、） dP= EI dsMP duP= EA dsN P Pds= GA dskQP 将以上诸式代入式（a a）得 KP= GA dsQQk EA dsNN EI dsMM PPP （65） 13 1. 梁和刚架梁和刚架 KP= EI dsMM P （66） 2.2.桁架桁架 KP= EA LNN ds EA NN EA dsNN PPP （67） 3. 组合结构组合结构 KP= EI dsMM P EA LNN P （68） 在实际计算时，根据结构的具体情况,式（65） 可以简化： 14 例 61 求图示刚架A点 的 竖 向位移Ay。E、A、 I为常数。 A B C q L L L A A B

8、 C 1 解： 1. 设置虚拟状态 x x 选取坐标如图。 则各杆弯矩方程为: AB段： Mx,BC段： LM 2. 实际状态中各杆弯矩方程为 AB段：BC段：MP=MP= x x 2 qx 2 2 qL 2 3. 代入公式（66）得 Ay= EI8 qL5 4 ， () EI dsMM P = l 0(-x)(-2 qx2) EI dx + l 0 (-L)(- 2 qL 2 ) EI dx 15 65 图 乘 法 KP= EI dsMM P 当结构符合下述条件时： （1）杆轴为直线； （2）EI=常数； 上述 积分可以得到简化。 M MP图图 和M两个弯矩图 中至少有一个是直线图形。 （3

9、） x y 面积面积 设等截面直杆AB段的两个弯矩图中， M 为一段直线，MP图为任意 形状， AB O 则上式中的ds可用dx代替。 AB MP M dx 故有M=xtg,且tg=常数，则 EI dsMM P d =MPdx x 图M EI tg xMPdx = EI tg xd 1. 图乘法: 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算 下面的积分 16 MP图 x y 形心形心 C 面积 AB O AB MP M dx d=MPdx x xC 图M 有 yC yC=xCtg 则积分运算化简为 一个弯矩图的面积乘 以其形心处所对应的另 一个直线弯矩图上的竖 标 yC。 如果结构上所有各 杆段

10、均可图乘则位移计 算公式（66）可写成 KP= (69) 而 C xxd EI dsMM P EI xd tg EI dsMM P EI xC tg EI dsMM P EI yC EI dsMM P EI yC 17 2. 图乘法的注意事项 （1）必须符合上述三个前提条件； （2）竖标yC只能取自直线图形； （3）与yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。 3. 常用的几种简单图形的面积和形心 L h 2L/3L/3 2 hL L h ab （L+a)/3(L+b)/3 2 hL 形心 形心 18 L h 二次抛物线 顶点 L/2 3 hL2 二次抛物线 L h 4L/5 L/5 3L/8

11、5L/8 1 2 1=2/3(hL) 2=1/3(hL) 顶点 19 4 .图乘的技巧 当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单 图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。 例如： 图M MP图 a b c d d L 则 dxMM EI 1 P )y 2 bL y 2 aL ( EI 1 ba ya=2/3c+1/3d yb=1/3c+2/3d 图M MP图 a b c d d ya yb 此时 ya=2/3c1/3d yb=2/3d1/3c ybya 20 MA 8 qL 2 QA MA QB MB MB 对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均 可看成一个梯形与一个

12、标准抛物线图形的叠加。 叠加后的抛物线 图形（）与原抛物 线图形（）的面积 大小和形心位置以及 形心处的竖标仍然是 相同的。 A BL 21 当yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的 截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。 12 3 y1 y2 y3 1 2 3 y1 y2y3 = EI 1 (1y1+ 2y2+ 3y3) I1 I2I3 = 3 33 2 22 1 11 EI y EI y EI y 22 例 62 求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。 设EI=常数。 A B CD L h q 解：1. 作实际状态的MP图。 MP图图M 2. 设置虚拟状态并作 图M 。 11 hh

13、yC=h 3. 按式（69）计算 （）CD= EI yC = EI 1 ( 3 2 8 qL 2 L)h = 12EI qhL 2 形心 8 qL 2 23 例 63 求图示刚架A点的竖向位移Ay 。 A BC D EI EI 2EI P L LL/2 解： 1. 作MP图、 图M P 2 PL 2 PL PL MP图图M 1 L ； 2. 图乘计算。 Ay=（） 2 PL 4 PL EI yC = EI 1 ( 2 L L 2 PL (L 4 = 16EI PL 2 )- 2EI 1 2 3L)PL 24 例 64 求图示外伸梁C点的竖向位移Cy。 EI=常数。 q A BC L2 L 8

14、qL 2 M图1 1 y2 y3 + 解： 1. 作MP图 2. 作M图 3. 图乘计算 y1= 8 L3 y2= 3 L y3= 4 L Cy=)( EI128 qL EI y 4 C y1 8 qL 2 MP图 2 8 qL 2 3 2 L 整理课件25 例 65 试求图示梁试求图示梁B端转角端转角 解解: s EI MM P B d EI yc A B P 2/ l2/ l EI B A B 1M 4/Pl 1 MPMi )( 16 1 2 1 42 11 2 EI Pl Pl l EI 整理课件26 例 66 试求图示结构试求图示结构B点竖向位移点竖向位移 解解: s EI MM P

15、By d EI yc Pl MPMi )( 3 4 ) 3 2 2 1 ( 1 3 EI Pl llPlllPl EI 1 l P EI B EI l l 整理课件27 M 图图 2 1 EI ql qll EI B 3 2 24 1 2 1 ) 8 1 3 2 ( 1 （ ） P M图图 2 8 1 ql B A q 1 例 67 求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角 B 解解: B 整理课件28 例 69 已知已知 EI 为常数，求铰为常数，求铰C两侧截面相对转角两侧截面相对转角 。C 解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 A l

16、 q B l C l q 4/ql 4/ql MP 11 0 l /1 1 i M )( 24 2 1 83 21 3 2 EI ql ql EIEI yc CD 4/ 2 ql 4/ 2 ql 整理课件29 例 610 已知已知 EI 为常数，求为常数，求A点竖向位移点竖向位移 。 A )( 48 22 ) 22 1 8 2 3 2 23 2 4 2 2 1 23 2 42 1 ( 1 4 222 EI ql EI lql l lql l lql l EIEI yc CD 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 A q l l l q 4/ql MP 4/ 2 ql

17、 2/1 1 i M 2/ l 整理课件30 例 611 图示梁图示梁EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移。点竖向位移。 i M 2/ l A l/2 q B C l/2 MP 2/ 2 ql 1 C )( 128 5 ) 48224 3 28 3 3 1 ( 1 3 22 EI ql lqllllql EIEI yc C 8/ 2 ql )( 16 1 24 3 23 11 3 2 EI ql lql l EIEI yc c 整理课件31 32/ 2 ql 例 611 图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移 。 i M 2/ l A l/2 q B C l/2 MP

18、 2/ 2 ql 1 C )( 384 17 ) 23 1 822 1 23 2 222 1 22 1 3223 2 ( 1 4 2 22 EI ql lqll lqlllqll EI EI yc c 8/ 2 ql q 8/ 2 ql2/ 2 ql 2/ 2 ql 8/ 2 ql 整理课件32 例 611 图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移 。 i M 2/ l A l/2 q B C l/2 MP 2/ 2 ql 1 C )( 384 17 ) 22 1 82 23 2 422 1 24 3 823 1 ( 1 4 2 22 EI ql lqll lqlllql

19、l EI EI yc c 8/ 2 ql q 8/ 2 ql 2/ql q 8/ 2 ql 4/ 2 ql 2/ql 8/ 2 ql 8/ 2 ql 整理课件33 A l P B l P l )( 3 10 )24 3 2 2 1 ( 1 3 EI Pl lPlllPll EI EI yc ABY 图示结构图示结构 EI 为常数，求为常数，求AB两点两点(1)相对竖向位相对竖向位 移移,(2)相对水平位移相对水平位移,(3)相对转角相对转角 。 i M MP 练习练习 11 Pl l 1 1 ll i M 0 EI yc ABX 0 EI yc AB 对称弯矩图对称弯矩图 反对称弯矩图反对称弯

20、矩图 对称结构的对称弯矩图与对称结构的对称弯矩图与 其反对称弯矩图图乘其反对称弯矩图图乘,结果结果 为零为零. 11 1 1 i M 整理课件34 作变形草图作变形草图 P P Pl 11 1 1 绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意 反弯点的利用。如：反弯点的利用。如： 整理课件35 求求B点水平位移。点水平位移。 练习练习 解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 MP )( 8 5 4 1 2 3 2 2 11 3 EI Pl llPl EI llPl EIEI yc B Pl AB l l EI4

21、P EIEI 1 注意注意:各杆刚度各杆刚度 可能不同可能不同 i M l 整理课件36 已知已知 EI 为常数，求为常数，求B截面转角。截面转角。 MP 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 A B kN/m2 m4 kN6 m2 m3 1 12 4 Mi )( 3 8 ) 2 1 44 3 2 1 3 1 124 2 1 ( 1 EI EIEI y c B 整理课件37 )( 3 11 2 3 ) 3 2 ( 2 1 3 2 2 1 1 3 EI Pl l lPl l llPlllPllPll EIEI yc B 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图

22、和单位荷载弯矩图 求求B点水平位移点水平位移,EI=常数。常数。 A l P B l l MP Pl Pl2 A 1 B l 2 MP l 整理课件38 练习练习 解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 )( 4 3 4 )2)(2( 1 4 3 2 2 11 3 EA Pl EI Pl lP EA llPl EIEA lNN EI y Pic B 求求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。 CD A B l l EA EI CDP P EI l MP Pl Pl 1 1 i M l l 整理课件39 已知：已知： E、I、A为常数，求为常数，求 。 Cy A B

23、 C P 2 l 2 l a D 整理课件40 解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图 )( 44822 11 43 2 ) 422 1 ( 2 3 EA Pa EI Pl a P EA lPll EI Cy A B C P 2 l a D 4 Pl P M 2/PNP 2 l A B C 1 2 l a D 4 l M 2/1 i N 2 l 若把二力杆换成弹簧若把二力杆换成弹簧,该如何计算该如何计算? 整理课件41 B支座处为刚度支座处为刚度k的弹簧，该如何计算的弹簧，该如何计算C点竖向位移？点竖向位移？ 4 Pl P M 2/ P PS 4 l M 2 1 i

24、S A B C 2 l k 2 l =1P A B C 2 l k 2 l k SS s EI MM iPP d 整理课件42 练习练习 解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 )( 42 1 2 1 2 ) 23 2 22 1 2223 1 22 1 42 ( 1 3 k P EI Pl k PlPl l lPl l lPl l lPl l EI EI yc B 求求A点竖向位移点竖向位移,EI=常数常数 。 1/2 i M MP Pl 2/Pl 2/P ll P l A k 1 k 43 66 静定结构温度变化时的位移计算 当静定结构温度发生变化时，由于材料热胀冷

25、缩，结构将产生 变形和位移。 设结构(见图)外侧温度升高 t1，内侧温度升高 t2 ,求K点 的竖向位移Kt 。 t t1 1 t t2 2 K K Kt 现研究实际状态中任一微段ds, 由于温度变化产生的变形。 ds ds Kt= dsQdMduN ttt 此时由式（64）可得 h t1 t2 t2ds t1ds dt dut=(t1ds+t2ds)/2= tds (a) (b) 2 tt t 21 K ds PK=1 ds 实虚 MM NN 式中 dt=(t2ds-t1ds)/h= t= t2t1 (c) h tds 式中将式（b) 、(c)代入式（a)，得 Kt= h tds MtdsN

26、 h dsM tdsNt（610） 温度变化不会引起剪切变形，即t=0 44 Kt h dsM tdsNt（610） 若各杆均为等截面时，则有 Kt MN h t t （611） 在应用上面二式计算时，应注意正负号的确定。当 实际温度变形与虚拟内力方向一致时其乘积为正，相反 时为负。 梁和刚架可略去轴力的影响。 桁架在温度变化时的位移计算公式为 Kt=tLN（612） 桁架因制造误差引起的位移计算与上式类似。设各杆长 度的制造误差为L,其位移计算公式为 K=LN（613） 45 例：65 图示刚架施工时温度为20，求冬季外侧温度 为10，内侧温度为0时A点的竖向位移 Ay。已知L=4m ，=105，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。 L L t1 t2 实实 解： 外侧温度变化 绘 MN、 图， A A 1 虚虚 1 代入式（611），并注意正负号(判断)， L 图M图N Ay MN h t t )L 2 L ( h 10 L) 1()25( 2 2 )(mm5m005. 0 h L15 L25 2 可得 t1= 1020=30, 内侧温度变 化 t2=020=20 。 t=(t1+t2)/2=25 , t=t2t1=