（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.4 空间几何体的表面积与体积课件

1、8.4空间几何体的表面积与体积 第八章 立体几何 KAOQINGKAOXIANGFENXI 考情考向分析 考查简单几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征，要求 考生要有较强的空间想象能力和计算能力，以填空题为主，中低档难度. NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业 1基础知识 自主学习 PART ONE 3. 叫做正棱台，其 侧面积公式是 ； 台体的体积公式是_. 2. ， 则该棱锥为正棱锥.正棱锥的侧面积公式是 ；锥体的体积公式为 _. 知识梳理 1. 叫做直棱柱，直棱柱的侧面积公式是 ， _叫做正棱柱.柱体的体积公式是 . ZH

2、ISHISHULIZHISHISHULI 侧棱和底面垂直的棱柱 S直棱柱侧ch 底面为正多边形的直棱柱 V柱体Sh 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分 4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 ；圆柱的侧 面积公式是 ，圆锥的侧面积公式为 ，圆 台的侧面积公式为 . 5.若球的半径为R，则球的体积V ，球的表面积S . 矩形扇形扇环 S圆柱侧cl2rl 4R2 1.如何求旋转体的表面积？ 提示求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧 面积与底面积之和. 2.如何求不规则几何体的体积？ 提示

3、求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分 割或补形转化为规则的几何体求解. 【概念方法微思考】 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.() (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.() (3)锥体的体积等于底面积与高之积.() 基础自测 JICHUZICEJICHUZICE 题组一思考辨析 123456 (4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R a.() (5)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面 积是2S.() 题组二教材改编 123456 2.P54T2把3个半径为R的

4、铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为_. 解析设圆柱的高为h， 4R h4R. 54 123456 所以侧面积为33654(cm2). 3.P49T1已知正三棱柱的底面边长为3 cm，侧面的对角线长为3 cm，则这 个正三棱柱的侧面积是_ cm2. 123456 270 12 123456 5.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_. 解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2 即为球的直径， 所以球的表面积为4R2(2R)212. 题组三易错自纠 6.已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a，a的矩形，则该圆柱的体积为_. 解析设圆柱的母线长为l，底面圆的半径为r，

5、123456 2题型分类深度剖析 PART TWO 题型一求空间几何体的表面积 自主演练自主演练 1.(2018全国改编)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为_. 12 解析设圆柱的轴截面的边长为x， 2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4， 则其侧棱长为_. 解析依题意可以构造一个正方体，其体对角线就是该三棱锥外接球的直径. 设侧棱长为a，外接球的半径为r. 由外接球的表面积为4，得r1， 3.正六棱台的上、下两底面的边长分别是1 cm,2 cm，高是1 cm，则它的侧面 积为

6、_ cm2. 解析正六棱台的侧面是6个全等的等腰梯形，上底长为1 cm，下底长为2 cm， 高为正六棱台的斜高. 思维升华 求空间几何体表面积的注意点 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的 处理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. 例1(1) (2018宿迁模拟)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAA13， 点P在棱CC1上，则三棱锥PABA1的体积为_. 题型二求空间几何体的体积 师生共研师生共研 解析三棱锥PABA1的体积等于三棱锥BAPA1的体积， (2)(2018南京模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，

7、BB1 3，ABC90，点D为侧棱BB1上的动点.当ADDC1最小时，三棱锥D ABC1的体积为_. 解析几何体展开图如图所示：ABDACC1， AB1，BC2，BB13， AC3，CC13，BD1， 1 DABC V 1 ABC D V 思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接 利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割 法、补形法等方法进行求解. 跟踪训练1(1)(2018江苏南京一中调研)如图所示，已知一个多面体的平面展 开图由一个边长为1的正方形和4个正三角形组成

8、，则该多面体的体积是_. 解析由展开图，可知该多面体是正四棱锥， 底面正方形的边长为1，侧棱长也为1， (2)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE， BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_. 解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连结DG，CH， 多面体的体积VV三棱锥EADGV三棱锥FBCHV三棱柱AGDBHC 2V三棱锥EADGV三棱柱AGDBHC (3)如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为 ，D为BC的中点， 则三棱锥AB1DC1的体积为_. 1 解析如题图， 因为ABC是正三角形， 且D为BC中

9、点，则ADBC. 又因为BB1平面ABC，AD平面ABC， 故BB1AD，且BB1BCB，BB1，BC平面BCC1B1， 所以AD平面BCC1B1， 所以AD是三棱锥AB1DC1的高. 11 AB DC V 三棱锥 11 B DC S 题型三表面积和体积的综合问题 多维探究多维探究 解析将直三棱柱ABCA1B1C1沿棱BB1展开成平面图形， 连结AC1到AC1与BB1的交点即满足AMMC1最小， 1 AMC S 命题点1侧面展开图的应用 例2(1)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC ，AA13， M为线段BB1上的一动点，则当AMMC1最小时，AMC1的面积为_. (2

10、)(2018无锡期末)已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120且面积为3的 扇形，则该圆锥的体积等于_. 解析设圆锥侧面母线长为l，底面半径为r， 命题点2和球有关的表面积、体积问题 解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线， 则垂足为BC的中点M. 例3已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC 4，ABAC，AA112，则球O的半径为_. 引申探究 1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球 的体积各是多少？ 解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱 长即为其内切球的直径. 设该正方体外接球的半径为R，内切球的

11、半径为r. 2.本例若将直三棱柱改为“棱长为a的正四面体”，则此正四面体的表面积S1 与其内切球的表面积S2的比值为多少？ 思维升华 (1)侧面展开图体现的是一种转化思想.用于寻找两种情况下图形长度或角度间 的关系. (2)球的有关问题，可作过球心的截面，以利于求球的半径. 解析连结AC，BD，易知AC平面BDD1B1， 所以AB6， 设球的半径为R，球心到等边ABC的外接圆圆心的距离为d， 所以三棱锥DABC高的最大值为246， 3课时作业 PART THREE 基础保分练 12345678910111213141516 1.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为2 ，则该直四棱

12、柱 的侧面积为_. 12345678910111213141516 1 2.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3 cm，AD2 cm，AA11 cm， 则三棱锥B1ABD1的体积为_ cm3. 1 ABB S 11 BABD V 三棱锥 11 DABB V 三棱锥 解析三棱锥B1ABD1的体积 12345678910111213141516 12345678910111213141516 6 4.(2018南京学情调研)已知圆柱M的底面半径为2，高为6，圆锥N的底面直径 和母线长相等.若圆柱M和圆锥N的体积相等，则圆锥N的高为_. 由圆柱M与圆锥N的体积相等， 解析设圆锥的底面半径

13、为r，高为h， 且扇形的弧长等于底面圆的周长， 又圆锥的母线l3， 12345678910111213141516 12345678910111213141516 6.现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化 后铸造成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径是_ cm. 解析圆锥的高为4 cm， 12345678910111213141516 12345678910111213141516 5 8.将半径为5的圆分割成面积之比为123的三个扇形作为三个圆锥的侧面， 若这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1r2r3_. 解析半径为5的圆的周长是10，

14、由题意知2r12r22r310， 所以r1r2r35. 12345678910111213141516 9.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB4，AA16.若E，F分别是棱 BB1，CC1上的点，则三棱锥AA1EF的体积是_. 解析过点C作CDAB于点D，在正三角形ABC中，AB4， 1 AA EF V 三棱锥 1 FAA E V 三棱锥 12345678910111213141516 3 10.(2018苏州期末)一个长方体的三条棱长分别为3,8,9，若在该长方体上面钻 一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为_. 解析设圆柱的底面半径为r，高为h， 该长方体上面钻孔后其

15、表面积少了两个圆柱底面，多了一个圆柱侧面. 由题意，得r2r22rh，得rh. 经检验，只有r3符合要求，此时在89的面上打孔. 12345678910111213141516 11.如图，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，CDBD. (1)求证：CD平面ABD； 证明AB平面BCD，CD平面BCD， ABCD. CDBD，ABBDB， AB平面ABD，BD平面ABD， CD平面ABD. (2)若ABBDCD1，点M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积. 解AB平面BCD，ABBD. 由(1)知，CD平面ABD， 三棱锥CABM的高hCD1， 因此三棱锥AMBC的体积 123456789101

16、11213141516 12345678910111213141516 12.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90. (1)求证：平面PAB平面PAD； 证明由已知BAPCDP90， 得ABAP，CDPD. 由于ABCD，故ABPD. 又PDAPP，PD，AP平面PAD， 所以AB平面PAD. 又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD. 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解如图，在平面PAD内作PEAD，垂足为E. 由(1)知，AB平面PAD， 故ABAD，ABPE，ADABA，AD，AB平面ABCD， 所以P

17、E平面ABCD. 由ABCD，ABCD，ABAD， 得四边形ABCD为矩形. 12345678910111213141516 可得四棱锥PABCD的侧面积为 技能提升练 13.已知三棱锥OABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心， AOB120，当AOC与BOC的面积之和最大时，三棱锥OABC的体积 为_. 所以当AOCBOC90时，SAOCSBOC取得最大值， 此时OAOC，OBOC，OBOAO，OA，OB平面AOB， 所以OC平面AOB， 12345678910111213141516 12345678910111213141516 5 14.有一根长为3 cm、底面半径为1

18、cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠 绕两圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁线的最短长 度为_ cm. 解析把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)， 由题意知BC3 cm，AB4 cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置， 故线段AC的长度即为铁丝的最短长度. 拓展冲刺练 12345678910111213141516 144 15.已知A，B是球O的球面上两点，AOB150，C为该球面上的动点，若三 棱锥OABC体积的最大值为18，则球O的表面积为_. 解析如图，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积 最大.设球O的半径为R， 故R6，则球O的表面积为S4R2462144. 12345678910111213141516 16.如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四