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文档简介
1、第三节第三节复合函数的导数复合函数的导数 复合函数 教教 材材 研研 读读 考点一 复合函数导数的综合应用 考考 点点 突突 破破 由函数y=f(u)与u=g(x)复合所得的函数y=fg(x)即为复合函数,它的 导数可通过公式yx=yuux来求.特别地,若u=ax+b,则有f (ax+b)=af (x). 教材研读 解析解析设f(x)=sin 2x,则f (x)=2cos 2x,曲线在点P(,0)处的切线的斜率为 f ()=2cos 2=2,故切线方程为y=2(x-). 1.(教材习题改编)求曲线y= sin 2x在点P(,0)处的切线方程. 2.已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a0
2、). (1)若函数y=f(x)的导函数是奇函数,求a的值; (2)求函数y=f(x)的单调区间. 解析解析(1)函数f(x)的定义域为R. 由题意得f (x)=-a. 函数y=f(x)的导函数是奇函数, f (-x)=-f (x), 即-a=-+a, 解得a=. (2)由(1)知f (x)=-a=1-a. e e1 x x e e1 x x e e1 x x 1 2 e e1 x x 1 e1 x 当a1时, f (x)0恒成立, a1,+)时,函数y=f(x)在R上单调递减. 当0a0得(1-a)(ex+1)1, 即ex-1+,解得xln. 由f (x)0得(1-a)(ex+1)1, 即ex
3、-1+,解得x0,函数f(x)=(ax+1)2-x+ln bx,记F(x)=f (x)(f (x)是函数 f(x)的导函数),且当x=1时,F(x)取得极小值2. (1)求函数F(x)的单调增区间; (2)证明:|F(x)n|-|F(xn)|2n-2(nN*). 1 2ab 1 b 1 b 考点突破 解析解析(1)由题意知F(x)=f (x)=2(ax+1)a-+=,x0. 则F(x)=. 若a0,则F(x)0. 令F(x)=0,因为x0,所以当且仅当x=时,F(x)取得极小值2. 则解得 1 2ab 1 b 1 bx 1 b 1 ax x 1 b 2 1 a x 1 a 1 1, 1 (1)
4、2, a a b 1, 1. a b 故F(x)=x+,F(x)=1-(x0). 由F(x)0,得x1,所以函数F(x)的单调增区间为(1,+). (2)证明:记g(x)=|F(x)n|-|F(xn)|. 因为x0,所以g(x)=F(x)n-F(xn)=-=xn-1+xn-2+xn -3 +x. 因为xn-r+xr2(r=1,2,n-1), 所以2g(x)2(+)=2(2n-2),即g(x)2n-2. 1 x 2 1 x 1 n x x 1 n n x x 1 Cn 1 x 2 Cn 2 1 x 3 Cn 3 1 x 1 Cn n 1 1 n x Cr n 1 r x Cn r n 1 n r
5、 x Cr n 1 Cn 2 Cn 3 Cn 1 Cn n 故|F(x)n|-|F(xn)|2n-2(nN*). 典例典例2 (2019江苏三校模拟)设函数f(x)=(ax+1)e-x(aR). (1)当a0时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)对任意的x0,+), f(x)x+1恒成立,求实数a的取值范围. 解析解析(1)当a0时, f (x)=ae-x-(ax+1)e-x=ae-x, 由于e-x0,a0,所以令f (x)0,得x. 所以当a0时, f(x)的单调递增区间是. (2)令h(x)=(ax+1)e-x-x-1,则f(x)x+1对于任意的x0,+)恒成立等价于 h(x)0在x0
6、,+)恒成立. (i)若a0,则当x0时,ax+11,0e-x1f(x)1, 而x+11,即f(x)x+1恒成立. 1a x a 1a a 1 , a a (ii)若02, 则h(0)=e-0(a-1-a0)-1=a-20, h(1)=e-1(a-1-a)-1=-e-1-10. 所以h(x)=0在(0,1)上有零点. 当x(0,1)时,设g(x)=h(x),则g(x)=e-x(ax+1-2a)e-x(1-a)0,h(x)在(0,x0)上为 增函数,则x(0,x0)时,h(x)h(0)=0, 所以f(x)x+1,不符合题意. 综上可得,符合题意的a的取值范围是(-,2. 方法技巧方法技巧 复合函
7、数导数的综合应用问题和一般函数导数的综合应用问题的解题 方法大致相同. 1-1已知函数f(x)=ln(ax+1)+,x0,其中a0. (1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值; (2)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围. 1 1 x x 解析解析(1)f (x)=-=. 因为f(x)在x=1处取得极值, 故f (1)=0,解得a=1. (2)由(1)知 f (x)=. 因为x0,a0,故ax+10,1+x0. 当a2时,在0,+)上f (x)0, 故f(x)在0,+)上单调递增, 1 a ax 2 2 (1) x 2 2 2 (1)(1) axa axx 2 2 2 (1)(1) axa axx 则f(x)的最小值为f(0)=1; 当0a0,解得x, 由f (x)0,解得x, 则f(x)的单调减
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