2020学年新教材高中数学第十章概率10.2事件的相互独立性学案新人教A版必修第二册(2021-2022学年)

1、0.事件的相互独立性考点学习目标核心素养相互独立事件的概念理解相互独立事件的概念及意义数学抽象相互独立事件同时发生的概念能记住相互独立事件概率的乘法公式；能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题数学运算、数学建模问题导学预习教材247249的内容,思考以下问题:1.事件的相互独立性的定义是什么？2相互独立事件有哪些性质?相互独立事件与互斥事件有什么区别?1相互独立的概念设，b为两个事件，若(）=p()p(b），则称事件a与事件相互独立2相互独立的性质若事件a与相互独立,那么与,与b，与也都相互独立名师点拨 (1)必然事件,不可能事件都与任意事件相互独立.(2）事件a，b相互独立

2、的充要条件是p(ab)p(a)p(b) 判断（正确的打“”，错误的打“)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立（）（2)必然事件与任何一个事件相互独立.( )（3)“(ab)=(a)p(b)”是“事件,b相互独立”的充要条件( )答案:（1) (2）（3) 下列事件a，是相互独立事件的是（ )一枚硬币掷两次,a表示“第一次为正面”，表示“第二次为反面”b袋中有2个白球，个黑球,不放回地摸球两次,每次摸一球，a表示“第一次摸到白球”，表示“第二次摸到白球”c掷一枚骰子,a表示“出现点数为奇数，b表示“出现点数为偶数”.a表示“一个灯泡能用1 00小时”，b表示“一个灯泡能用 000小时”答案:a

3、 甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0。8和0。7.那么,在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为_.答案：0.56 一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b,则该产品的正品率为_.答案：（1a)（b) 相互独立事件的判断 一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令a=一个家庭中既有男孩又有女孩,b一个家庭中最多有一个女孩.对下述两种情形，讨论a与的独立性:(）家庭中有两个小孩；(2）家庭中有三个小孩【解】 (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为=（男，男）,(男,女）,(女,男),(女,女),它有个基本事

4、件,由等可能性知概率都为.这时a=(男,女)，(女,男）,b=(男，男)，（男,女)，(女，男）,a(男,女),（女,男),于是（a)，p(b)，p（a)。由此可知(a)p（a）(b)，所以事件a，b不相互独立.(）有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为=(男,男，男）,(男，男，女)，(男,女，男），(男,女，女)，（女,男,男),(女，男,女）,(女，女，男),(女，女，女).由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时中含有6个基本事件,b中含有4个基本事件,ab中含有3个基本事件.于是p(a)=,p(b），p(ab），显然有p(ab)=p(a)p(b)成立.从而事件与b是相互

5、独立的判断两个事件是否相互独立的两种方法(）根据问题的实质,直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断,若没有影响,则两个事件就是相互独立事件;（2）定义法:通过式子(a）p(a)p(）来判断两个事件是否独立,若上式成立,则事件,b相互独立,这是定量判断。 1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件是“第一枚为正面”，事件是“第二枚为正面,事件c是“两枚结果相同,则下列事件具有相互独立性的有_.（填序号)a，;a,;，c。解析:根据事件相互独立的定义判断，只要(a)=p(a)p(b),（c)p（a)(c),(bc)p(b)p(c)成立即可.利用古典概型概率公式计算可得p(a)=。,p(b

6、)=。5，p(c）=0。5,(ab)=0.25，p(ac)0。2,p()=0。25.可以验证p(ab）p（a）p（),p（ac)=p（a)p(），p（b）=p(b）p(c）所以根据事件相互独立的定义,事件a与b相互独立，事件b与c相互独立,事件a与相互独立答案：2从一副扑克牌(52张)中任抽一张,记事件a为“抽得k”，记事件b为“抽得红牌”,记事件c为“抽得j.判断下列每对事件是否相互独立?为什么?（1）与b；(2）与。解：（1）p(a）,p(）=.事件a即为“既抽得k又抽得红牌”，亦即“抽得红桃k或方块k，故p（ab），从而有p()p(）p（a）,因此事件a与b相互独立.(2)事件a与事件c

7、是互斥的,因此事件a与c不是相互独立事件 相互独立事件同时发生的概率王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为.,.7,.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响求:(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;（2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.【解】 用a，b，c分别表示这三列火车正点到达的事件.则p（a)0。8,p()=0。7,p（c)0。9,所以p(）0.2，p（）=。3，（)=0。1.()由题意得，b,之间互相独立,所以恰好有两列正点到达的概率为pp(bc)+p（ac)+p（ab）p(）p(b)p（）(a)p（)p(c)+p（a）(b）p(

8、)=0.20。0.90。30。9+0。80。1=0.398。()三列火车至少有一列正点到达的概率为p21()=-p（）p（）p(）10.2。301。94。变问法在本例条件下,求恰有一列火车正点到达的概率.解:恰有一列火车正点到达的概率为p=p(a)+p(b)+p（c)p(a）p()()+（）（b)(）p(）（）p(c)0。80.0.10。20。70。1+0。2.3090092。2变条件若一列火车正点到达记0分,用表示三列火车的总得分,求（2).解：事件“20”表示“至多两列火车正点到达”,其对立事件为“三列火车都正点到达”,所以p(20)=1p（abc）1-p()p(b)p(c)10。80。0

9、.90。496.与相互独立事件有关的概率问题的求解策略明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.一般地,已知两个事件,b，它们的概率分别为p（a）,p（)，那么：()，b中至少有一个发生为事件+.（2)a，b都发生为事件b。(3），都不发生为事件。(4)a，b恰有一个发生为事件a+ 。（5）a，中至多有一个发生为事件a+b .它们之间的概率关系如表所示：a，b互斥,b相互独立p(ab)p(a)+p（b)1-p（)p（)(ab）0(a）p(b)p( b）-p(a)+(b）p()p() 甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出

10、密码的概率分别为和,求：（）个人都译出密码的概率;（2）2个人都译不出密码的概率；（3)至多有个人译出密码的概率；（4）恰有个人译出密码的概率;(5)至少有个人译出密码的概率解：记“甲独立地译出密码”为事件a，“乙独立地译出密码”为事件b,a与b为相互独立事件，且p(）,（）=(1）“2个人都译出密码”的概率为p()=p(a)p（).(2）“2个人都译不出密码”的概率为p()=p（)p()=-（a)1p(b)（-)(）.(3）“至多有1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为1-p(ab)=p(a)p(b)1=.(）“恰有1个人译出密码”可以分为两类，即甲

11、译出乙未译出以及甲未译出乙译出,且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为p(a+b）=（a）+(b)=(a)()(）p()=(1)+(1）=.(5)“至少有1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出密码,所以至少有1个人译出密码的概率为1-p(）=-p()()=1- 相互独立事件的综合应用 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费元（不足一小时的部分按一小时计算）有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，超过两小时但不超过三小时还车的概率

12、分别为,两人租车时间都不会超过四小时（1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(2）设为甲、乙两人所付的租车费用之和，求p(=)和p(=)的值【解】 （1）由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为，。记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件，则p(a)+=所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为（）（4）+=，(6）+=。概率问题中的数学思想()正难则反灵活应用对立事件的概率关系(p(a）（)1)简化问题,是求解概率问题最常用的方法(2)化繁为简将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系“所求事件”分几类（考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(

13、考虑乘法公式转化为相互独立事件)(3)方程思想利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组),通过解方程（组）使问题获解 一个电路如图所示，a，b,，e,为6个开关，其闭合的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是( )a. b。c。 d。解析:选b.设与b中至少有一个不闭合的事件为，e与f中至少有一个不闭合的事件为r，则p(t）p（r)=1-,所以灯亮的概率p=1p（t）p()p(）(d)=.,1如图，在两个圆盘中,指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（ )a。 b.c d。解析:选a。左边圆盘指针落在奇数区域的概率为=，右边圆盘指针落在奇数区

14、域的概率也为,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为=。2已知a,是相互独立事件,且p(),p（)，则p（)=_;p(）=_.解析:因为p(a）=,p(b)。所以p（)=，()=所以p()=p（a)p(），p()（）p()=。答案：3.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1）第3次拨号才接通电话；（2)拨号不超过次而接通电话解:设ai第i次拨号接通电话,i1,2,3.(1）第次才接通电话可表示为 a3，于是所求概率为(3）=.（2)拨号不超过3次而接通电话可表示为a2+a3，于是所求概率为（aa3)=(a1）(a2）p（a)=+=

15、基础达标1.坛子中放有3个白球,2个黑球，从中进行不放回地取球两次，每次取一球,用a表示第一次取得白球，a表示第二次取得白球,则a1和a2是()a.互斥事件 b相互独立事件c对立事件 d.不相互独立的事件解析:选.因为(a1）,若发生了,p(2）=;若a1不发生，p(a2),所以a1发生的结果对a2发生的结果有影响,所以a1与a2不是相互独立事件.某人提出一个问题,甲先答，答对的概率为。4,如果甲答错,由乙答，答对的概率为0。，则问题由乙答对的概率为（ ).2 b.0。c0.4 d.0。3解析：选d。由相互独立事件同时发生的概率可知,问题由乙答对的概率为p0。60。50.3，故选。.某种开关在

16、电路中闭合的概率为p,现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为，则p（ ）。 。c。 d。解析:选b。因为该电路为通路的概率为，所以该电路为不通路的概率为1-，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路,所以1-()4，解得p=或p=(舍去）故选。4(019重庆检测)荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示假设现在青蛙在a荷叶上，则跳三次之后停在a荷叶上的概率是( ）a。 。 。 d。解析：选。由已知得逆时针跳一次的概率为,顺时针跳一次的概率为，则逆时针跳

17、三次停在a上的概率为p1=,顺时针跳三次停在a上的概率为p2.所以跳三次之后停在a上的概率为p=p1+p2+=。.有一道数学难题,学生a解出的概率为，学生b解出的概率为，学生解出的概率为若,b,c三人独立去解答此题,则恰有一人解出的概率为( ）a b。 c. .解析:选c.一道数学难题，恰有一人解出,包括：a解出,b，c解不出，概率为；b解出,a,c解不出，概率为=;解出,a，b解不出,概率为=.所以恰有1人解出的概率为+=6有甲、乙两批种子，发芽率分别为0。和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是_.解析：所求概率p=0.80。+。20。9=。26.答案：。267在如图所

18、示的电路图中，开关a,b,闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是_解析:设“开关a，b,闭合”分别为事件a,b,c，则灯亮这一事件为abca c,且a，,相互独立,abc,ab,a c相互独立，abc,ab，ac互斥，所以p=p(abc）+p（)p()p（a)p（b)（c）+p（a)p（)（)+p(）(）p（c)+=.答案:8.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，,，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为_.解析：分别设汽车在甲、乙、丙三处通行的事件为，b，则(a)=,（）=,p（c)，停车一次为事件(bc)(c)(ab）,故其概率+

19、。答案:某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率为语文为0。9，数学为。8，英语为0,求在一次考试中:（1）三科成绩均未获得第一名的概率是多少?（2）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？解:分别记该学生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为a，c,则，b，两两互相独立,且p(a）.9，p(b)=0。8,p(c)。85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用 表示,p( ）=（)p()p（)=1(a)1-p（b)-p（）(1-09）(1-0.8)(08）0。00,即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.（2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(bc)(a）(b）表示.由于

20、事件c，ac和两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为(b)+p(）+p(b）p(）p（b)p(c)(a）p()（c)p（a)p（b)p()=(a）p（b)（)+p（a）1p(b）p（c)+p(）(b)p(c)=(1-0。)0.0。85+0。9(。8)0。5+0。90.8(1-0.85)=0329,即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0。210.某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人00跑(互不影响)的成绩在13 s内（称为合格)的概率分别为,，若对这三名短跑运动员的00m跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率;(2）三人都不合格的概率；(）出现

21、几人合格的概率最大解：记“甲、乙、丙三人100 m跑成绩合格”分别为事件,b,c，显然事件a，,c相互独立,则(）=，p(b)，p（c)=.设恰有人合格的概率为p(=0,1,3）,（1)三人都合格的概率为p3=（ab）=p(a）()p(c）=.(2)三人都不合格的概率为p0=p（)p()(）()=.(3)恰有两人合格的概率为2p（b)+p（a c)p（bc）=+。恰有一人合格的概率为=1-p0-2=1-=.综合()(2)(3）可知p1最大.所以出现恰有1人合格的概率最大.b 能力提升11端午节放假,甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为,。假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时

22、间内至少有1人回老家过节的概率为（ ）。 b c。 d.解析:选b.“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件a，c，则p()=,(）=,p(c)，所以p（)=，(），（)。由题知a,b,为相互独立事件,所以三人都不回老家过节的概率p()p()p（）p（),所以至少有人回老家过节的概率1-。12如图，已知电路中个开关闭合的概率都是,且是互相独立的,则灯亮的概率为（ ）a. b。 。 d解析:选。记“a,b，,d四个开关闭合”分别为事件，b,c,d，可用对立事件求解,图中含开关的三条线路同时断开的概率为p()p()1-p（b）=.所以灯亮的概率为1-=。.事件a,b,c相互独立,如果p(a)=,p（c）,p(ab）,则