本科数学与应用数学不等式证明的若干方法毕业论文

1、 成人高等学历教育本科毕业论文（设计）题 目： 不等式证明的若干方法 学 号： 17317172410025 姓 名： 钟建国 教学单位： 赣州科技学校 专 业： 数学与应用数学 指导教师： 2019年11月4日江西师范大学继续教育本科毕业论文题 目：不等式证明的若干方法 姓 名： 钟建国 专 业： 数学与应用数学 指导教师： 完成日期： 2019年11月4日 内 容 摘 要不等式是数学学习过程当中一个根本的问题，它浸透于数学研究的各个方面，因而不等式证明在数学中有着至关重要的作用和地位。在本文中，我主要从不同方面总结了一些证明不等式的方法。尤其是在初等数学中不等式证明，经常会使用到比较法，假

2、设法，反证法等等。在高等数学中还会用到中值定理、积分定理等等。于是，一个更完美的不等式的证明，有助于我们进一步的探索研究。经过去掌握这些证明方法，可能会帮助我们去解决一些数学题目。关键词：比较法；中值定理；积分定理Abstract Inequality is the mathematical learning process is a fundamental issue, it soaked in all aspects of mathematical research, which proves inequality has a crucial role and position in ma

3、thematics. In this article, I mainly summarizes some different aspects to prove inequality. Especially proving inequalities in elementary mathematics, is often used to compare methods, assumptions law, reductio ad absurdum, and so on. Higher Mathematics will be used in the mean value theorem, integr

4、al theorem and so on. Thus, a more perfect proof of inequality, helping us to further exploration and research. After prove to master these methods may help us to solve some math problems.Keywords: Comparative Law; value theorem; integral theorem目 录内容摘要Abstract一、引言1二、常用的不等式证明方法1（一）作差比较法 1（二）作商比较法2（三

5、）分析法2（四）综合法3（五）迭合法3（六）放缩法4（七）换元法4（八）三角代换法4（九）判别式法5三、假设法证明不等式5（一）反证法5（二）数学归纳法6四、构造法证明不等式7（一）代换法7（二）构造复数8五、利用微分中值定理证明不等式8（一）利用拉格朗日中值定理9（二）利用柯西中值定理证明不等式10（三）利用泰勒展开式证明不等式10（四）利用函数图形的凹凸性进行证明11六、利用积分定理证明不等式12（一）利用定积分定义证明不等式12（二）利用定积分性质证明不等式13七、利用著名不等式证明14（一）利用均值不等式14（二）利用柯西不等式15（三）利用赫尔德不等式15（四）利用詹森不等式16八、

6、 一题多解16九、结束语19参考文献20致 谢22VI江西师范大学成人高等学历教育本科论文 数学与应用数学1、 引言 在数学学习过程中，不等式是基本的数学关系，不等式的证明也证明了它是数学领域一个非常重要的内容，然而，这些内容在初等数学与高等数学中又有一个很好的体现。到17世纪之后，它已经逐渐发展为不等式理论，成为数学基础的一个重要要组成部分。在不等式证明之前，要根据其结构特点，往往需要对其内部结构进行分析,来采取适当的，熟悉各种证据推理方法，并要掌握相应的环节，技术和语言特点，揭示问题的本质特点，使得难解的问题变动为可解性问题。 黄冬梅在关于不等式证明的若干方法的探究中提到过，利用“对称和均

7、分”的观点。根据微积分的知识，通过一些例子来探讨不等式证明在初等数学中应用。东洪平在利用二次求导确定函数单调性证明一些不等式中涉及到，根据利用二阶导数方法来证明函数的单调性，通常用一个函数来求导确定，因此，某些函数的单调性不能确定的时候，对这些函数进行二次求导来确定其单调函数.赵忠彦在用数学归纳法证明一类不等式的技巧中提到，对于一边是常数的数列不等式，不妨借助于数学归纳法，直接证明概括往往有一定的困难，如果使用不等式的传递性、可加性，通过增强命题，比例常数和其他技能，就可以成功完成了归纳过渡。二、 常用的不等式证明方法 比较法是不等式数学证明中最基本、最根本的方法，主要有作差法和作商法。 （一

8、）作差比较法 作差比较法：要证不等式，只要证即可。比较法包括以下几个步骤：作差、变形、判断的符号（正或负）、得出结论。 例1 实数为正数，求证。 分析：两个多项式大小的比较通常是用作差比较法。 解： 小结:作差：要比较两个数（或式子）作差的大小; 变形：对差值进行因式分解或几个数（或式子）的完全平方和； 判别：结合变形和题设前提下判断差的符号。 （二）作商比较法商比较：在一般情况下，当均为正数时，借助或，来表示它的大小，一般步骤为：作商变形判别（大于1或小于1)。例2 设，求证：。 分析:关于一些含有幂指数类型的题通常都用作商比较法。 证明： ，又指数函数的性质，当时， ;当时， ，；当时，

9、，；即 .注：作商法通常适用于含“幂”、“指数”比较类型的式子。（三）分析法 分析法是从结论开始，一步步的向上推导，探索下去，然而证明已知的题目中设条件，在证明的过程中，推导的每一步都要可逆。 例3 已知：为互不相等的实数，求证：. 证明：要证成立，即证明 需要证 即 因为,所以 .由此逆推，即可证明。（四）综合法证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法.例4 已知：，同号，求证：.证明 因为，同号，所以 ，则 即 .（五）迭合法把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，

10、使原不等式获证. 例5 已知：，求证: .证明 因为，所以 ，.由柯西不等式所以原不等式获证.（六）放缩法在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的.值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头.常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法.例6 求证： .证明 令则所以 .（七）换元法在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化.例7 已知：，求证：.证明 设，则，

11、 所以 .（八）三角代换法借助三角变换，在证题中可使某些问题变易.例8 已知：，求证：.证明 设，则；设，则所以 . （九）判别式法通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式.例9 设，且，求证：.证明 设，则代入中得 ，即 因为，所以， 即 ，解得 ，故.三、 假设法证明不等式（一）反证法 反证法是证明与命题相对立的结论，可以先来假设一个错误的结论，应用到以往所学的知识来证明假设是错误的。理论依据：命题“”与命题“非”一真、一假。例10 已知，求证:至少有一个小于等于。 分析：“小于等于”的反面是“大于”，可以考虑用反证法。证明：假设都

12、大于，则 根据平均值不等式，有 同理 ， .显然矛盾，所以结论成立。注：反证法适合用于证明一些“存在性的问题、唯一性的问题”，“至少有一个”或“至多有一个”等类型的数学问题。（二）数学归纳法一般地，证明一个与正整数有关的命题，即按下列步骤进行：证明当取第一个值时命题成立；一个命题，证明了命题的假设命题进行证明，建立当时，命题也成立。综上所述，建立了所有的自然数都成立。例11 。 证明：当时，左，右，一个命题成立。 假设当时，命题成立，即 .那么当时，左边 上式表明当时，命题也成立。由知，命题对一切正整数均成立。注意：（1）数学归纳法证明命题，步骤严谨，务必严格按步骤进行。 （2）归纳推理是难点

13、，要仔细看准再变形。四、 构造法证明不等式构造法是利用已知条件为前提，把条件进行变换和替代或模型结构的条件下，复杂等，来实现不等式的证明过程的简单化。（一）代换法 提取一个式子作为一个整体，一个变量来代替它，使问题得以简单化，称为代换法。还原转化的本质，关键在于构建元素和组元，理论原由是基于等效替代，这样的非标准化的问题，复杂的问题。 例12 计算下面的算式 解: 令,，则原式 注意：在解题过程中，往往要根据解题的需要，通常把较大的数字或者复式的式子用字母来代替，这样才会使式子中的复杂的关系更加简单明了，简化或计算过程也会简便些。（二）构造复数对某些含有二次根式且变数字母具有对称或轮换对称的不

14、等式，可以构造复数，利用复数模的性质：证明1。例13：若为非负实数，证明： 。 证明：构造复数，则左边 从这个例子可以看出，证明的不等式中出现“平方和算术根”构造复数，解决问题的方法是独特的，思路也清晰明了。只有在出现平方和或算术根的情况下，才考虑用构造复数。5、 利用微分中值定理证明不等式利用中值定理（罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法来证明不等式首先要熟记各个中值定理的应用条件，可将原不等式通过变形找到一个辅助函数，使其在所给区间上满足中值定理的条件，证明的关键是处理好点，分析函数或其导数在该点的性质即可得到所要结论，在证明过程中也会出现反复应用同一定理或同时应用几个定理

15、进行证明的情况。利用微分中值定理证明不等式的步骤：构造辅助函数；构造微分中值定理需要的区间；利用，对进行适当的放缩。（一）利用拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理2 如果在上连续，在内可导，则在内至少存在一点，使。 例14 求证：当时， 。 分析：最初要来构造一个辅助的函数，继续利用拉格朗日中值定理就可以解出此题。 证明：设辅助函数，在上满足中值定理，则 ，；因为 , .由上式可得 ，又因为 ， ，.所以 ，即 .注：很多证明题都不能直接利用定理来进行解决问题，再利用拉格朗日中指定理问题时，怎样去构造辅助函数，这才是证明问题的关键。（2） 利用柯西中值定理证明不等式柯西中值定理3 假设函数在闭区间

16、上连续，在开区间内可导，且在内每一点均不为零，那么在内至少存在一点，使 . (4.2) 例15 如果，试证：。 证明：令，在区间上连续，在内可导，且在内每一点都不为零。那么由柯西中值定理可得： ， 见式(4.2)则有 ，由于在闭区间上，有 ，所以 .（三）利用泰勒展开式证明不等式泰勒定理 设在闭区间上连续，在开区间上存在，则对任何，至少存在一点，这样 其中 （在与之间）称为余项，上式称为阶泰勒公式。令，则公式变为 .其中 （在与之间）。 例16 当时，证明。 证明：取，则 ，代人泰勒公式，其中，得 ，其中.故当时， （四）利用函数图形的凹凸性进行证明 函数的凹凸性证明方法首要是找到辅助函数f(

17、x)，利用函数f(x)在所给区间a,b的二阶导数确定函数的凹凸性。f(x)0 函数为凹的,则 f(a)+f(b)2f(a+b2)；f(x)0 函数为凸的,则 f(a)+f(b)(x+y)lnx+y2,(x0,y0,xy) 令 f(t)=tlnt(t0), f(t)=lnt+1, f(t)=1t0, 故 f(t)=tlnt在（x,y）或（y,x）,x0,y0是凹的，于是12f(x)+f(y)f(x+y2)即 12f(x)+f(y)x+y2ln x+y2即 xlnx+ylny(x+y)lnx+y2类似的如：证明 ex+ey2ex+y2, (xy)。6、 利用积分定理证明不等式（一）利用定积分定义证

18、明不等式设函数在区间上有界，在区间内插入分点： ；记 ，；在小区间上任取一点作和；如果当时，以上的极限存在，且极限值与区间的分法和的取值无关，积分函数的极限在区间上的表示，记为，即 . (5.1)例17 计算. 解：取分点为，则在第个小区间上取右端点于是 （二）利用定积分性质证明不等式积分不等式性 若函数和在上的两个可积函数，且，则有 。 (5.2)例18 试证.证明：由定积分的不等式性，只需要证许可，当时，因 ，所以 ，即 ，且 ， ，在是增函数 ，所以 .即 ，因而时，结论成立。 利用定积分的性质来证明不等式当中,要学会利用微分和积分的互逆,行使积分本身的单一性,把步骤放在不等式双方结构的

19、积分方式中.使用定积分不等式的证明,常会用到定积分的性质,有时还要结合积分中值定理。7、 利用著名不等式证明（一）利用均值不等式 设是n个正实数，则，当且仅当时取等号.例19 证明柯西不等式 证明 要证柯西不等式成立，只要证 （1）令 （2） 式中则（1）即 即 （3）下面证不等式(3),有均值不等式，即 ，同理 ， ，.将以上各式相加，得 (4)根据（2），（4）式即 .因此不等式（3）成立，于是柯西不等式得证.（二）利用柯西不等式例20 设，求证：证明 由柯西不等式两边除以即得说明：两边乘以后开方得当为正数时为均值不等式中的算术平均不大于平方平均（三）利用赫尔德不等式例21 设为正常数，求

20、证： 证明 = = 即 （四）利用詹森不等式例 22 证明不等式 其中均为正数.证明 设 由的一阶和二阶导数可见，在时为严格凸函数.依詹森不等式有从而即又因所以 八、 一题多解证明:若，求证：.思路点拨:因为，所以证明不等式两边的值大于零，本题主要用作差法，作商法和分析法证明。 证法一：作差法 证明： = =因为 ，所以 .即 得证。证法二：作商法因为，所以， .所以得证。 证法三：分析法要证 ，只需证 只需证 只需证 只需证，因为成立.所以得证。 例23： 已知求证：. 证法一：分析法证明:(1)当时，显然成立。(2)当时，欲证原不等式成立。只需证 即证 .即证 即证 因为，所以上式恒成立。

21、综合(1)(2)可知：原不等式成立。 证法二：比较法证明:因为所以 所以 即 证法三：代换法证明：设，则可设，所以 九、 结束语在这里我只是总结一些简单几种比较常见的方法，这些方法只能解决一些常见的一部分不等式问题，要求要大家开拓思维，善于分析解决问题，培养良好的思维能力，但对于不等式的证明要仔细观察，找到最合适最方便的方法并学习总结。于是，本文对不等式的一些证明方法进行了体系的总结，并精选一些典型的例题来证明，以便大家对其证明有更好的了解，同时密切联系现实，不等式在实际中解决一些简单问题的应用，为了进一步证明不等式的重要性。不等式的证明方法多种多样，往往取决于题型，没有一定的途径。如果能够熟

22、练掌握不等式的性质，认识基本不等式的特点，认真地审题进行思考探索也不难找到证题的途径。参考文献1董堆华.构造复数解题的常见方法与技巧J.濮阳教育报,2003,16(1):106-107.2党艳霞.浅谈微分中值定理及其应用J.廊坊师范学院学报.自然科学版,2010,10(1):28-30.3金贵荣.关于弱微分中值定理J.甘肃高师学报,2001,6(5):34-56.4徐俊峰.新形势下高等数学教学的一点思考J.考试周刊,2009,31(1):64-67.5黄冬梅.关于不等式证明的若干方法的探究J.内江师范学院学报,2009,24(1):249-250.6左静贤.一道须要二阶求导的不等式证明题R.数

23、学学习与研究:教研版,2008.7赵忠彦.用数学归纳法证明一类不等式的技巧J.数学通讯,2003,14(1):14-16.8李丽颖.不等式证明的常用方法D.吉林.吉林师范大学,2008.9俞求是.人教A版高中数学课标实验教科书不等式选讲简介R.中学数学杂志.高中版,2007,2(2):1-8.10张博.积分不等式的证明D.西安.陕西交通职业技术学院,2008.11张瑞.积分不等式的推广J.科学技术与工程.2011,11(2):299-300.12吴良森.数学分析习题M.北京:科技出版社.1998,50-98.13华东师范大学数学系.数学分析M.上海:高等教育出版社.2003,26-65.14罗猛.不等式证明的八种方法J.跨世纪.2008,16(7):