第05章时间序列模型s

1、1 关于标准回归技术及其预测和检验我们已经在前关于标准回归技术及其预测和检验我们已经在前 面的章节讨论过了，本章着重于时间序列模型的估计面的章节讨论过了，本章着重于时间序列模型的估计 和定义，这些分析均是基于单方程回归方法，第和定义，这些分析均是基于单方程回归方法，第9章章 我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。 这一部分属于动态计量经济学的范畴。通常是运这一部分属于动态计量经济学的范畴。通常是运 用时间序列的过去值、当期值及滞后扰动项的加权和用时间序列的过去值、当期值及滞后扰动项的加权和 建立模型，来建立模型，来“解释解释”时间序列的变化规律。时间序列的

2、变化规律。 2 第第3章在对扰动项章在对扰动项ut的一系列假设下，讨论了古典线的一系列假设下，讨论了古典线 性回归模型的估计、检验及预测问题。如果线性回归方性回归模型的估计、检验及预测问题。如果线性回归方 程的扰动项程的扰动项ut 满足古典回归假设，使用满足古典回归假设，使用ols所得到的估所得到的估 计量是线性无偏最优的。计量是线性无偏最优的。 但是如果扰动项但是如果扰动项ut不满足古典回归假设，回归方程的不满足古典回归假设，回归方程的 估计结果会发生怎样的变化呢？理论与实践均证明，扰估计结果会发生怎样的变化呢？理论与实践均证明，扰 动项动项ut关于任何一条古典回归假设的违背，都将导致回归关

3、于任何一条古典回归假设的违背，都将导致回归 方程的估计结果不再具有上述的良好性质。因此，必须方程的估计结果不再具有上述的良好性质。因此，必须 建立相关的理论，解决扰动项不满足古典回归假设所带建立相关的理论，解决扰动项不满足古典回归假设所带 来的模型估计问题。来的模型估计问题。 3 对于线性回归模型对于线性回归模型 (5.1.1) 随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为 (5.1.2) 如果扰动项序列如果扰动项序列ut表现为：表现为： (5.1.3) 即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互独立的，即对于不同的样本点，随机扰动项之间不

4、再是完全相互独立的， 而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关性而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关性(serial correlation)。 tktkttt uxxxy 22110 ttsuu stt ,2,1,00),cov( ttsuu stt ,2,1,00),cov( 4 eviews提供了检测序列相关和估计方法的工具。但提供了检测序列相关和估计方法的工具。但 首先必须排除虚假序列相关。首先必须排除虚假序列相关。 例如，例如， 在生产函数模型中，如果省略了资本这个重要的解释变在生产函数模型中，如果省略了资本这个重要的解释变 量，资本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本量，资

5、本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本 在时间上的连续性，以及对产出影响的连续性，必然导在时间上的连续性，以及对产出影响的连续性，必然导 致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下，要把显致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下，要把显 著的变量引入到解释变量中。著的变量引入到解释变量中。 5 eviews提供了以下提供了以下3种检测序列相关的方法。种检测序列相关的方法。 durbin-watson 统计量（简称统计量（简称d_w统计量）用于检统计量）用于检 验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线性联验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线性联 系。对于扰动项系。对于扰动项ut建立

6、一阶自回归方程：建立一阶自回归方程： (5.1.6) d_w统计量检验的统计量检验的 ttt uu 1 ) 1 (2 )( . 1 2 2 2 1 t t t t t tt u uu wd 6 1d-w统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵x。 2回归方程右边如果存在滞后因变量，回归方程右边如果存在滞后因变量，d-w检验不检验不 再有效。再有效。 3仅仅检验是否存在一阶序列相关。仅仅检验是否存在一阶序列相关。 其他两种检验序列相关方法：其他两种检验序列相关方法：q-统计量和统计量和breush- godfrey lm检验克服了上述不足，应用于大多数场合。检

7、验克服了上述不足，应用于大多数场合。 7 时间序列时间序列ut滞后滞后k阶的自相关系数由下式估计阶的自相关系数由下式估计 （5.2.26） 其中其中 是序列的样本均值，这是相距是序列的样本均值，这是相距k期值的相关系数。称期值的相关系数。称 rk为时间序列为时间序列ut的自相关系数，自相关系数可以部分的刻画的自相关系数，自相关系数可以部分的刻画 一个随机过程的性质。它告诉我们在序列一个随机过程的性质。它告诉我们在序列ut的邻近数据之间的邻近数据之间 存在多大程度的相关性。存在多大程度的相关性。 t t t t kt ktt k uu uuuu r 1 2 1 u 8 偏自相关系数是指在给定偏自

8、相关系数是指在给定ut-1，ut-2，ut-k-1的条件下，的条件下， ut与与ut-k之间的条件相关性。其相关程度用偏自相关系数之间的条件相关性。其相关程度用偏自相关系数 k,k 度量。在度量。在k阶滞后下估计偏相关系数的计算公式如下阶滞后下估计偏相关系数的计算公式如下 （5.2.27） 其中：其中：rk 是在是在k阶滞后时的自相关系数估计值。阶滞后时的自相关系数估计值。 （5.2.28） 这是偏相关系数的一致估计。这是偏相关系数的一致估计。 1 1 1 1 1 , 1 1 1 , 1 1 , k r rr kr k j jkjk k j jkjkk kk jkkkkjkjk , 1, 1,

9、 9 我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关 和偏自相关系数（在本章和偏自相关系数（在本章5.2.4节给出相应的公式），以节给出相应的公式），以 及及ljung-box q-统计量来检验序列相关。统计量来检验序列相关。q-统计量的表统计量的表 达式为：达式为： p j j lb jt r ttq 1 2 2 (5.1.7) 其中：其中：rj是残差序列的是残差序列的 j 阶自相关系数，阶自相关系数，t是观测值的个数，是观测值的个数， p是设定的滞后阶数是设定的滞后阶数 。p阶滞后的阶滞后的q-统计量的统计量的 10 在方程工具栏选择在方程工具栏选

10、择view/residual tests/correlogram- q-statistics。eviews将显示残差的自相关和偏自相关函数将显示残差的自相关和偏自相关函数 以及对应于高阶序列相关的以及对应于高阶序列相关的ljung-box q统计量。统计量。 。 11 考虑美国的一个投资方程。美国的考虑美国的一个投资方程。美国的gnp和国内私人总和国内私人总 投资投资inv是单位为是单位为10亿美元的名义值，价格指数亿美元的名义值，价格指数p为为gnp的的 平减指数平减指数（1972=100），），利息率利息率r为半年期商业票据利息。为半年期商业票据利息。 回归方程所采用的变量都是实际回归方程

11、所采用的变量都是实际gnp和实际投资；它们是和实际投资；它们是 通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母gnp， inv表示。实际利息率的近似值表示。实际利息率的近似值r则是通过贴现率则是通过贴现率r减去价格减去价格 指数变化率指数变化率p得到的。样本区间：得到的。样本区间：1963年年1984年，建立如年，建立如 下线性回归方程：下线性回归方程： t = 1, 2, , t tttt ugnprinv )ln()ln( 211 12 应用最小二乘法得到的估计方程如下应用最小二乘法得到的估计方程如下： t =（-1.32） （154.25

12、） r2=0.80 d.w.=0.94 tttt ugnprinv)ln(734. 0016. 0)ln( 1 13 虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如 果自相关值在这个区域内，则在显著水平为果自相关值在这个区域内，则在显著水平为5%的情形下与零没有显的情形下与零没有显 著区别。著区别。 本例本例1阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在1 阶序列相关。阶序列相关。1阶滞后的阶滞后的q-统计量的统计量的p值很小，拒绝原假设，残差序列值很小，拒绝原假设，残差序

13、列 存在一阶序列相关。存在一阶序列相关。 选择选择view/residual test/correlogram-q-statistice会产生如下结果：会产生如下结果： 14 与与d.w.统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不 同，同，breush-godfrey lm检验（检验（lagrange multiplier， 即拉格朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残即拉格朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残 差序列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后差序列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后 因变量的情况下，因变量的情况下，lm检验仍然有效。

14、检验仍然有效。 检验统计量由如下辅助回归计算。检验统计量由如下辅助回归计算。 15 （1）估计回归方程，并求出残差）估计回归方程，并求出残差et (5.1.8) （2）检验统计量可以基于如下回归得到）检验统计量可以基于如下回归得到 (5.1.9) 这是对原始回归因子这是对原始回归因子xt 和直到和直到p阶的滞后残差的回归。阶的滞后残差的回归。 。f 统计量是对式（统计量是对式（5.1.9）所有滞后残差联合显著性的一种检）所有滞后残差联合显著性的一种检 验。验。tr2统计量是统计量是lm检验统计量，是观测值个数检验统计量，是观测值个数t乘以乘以 回归方程（回归方程（5.1.9）的）的r2。一般情

15、况下，。一般情况下，tr2统计量服从渐统计量服从渐 进的进的 2(p) 分布。分布。 ktktttt xxxye 22110 tptpttt veee 11 x 16 选择选择view/residual tests/serial correlation lm test， 一般地对高阶的，含有一般地对高阶的，含有arma误差项的情况执行误差项的情况执行 breush-godfrey lm。在滞后定义对话框，输入要检验。在滞后定义对话框，输入要检验 序列的最高阶数。序列的最高阶数。 17 lm统计量显统计量显 示，在示，在5%的显的显 著性水平拒绝原著性水平拒绝原 假设，回归方程假设，回归方程 的

16、残差序列存在的残差序列存在 序列相关性。因序列相关性。因 此，回归方程的此，回归方程的 估计结果不再有估计结果不再有 效，必须采取相效，必须采取相 应的方式修正残应的方式修正残 差的自相关性。差的自相关性。 18 考虑美国消费考虑美国消费cs 和和gdp及前期消费之间的关系，数据及前期消费之间的关系，数据 期间：期间：1947年第年第1季度季度1995年第年第1季度，数据中已消除了季度，数据中已消除了 季节要素，建立如下线性回归方程：季节要素，建立如下线性回归方程： t = 1, 2, , t 应用最小二乘法得到的估计方程如下：应用最小二乘法得到的估计方程如下： t = ( 1.93) (3.

17、23) (41.24) r2=0.999 d.w.=1.605 ttt ugdpcccccs 21t10 s tttt ugdp.cs.cs0509301510 1 19 如果单纯从显著性水平、拟合优度及如果单纯从显著性水平、拟合优度及d.w.值来看，值来看， 这个模型是一个很理想的模型。但是，由于方程的解释这个模型是一个很理想的模型。但是，由于方程的解释 变量存在被解释变量的一阶滞后项，那么变量存在被解释变量的一阶滞后项，那么 d.w.值就不能值就不能 作为判断回归方程的残差是否存在序列相关的标准，如作为判断回归方程的残差是否存在序列相关的标准，如 果残差序列存在序列相关，那么，显著性水平、

18、拟合优果残差序列存在序列相关，那么，显著性水平、拟合优 度和度和f统计量将不再可信。所以，必须采取本节中介绍统计量将不再可信。所以，必须采取本节中介绍 的其他检验序列相关的方法检验残差序列的自相关性。的其他检验序列相关的方法检验残差序列的自相关性。 这里采用这里采用 lm 统计量进行检验统计量进行检验(p=2)，得到结果如下得到结果如下： lm统计量显示，回归方程的残差序列存在明显的统计量显示，回归方程的残差序列存在明显的 序列相关性。序列相关性。 20 下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下：下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下： 本例本例13阶的自相关系数

19、都超出了虚线，说明存在阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在3阶序列相关。阶序列相关。 各阶滞后的各阶滞后的q-统计量的统计量的p值都小于值都小于5%，说明在，说明在5%的显著性水平下，的显著性水平下， 拒绝原假设，残差序列存在序列相关。拒绝原假设，残差序列存在序列相关。 21 线性回归模型扰动项序列相关的存在，会导致模型线性回归模型扰动项序列相关的存在，会导致模型 估计结果的失真。因此，必须对扰动项序列的结构给予估计结果的失真。因此，必须对扰动项序列的结构给予 正确的描述，以期消除序列相关对模型估计结果带来的正确的描述，以期消除序列相关对模型估计结果带来的 不利影响。不利影响。 通常可以用通常

20、可以用ar(p) 模型来描述一个平稳序列的自相模型来描述一个平稳序列的自相 关的结构，定义如下：关的结构，定义如下： (5.1.10) (5.1.11) tktkttt uxxxy 22110 tptpttt uuuu 2211 22 其中：其中：ut 是无条件扰动项，它是回归方程（是无条件扰动项，它是回归方程（5.1.10） 的扰动项，参数的扰动项，参数 0， 1， 2， k 是回归模型的系数。是回归模型的系数。 式（式（5.1.11）是扰动项）是扰动项ut的的 p 阶自回归模型，参数阶自回归模型，参数 1， ， 2， ， ， p 是 是 p 阶自回归模型的系数，阶自回归模型的系数， t 是

21、无条件扰动项是无条件扰动项ut自自 回归模型的误差项，并且是均值为回归模型的误差项，并且是均值为0，方差为常数的白噪，方差为常数的白噪 声序列，它是因变量真实值和以解释变量及以前预测误声序列，它是因变量真实值和以解释变量及以前预测误 差为基础的预测值之差。差为基础的预测值之差。 下面将讨论如何利用下面将讨论如何利用ar(p) 模型修正扰动项的序列模型修正扰动项的序列 相关，以及用什么方法来估计消除扰动项后方程的未知相关，以及用什么方法来估计消除扰动项后方程的未知 参数。参数。 23 最简单且最常用的序列相关模型是一阶自回归最简单且最常用的序列相关模型是一阶自回归ar(1)模模 型。为了便于理解

22、，先讨论一元线性回归模型，并且具有一型。为了便于理解，先讨论一元线性回归模型，并且具有一 阶序列相关的情形，即阶序列相关的情形，即p = 1的情形：的情形： (5.1.12) (5.1.13) ttt uxy 10 ttt uu 1 把式（把式（5.1.13）带入式（）带入式（5.1.12）中得到）中得到 (5.1.14) tttt uxy 110 24 通常如果残差序列存在通常如果残差序列存在p阶序列相关，误差形式可以阶序列相关，误差形式可以 由由ar(p)过程给出。对于高阶自回归过程，可以采取与一过程给出。对于高阶自回归过程，可以采取与一 阶序列相关类似的方法，把滞后误差逐项代入，最终得到

23、阶序列相关类似的方法，把滞后误差逐项代入，最终得到 一个误差项为白噪声序列，参数为非线性的回归方程，并一个误差项为白噪声序列，参数为非线性的回归方程，并 且采用且采用gauss-newton迭代法求得非线性回归方程的参数。迭代法求得非线性回归方程的参数。 25 打开一个方程估计窗口，输入方程变量，最后输入打开一个方程估计窗口，输入方程变量，最后输入 ar(1) ar(2) ar(3)。针对例。针对例5.2定义方程为：定义方程为： 26 需要注意的是，输入的需要注意的是，输入的ar(1) ar(2) ar(3) 分别代表分别代表3个个 滞后项的系数，因此，如果我们认为扰动项仅仅在滞后滞后项的系数

24、，因此，如果我们认为扰动项仅仅在滞后2 阶和滞后阶和滞后4阶存在自相关，其他滞后项不存在自相关，即阶存在自相关，其他滞后项不存在自相关，即 则估计时应输入：则估计时应输入：cs c gdp cs(-1) ar(2) ar(4) eviews在消除序列相关时给予很大灵活性，可以输在消除序列相关时给予很大灵活性，可以输 入模型中想包括的各个自回归项。例如，如果有季度数据入模型中想包括的各个自回归项。例如，如果有季度数据 而且想用一个单项来消除季节自回归，可以输入：而且想用一个单项来消除季节自回归，可以输入：cs c gdp cs(-1) ar(4)。 tttt uuu 4422 27 例例5.1中

25、检验到美国投资方程的残差序列存在一阶序列相中检验到美国投资方程的残差序列存在一阶序列相 关。这里将采用关。这里将采用ar(1)模型来修正投资方程的自相关性：模型来修正投资方程的自相关性： t = 1, 2, , t 回归估计的结果如下：回归估计的结果如下： t = (-1.21) （95.71） t = (2.65) r2= 0.86 d.w. = 1.52 tttt ugnprinv )ln()ln( 211 ttt uu 11 )ln(74. 0017. 0)ln( 1ttt gnprvn i 1 53. 0 tt uu 28 再对新的残差序列进行再对新的残差序列进行lm检验检验(p=2)

26、，最终得到的检，最终得到的检 验结果如下：验结果如下： 检验结果不能拒绝原假设，即修正后的回归方程的残检验结果不能拒绝原假设，即修正后的回归方程的残 差序列不存在序列相关性。因此，用差序列不存在序列相关性。因此，用ar(1)模型修正后的回模型修正后的回 归方程的估计结果是有效的。归方程的估计结果是有效的。 29 例例5.2中检验到带有滞后因变量的回归方程的残差序中检验到带有滞后因变量的回归方程的残差序 列存在明显的序列自相关。而且从相关图看到，可以采列存在明显的序列自相关。而且从相关图看到，可以采 用用ar(3) 模型来修正回归方程的自相关性。模型来修正回归方程的自相关性。 tttt ugdp

27、ccscccs 2110 ttttt uuuu 332211 回归估计的结果如下：回归估计的结果如下： 30 模型建立如下：模型建立如下： t = (-3.9) (7.29) （13.54） t = (4.85) (3.07) （3.03） r2=0.999 d.w=1.94 tttt ugdp.cs.cs2506508665 1 ttttt uuuu 321 22. 023. 037. 0 31 再对新的残差序列再对新的残差序列 进行进行lm检验，最终得到的检验结果如下：检验，最终得到的检验结果如下： t 给出纠正后的残差序列的给出纠正后的残差序列的q-统计量和序列相关图，在直观上认识统计量

28、和序列相关图，在直观上认识 到消除序列相关后的残差序列是一个随机扰动序列。到消除序列相关后的残差序列是一个随机扰动序列。 32 对于简单对于简单ar(1)模型，模型， 是无条件残差的序列相关是无条件残差的序列相关 系数。对于平稳系数。对于平稳ar(1)模型，模型， 在在-1（极端负序列相关）（极端负序列相关） 和和+1（极端正序列相关）之间。（极端正序列相关）之间。 eviews在回归输出的底部给出这些根：在回归输出的底部给出这些根：inverted ar roots。如果存在虚根，根的模应该小于。如果存在虚根，根的模应该小于1。 1 1 33 另外：另外：eviews可以估计带有可以估计带有

29、ar误差项的误差项的 。 例如：将例例如：将例5.4中的模型变为如下的非线性模型，估中的模型变为如下的非线性模型，估 计如下带有附加修正项计如下带有附加修正项ar(3)的非线性方程：的非线性方程： t c ttt ugdpcscccs 2 110 用公式法输入：用公式法输入： cs=c(1)+gdpc(2)+c(3)*cs(-1)+ ttttt uuuu 332211 34 输出结果显示为：输出结果显示为： 35 本节将不再仅仅以一个回归方程的扰动项序列为本节将不再仅仅以一个回归方程的扰动项序列为 研究对象，而是直接讨论一个平稳时间序列的建模问研究对象，而是直接讨论一个平稳时间序列的建模问 题

30、。在现实中很多问题，如利率波动、收益率变化及题。在现实中很多问题，如利率波动、收益率变化及 汇率变化等通常是一个平稳序列，或者通过差分等变汇率变化等通常是一个平稳序列，或者通过差分等变 换可以化成一个平稳序列。换可以化成一个平稳序列。 本节中介绍的本节中介绍的arma模型模型(autoregressive moving average models)可以用来研究这些经济变量的变化规可以用来研究这些经济变量的变化规 律，这样的一种建模方式属于时间序列分析的研究范律，这样的一种建模方式属于时间序列分析的研究范 畴。畴。 36 如果随机过程如果随机过程 的均值和方差、自协方差都不取决于的均值和方差、

31、自协方差都不取决于 t，则称，则称 ut 是协方差平是协方差平 稳的或弱平稳的：稳的或弱平稳的： , 12101 ttt uuuuuuu 注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则 ut 与与 u t- s 之之 间的协方差仅取决于间的协方差仅取决于s ，即仅与观测值之间的间隔长度，即仅与观测值之间的间隔长度s有有 关，而与时期关，而与时期t 无关。一般所说的无关。一般所说的“平稳性平稳性”含义就是上述含义就是上述 的弱平稳定义。的弱平稳定义。 )( t ue 2 )var( t u 对所有的对所有的 t 对所有的对所有的 t 对所有的对所有的 t 和和 s ss

32、tt uue )( (5.2.1) (5.2.2) (5.2.3) 37 p 阶自回归模型记作阶自回归模型记作ar(p)，满足下面的方程：，满足下面的方程： (5.2.4) 其中：参数其中：参数 c 为常数；为常数； 1 , 2 , p 是自回归模型系数；是自回归模型系数； p为自回归模型阶数；为自回归模型阶数； t 是均值为是均值为0，方差为，方差为 2 的白噪声的白噪声 序列。序列。 tptpttt uuucu 2211 38 q 阶移动平均模型记作阶移动平均模型记作ma(q) ，满足下面的方，满足下面的方 程：程： (5.2.5) 其中：参数其中：参数 为常数；参数为常数；参数 1 ,

33、2 , q 是是 q 阶移动阶移动 平均模型的系数；平均模型的系数； t 是均值为是均值为0，方差为，方差为 2的白噪声的白噪声 序列。序列。 qtqttt u 11 39 (5.2.6) 显然此模型是模型显然此模型是模型(5.2.4)与与(5.2.5)的组合形式，称为混合的组合形式，称为混合 模型，常记作模型，常记作arma(p,q)。当。当 p=0 时，时，arma(0, q) = ma(q)； 当当q = 0时，时，arma(p, 0) = ar(p)。 qtqttptptt uucu 1111 40 为了理解为了理解ar(p)、ma(q)和和arma(p,q)模型的理论结构，模型的理论

34、结构， 简单的算子理论是必不可少的。对于简单的算子理论是必不可少的。对于ar(p)模型模型 (5.2.7) 设设l为滞后算子，则有为滞后算子，则有lut ut-1, lput ut-p，特别地，特别地， l0ut ut。则式（则式（5.2.7）可以改写为：）可以改写为： tptpttt uuucu 2211 tt p p culll)1 ( 2 21 (5.2.8) 41 若设若设 (l) 1 - 1 l - 2 l2 - - p lp ，令，令 (5.2.9) 则则 (z) 是一个关于是一个关于z的的p次多项式，次多项式， 。式。式(5.2.7)可以改写为可以改写为 滞后算子多项式的形式滞后

35、算子多项式的形式 可以证明如果可以证明如果ar(p)模型满足平稳性条件，则式模型满足平稳性条件，则式(5.2.10) 可以表示为可以表示为ma( )的形式，从而可以推导出来任何一个的形式，从而可以推导出来任何一个 ar(p)模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。 01)( 2 21 p pz zzz tt cul)(5.2.10) 42 考察考察ma(q) 模型模型 若若 尽管不可逆时也可以表征任何给定的数据，但是一些参尽管不可逆时也可以表征任何给定的数据，但是一些参 数估计和预测算法只有在使用可逆表示时才有效。数估计和预测算法只有在使用可逆表示时才有效。

36、 t q qt lllu)1 ( 2 21 (5.2.16) t t e t 0 )( 2 01 2 21 q q zzz 43 arma(p,q) 模型包括了一个自回归模型模型包括了一个自回归模型ar(p)和一个移和一个移 动平均模型动平均模型ma(q) 或者以滞后算子多项式的形式表示或者以滞后算子多项式的形式表示 qtqttptptt uucu 1111 (5.2.19) t q q t p p lllc ulll )1 ( )1 ( 2 21 2 21 (5.2.20) 44 若令若令 则则 。 01)( 2 21 p p zzzz (5.2.21) arma模型构造了一种更为复杂的白噪

37、声序列的线性模型构造了一种更为复杂的白噪声序列的线性 组合，近似逼近一个平稳序列。组合，近似逼近一个平稳序列。 45 arma(p,q)模型中模型中ar和和ma部分应使用关键词部分应使用关键词ar和和ma 定义。在上面定义。在上面ar定义中，我们已见过这种方法的例子，这定义中，我们已见过这种方法的例子，这 对对ma也同样适用。也同样适用。 例如，估计因变量为例如，估计因变量为ls的一个的一个2阶自回归和阶自回归和1阶动平均阶动平均 过程过程arma(2,1)，应输入，应输入 ： ls c ar(1) ar(2) ma(1) 如果采用公式法输入方程，则只能有如果采用公式法输入方程，则只能有ar项

38、系数，明确项系数，明确 列出形式为：列出形式为： ls = c(1)+ar(1)=c(2),ar(2)=c(3)。 含有含有ma项只能用列表法。项只能用列表法。 46 本例取我国上证收盘指数（时间期间：本例取我国上证收盘指数（时间期间：1991年年1 月月2003年年3月）的月度时间序列月）的月度时间序列s作为研究对象，用作为研究对象，用 ar(1)模型描述其变化规律。首先对其做变化率，模型描述其变化规律。首先对其做变化率， srt = 100(st-st-1)/s t-1（t = 1, 2, , t） 这样便得到了变化率序列。一般来讲，股价指数序列这样便得到了变化率序列。一般来讲，股价指数序

39、列 并不是一个平稳的序列，而通过变换后的变化率数据，并不是一个平稳的序列，而通过变换后的变化率数据， 是一个平稳序列，可以作为我们研究、建模的对象。是一个平稳序列，可以作为我们研究、建模的对象。 记上证股价指数变化率序列为记上证股价指数变化率序列为sr。 47 建立如下模型：建立如下模型： t = 1, 2, , t 估计输出结果显示为：估计输出结果显示为： ttt usrcsr 1 48 -40 0 40 80 120 160 200 919293949596979899000102 从图从图5.2可以看出我国上证股价指数变化率序列在可以看出我国上证股价指数变化率序列在1991 年年1994

40、年之间变化很大，而后逐渐变小，基本在年之间变化很大，而后逐渐变小，基本在3%上下波上下波 动。近年来波动平缓，并且大多在动。近年来波动平缓，并且大多在3%下面波动。拟合曲线基下面波动。拟合曲线基 本代表了这一时期的均值。本代表了这一时期的均值。 49 对例对例5.5中我国上证收盘指数（时间期间：中我国上证收盘指数（时间期间：1991年年1月月 2003年年3月）的月度时间序列月）的月度时间序列s的对数差分变换的对数差分变换ls=dlog(s)， 即股票收益率用即股票收益率用arma(1,1)模型来估计，来说明模型来估计，来说明eviews是是 如何估计一个如何估计一个arma(p，q)模型的。

41、模型的。 建立方程，输入建立方程，输入 ls c ar(1) ma(1) tt ucls 11 tttt uu 50 估计输出显示：估计输出显示： 51 11 11 1111 2526. 0 3408. 03408. 10168. 0 2526. 0)0168. 0 (3408. 00168. 0 ttt ttt tttt sl sl ucsl 估计方程可写为：估计方程可写为： t = (1.32) t = (-0.42) （0.3） r2= 0.0087 d.w. = 1.99 也可写为：也可写为： tt usl0168. 0 11 25. 034. 0 tttt uu 52 一个含有一个含

42、有ar项的模型有两种残差：第一种是无条件项的模型有两种残差：第一种是无条件 残差残差 ，第二种残差是估计的一期向前预测误差，第二种残差是估计的一期向前预测误差 。如名。如名 所示，这种残差代表预测误差。实际上，通过利用滞后残所示，这种残差代表预测误差。实际上，通过利用滞后残 差的预测能力，改善了无条件预测和残差。差的预测能力，改善了无条件预测和残差。 对于含有对于含有arma项的模型，基于残差的回归统计量，项的模型，基于残差的回归统计量， 如如r2和和d.w.值都是以一期向前预测误差为基础计算的。含值都是以一期向前预测误差为基础计算的。含 有有ar项的模型独有的统计量是估计的项的模型独有的统计

43、量是估计的ar系数。对于简单系数。对于简单 ar(1)模型，模型， 1是无条件残差的一阶序列相关系数。在输出是无条件残差的一阶序列相关系数。在输出 表中表中 1用用ar(1)表示，表示，ma(1) 模型的系数模型的系数 1用用ma(1)表示。表示。 对于平稳对于平稳ar(1)模型，模型， 1在在-1和和+1之间。之间。 t u t 53 在实际研究中，所能获得的只是经济指标的时间序在实际研究中，所能获得的只是经济指标的时间序 列数据，根据经济指标的样本特征，来推断其总体（真列数据，根据经济指标的样本特征，来推断其总体（真 实）特征。这一节将引入自相关系数实）特征。这一节将引入自相关系数 (au

44、tocorrelations， 简称简称ac) 和偏自相关系数和偏自相关系数 (partial autocorrelations，简称，简称 pac) 这两个统计量去识别这两个统计量去识别arma(p,q) 模型。模型。ma(q) 模模 型的自相关函数在型的自相关函数在 q 步以后是截尾的，偏自相关系数呈步以后是截尾的，偏自相关系数呈 现出某种衰减的形式。现出某种衰减的形式。ar(p) 模型的偏自相关系数是模型的偏自相关系数是 p 阶截尾的。具体的模型形式还要通过自相关和偏自相关阶截尾的。具体的模型形式还要通过自相关和偏自相关 系数给出的信息，经过反复的试验及检验，最终挑选出系数给出的信息，经

45、过反复的试验及检验，最终挑选出 各项统计指标均符合要求的模型形式。各项统计指标均符合要求的模型形式。 54 本例将用本例将用arma模型模拟模型模拟1990年年1月月2004年年12月的月的 居民消费价格指数居民消费价格指数cpi（上年同月（上年同月=100）的变化规律。实）的变化规律。实 际上用后面学到的单位根检验可知际上用后面学到的单位根检验可知cpi序列是一个非平稳序列是一个非平稳 的序列，但是它的一阶差分序列的序列，但是它的一阶差分序列 cpi是平稳的。首先观察是平稳的。首先观察 cpi序列的自相关系数和偏自相关系数的图形序列的自相关系数和偏自相关系数的图形 55 从图从图5.6可以看

46、出可以看出 cpi序列的自相关系数是拖尾序列的自相关系数是拖尾 的，偏自相关系数在的，偏自相关系数在1阶结尾。由前面的知识可以判阶结尾。由前面的知识可以判 断断 cpi序列基本满足序列基本满足ar(1)过程。建模得到过程。建模得到 t= (5.48) r2=0.146 d.w.=2.098 ttt ucpicpi382. 0 1 56 由由图图5.7可以观察到可以观察到ar(1) 模型比较好的拟合了模型比较好的拟合了cpi序序 列，回归方程的残差序列基本上也是一个零均值的平稳序列，回归方程的残差序列基本上也是一个零均值的平稳序 列。列。 57 从从图图5.8的的回归方程的残差序列回归方程的残差

47、序列的自相关系数和偏自的自相关系数和偏自 相关系数可以看到不存在序列相关。相关系数可以看到不存在序列相关。因此，在实际建模中，因此，在实际建模中， 可以借助可以借助arma(p,q)模型去拟和一些具有平稳性的经济变模型去拟和一些具有平稳性的经济变 量的变化规律。量的变化规律。 58 前述的前述的ar(p)、ma(q) 和和arma(p,q) 三个模型只适三个模型只适 用于刻画一个平稳序列的自相关性。用于刻画一个平稳序列的自相关性。一个平稳序列的数一个平稳序列的数 字特征，如均值、方差和协方差等是不随时间的变化而字特征，如均值、方差和协方差等是不随时间的变化而 变化的，时间序列在各个时间点上的随

48、机性服从一定的变化的，时间序列在各个时间点上的随机性服从一定的 概率分布。概率分布。也就是说，对于一个平稳的时间序列也就是说，对于一个平稳的时间序列可以通可以通 过过去时间点上的信息，建立模型拟合过去信息，进而过过去时间点上的信息，建立模型拟合过去信息，进而 预测未来的信息。预测未来的信息。 59 0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 78808284868890929496980002 从图从图5.9可以看出，中国的可以看出，中国的gdp 在在19782002年之年之 间具有很强的上升趋势。间具有很强的上升趋势。 60 描述类似图描述类似图5.9形式

49、的非平稳经济时间序列有两种方形式的非平稳经济时间序列有两种方 法，一种方法是包含一个确定性时间趋势法，一种方法是包含一个确定性时间趋势 (5.3.1) 其中其中 ut 是平稳序列；是平稳序列；a + t 是线性趋势函数。这种过程是线性趋势函数。这种过程 也称为也称为的，因为如果从式的，因为如果从式(5.3.1)中减去中减去 a + t， 结果是一个平稳过程。注意到像图结果是一个平稳过程。注意到像图5.9一类的经济时间序一类的经济时间序 列常呈指数趋势增长，但是指数趋势取对数就可以转换列常呈指数趋势增长，但是指数趋势取对数就可以转换 为线性趋势为线性趋势。 tt utay 61 另一种方法是设定

50、为另一种方法是设定为，非平稳序列中有一，非平稳序列中有一 类序列可以通过差分运算，得到具有平稳性的序列，考虑类序列可以通过差分运算，得到具有平稳性的序列，考虑 下式下式 (5.3.2) 也可写成也可写成 (5.3.3) ttt uyay 1 ttt uayly)1 ( 其中其中a是常数，是常数，ut是平稳序列，若是平稳序列，若ut i.i.d. n (0, 2) ，且，且ut 是一个白噪声序列。若令是一个白噪声序列。若令a = 0， y0=0，则由式，则由式(5.3.2)生成生成 的序列的序列 yt，有，有var(yt)=t 2（t = 1, 2, , t），显然违背了时），显然违背了时 间序

51、列平稳性的假设。而式间序列平稳性的假设。而式(5.3.3)的差分序列是含位移的差分序列是含位移a的的 随机游走，说明随机游走，说明 yt 的差分序列的差分序列 yt是平稳序列。是平稳序列。 62 像前述像前述 yt 这种非平稳序列，可以通过差分运算，得这种非平稳序列，可以通过差分运算，得 到平稳性的序列称为到平稳性的序列称为。定义如下：。定义如下： 如果序列如果序列 yt ，通过，通过 d 次差分成为一个平稳序次差分成为一个平稳序 列，而这个序列差分列，而这个序列差分 d 1 次时却不平稳，那么称序列次时却不平稳，那么称序列 yt 为为 d 阶单整序列，记为阶单整序列，记为 yt i(d)。特

52、别地，如果序列。特别地，如果序列 yt 本身是平稳的，则为零阶单整序列，记为本身是平稳的，则为零阶单整序列，记为 yt i(0)。 63 检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。有检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。有6种单种单 位根检验方法：位根检验方法：adf检验、检验、dfgls检验、检验、pp检验、检验、 kpss检验、检验、ers检验和检验和np检验，本节将介绍检验，本节将介绍df检验、检验、 adf检验。检验。 64 其中其中 a 是常数，是常数， t 是线性趋势函数，是线性趋势函数，ut i.i.d. n (0, 2) 。 ttt uyy 1 ttt uayy 1 ttt uta

53、yy 1 (5.3.4) (5.3.5) (5.3.6) 为说明为说明df检验的使用，检验的使用，先先考虑考虑3种形式的回归模型种形式的回归模型 65 (1) 如果如果 -1 1，则，则 yt 平稳（或趋势平稳）。平稳（或趋势平稳）。 (2) 如果如果 =1， yt 序列是非平稳序列。序列是非平稳序列。(5.3.4)式可写成：式可写成： 显然显然 yt 的差分序列是平稳的。的差分序列是平稳的。 (3) 如果如果 的绝对值大于的绝对值大于1，序列发散，且其差分序列，序列发散，且其差分序列 是非平稳的。是非平稳的。 tttt uyyy 1 ttt uyy) 1( 66 因此，判断一个序列是否平稳，

54、可以通过检验因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验 是是 否严格小于否严格小于1 1来实现。也就是说：来实现。也就是说： ttt uyy 1 ttt uayy 1 ttt utayy 1 (5.3.7) (5.3.8) (5.3.9) 从方程两边同时减去从方程两边同时减去 yt-1 得得， 67 其中：其中： = = -1-1，所以原假设和备选假设可以改写为，所以原假设和备选假设可以改写为 可以通过最小二乘法得到可以通过最小二乘法得到 的估计值，并对其进行的估计值，并对其进行 显著性检验的方法，构造检验显著性水平的显著性检验的方法，构造检验显著性水平的 t 统计量。统计量。 但是，但是，di

55、ckey-fuller研究了这个研究了这个t 统计量在原假设下统计量在原假设下 已经不再服从已经不再服从 t 分布，它依赖于分布，它依赖于 。 0: 0: 1 0 h h 68 adf检验方法通过在回归方程右边加入因变量检验方法通过在回归方程右边加入因变量yt 的滞的滞 后差分项来控制高阶序列相关后差分项来控制高阶序列相关 t p i ititt uyyy 1 1 t p i ititt uyayy 1 1 t p i ititt uytayy 1 1 (5.3.11) (5.3.12) (5.3.13) 69 扩展定义将检验扩展定义将检验 (5.3.14) 序列序列 yt可能还包含常数项和时

56、间趋势项。可能还包含常数项和时间趋势项。 判断判断 的估计值的估计值 是接受原假设或者接受备选假设，进而是接受原假设或者接受备选假设，进而 判断一个高阶自相关序列判断一个高阶自相关序列ar(p) 过程是否存在单位根。过程是否存在单位根。 类似于类似于df检验，检验，mackinnon通过模拟也得出在不同回通过模拟也得出在不同回 归模型及不同样本容量下检验归模型及不同样本容量下检验 不同显著性水平的不同显著性水平的 t 统计统计 量的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平量的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平 下判断高阶自相关序列是否存在单位根。下判断高阶自相关序列是否存在单

57、位根。 0: 0: 1 0 h h 70 双击序列名，打开序列窗口，选择双击序列名，打开序列窗口，选择view/unit root test， 得到下图得到下图： 71 进行单位根检验必须定义进行单位根检验必须定义4项：项： 在在test type的下拉列表中，选择检验方法。的下拉列表中，选择检验方法。eviews5提供提供 了了6种单位根检验的方法：种单位根检验的方法： augmented dickey-fuller(adf) test dickey-fuller gls test phillips-perron(pp) test kwiatkowski , phillips , schmi

58、dt and shin (kpss) test elliot , rothenberg , and stock point optimal (ers) test ng and perron (np) test 72 在在test for unit root in中确定序列在中确定序列在 下进行单位根检验。可以使用这个选项决下进行单位根检验。可以使用这个选项决 定序列中单位根的个数。如果检验水平值未拒绝，而在定序列中单位根的个数。如果检验水平值未拒绝，而在 一阶差分拒绝原假设，序列中含有一个单位根，是一阶一阶差分拒绝原假设，序列中含有一个单位根，是一阶 单整单整i(1)；如果一阶差分后的序列仍然

59、未拒绝原假设，；如果一阶差分后的序列仍然未拒绝原假设， 则需要选择则需要选择2阶差分。一般而言，一个序列经过两次差分阶差分。一般而言，一个序列经过两次差分 以后都可以变为一个平稳序列，也就是二阶单整以后都可以变为一个平稳序列，也就是二阶单整i(2)。 73 在在include in test equation中定义在检验回归中是否中定义在检验回归中是否 。这一选。这一选 择很重要，因为检验统计量在原假设下的分布随这择很重要，因为检验统计量在原假设下的分布随这3种种 情况不同而变化。在什么情况下包含常数项或者趋势项，情况不同而变化。在什么情况下包含常数项或者趋势项， 刚才已经作了介绍。刚才已经作

60、了介绍。 74 在在lag lenth这个选项中可以选择一些确定消除序列这个选项中可以选择一些确定消除序列 相关所需的相关所需的的准则。一般而言，的准则。一般而言，eviews默认默认 sic准则。准则。 定义上述选项后，单击定义上述选项后，单击ok进行检验。进行检验。eviews显示显示 检验统计量和估计检验回归。检验统计量和估计检验回归。 单位根检验后，应检查单位根检验后，应检查eviews显示的估计检验回归，显示的估计检验回归， 尤其是如果对滞后算子结构或序列自相关阶数不确定，尤其是如果对滞后算子结构或序列自相关阶数不确定， 可以选择不同的右边变量或滞后阶数来重新检验。可以选择不同的右边