概率论与数理统计 第一章 概率论基础

1、概率论与数理统计概率论与数理统计 第第1章章 概率论基础概率论基础 1.1 随机试验与样本空间随机试验与样本空间 2.2 随机事件及其概率随机事件及其概率 3.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型 3.4 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式 3.5 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式 3.6 独立性独立性 3.7 Excel数据分析功能简介数据分析功能简介 概率论是从数量化的角度来研究现实世界中一概率论是从数量化的角度来研究现实世界中一 类不确定现象（随机现象）规律性的一门数学学类不确定现象（随机现象）规律性的一门数学学 科，科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民世纪以来

2、，广泛应用于工业、国防、国民 经济及工程技术等各个领域本章介绍随机事件经济及工程技术等各个领域本章介绍随机事件 与概率、古典概型与几何概型、条件概率与乘法与概率、古典概型与几何概型、条件概率与乘法 公式等概率论中最基本、最重要的概念和概率计公式等概率论中最基本、最重要的概念和概率计 算方法算方法 第第1章章 概率论基础概率论基础 【概率论简史】【概率论简史】 概率的概念形成于概率的概念形成于1616世纪，与用投掷骰子的方法世纪，与用投掷骰子的方法 进行赌博有密切的关系进行赌博有密切的关系 16541654年，一个名叫德梅尔（年，一个名叫德梅尔（De Mere，法）的赌，法）的赌 徒就徒就“两个

3、赌徒约定赌若干局，且谁先赢两个赌徒约定赌若干局，且谁先赢c局便算赢局便算赢 家，若在一赌徒胜家，若在一赌徒胜a a局（局（ac），另一赌徒胜），另一赌徒胜b局（局（b 0)的等距平行线，向平面任意投掷的等距平行线，向平面任意投掷 一枚长为一枚长为l (l 0，则称，则称 (1.2) 为在A发生下的B的条件概率 类似地，当P(B) 0时，定义在B发生下事件A 发生的条件概率为 (1.3) )( )( )( AP ABP ABP )( )( )( BP ABP BAP 1.4.1 条件概率条件概率 注意，由此定义我们无法断言条件概率P(B|A)与 无条件概率P(B)有什么必然的关系. 例如，我们不

4、能由定义断言 或 事实上，当B A时，有 当AB = 时，有 )()(ABPBP )()(ABPBP ).( )( )( )( )( )(BP AP BP AP ABP ABP )(0)(BPABP 1.4.1 条件概率条件概率 一般地，一般地， 不难验证，条件概率满足概率定义1.5中的三条公 理： (1) 非负性：对任意事件B，P(B | A) 0； (2) 规范性：P( | A) = 1； (3) 可列可加性：设 事件两两互 不相容，则 所以,条件概率P(| A)也满足概率的所有其他性 质 1 )( )( )( )( )(0 AP AP AP ABP ABP , 21n BBB 1 1 )

5、()|( i ii i ABPABP 1.4.1 条件概率条件概率 );()()()( )4( 212121 BAAPBAPBAPBAAP ).(1)( )5(BAPBAP 则则有有的的事事件件 是是两两两两不不相相容容设设可可列列可可加加性性 , , , ,: )6( 21n BBB . )( 11 n i i n i i ABPABP 例如例如: 1.4.1 条件概率条件概率 【例1.11】设某种动物从出生起活20岁以上的概 率为80%，活25岁以上的概率为40%如果现在 有一个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概 率 解：设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “

6、 能活 25 岁以上”的事件, 则有所求概率为则有所求概率为 , 8 . 0)( AP因为因为 . )( )( )( AP ABP ABP , 4 . 0)( BP . 2 1 8 . 0 4 . 0 )( )( )( AP ABP ABP 所所以以 由于由于B A,所以所以P(AB)=P(B), 1.4.1 条件概率条件概率 1.4.2 1.4.2 乘法公式乘法公式 由条件概率公式容易得到下面定理 定理1.1 设A与B是同一样本空间中的两个事件， 如果P(A) 0，则 (1.4) 如果P(B) 0，则 (1.5) 上面均称为事件概率的乘法公式 定理1.1容易推广到求多个事件积事件概率的情 况

7、 )()()(APABPABP )()()(BPBAPABP 1.4 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式 则则有有且且为为事事件件设设推推广广, 0)(,:1 21321 AAPAAA ).()()()( 213121321 AAAPAAPAPAAAP 事实上事实上 )()( 321321 AAAPAAAP 且且 , 0)()( 211 AAPAP由于由于 )()( 21321 AAAPAAP ).()()( 213121 AAAPAAPAP 可进一步推广如下可进一步推广如下: 右侧的条件概率均有意义右侧的条件概率均有意义, 1.4.2 乘法公式乘法公式 ).()( .)()()()( 12

8、12211 2112121 nnnn n AAAAPAAAAP AAAPAAPAPAAAP 则则有有且且, 0)( 121 n AAAP , 2,:2 21 nnAAA n 个事件个事件为为设设推广推广 1.4.2 乘法公式乘法公式 【例1.12】某厂的产品中有4%的废品，在100件 合格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任 取一件是一等品的概率 解：设A = 任取的一件是合格品，B = 任取 的一件是一等品 因为 且B A 所以 %,96)(1)( APAP%75)( ABP )()(ABPBP )()(ABPAP .72. 0 100 75 100 96 1.4.2 乘法公式乘法公式

9、【例1.13】某人忘记了电话号码的最后一位数字， 因而他随意地拨号求他拨号不超过三次而接通 电话的概率若已知最后一位数字是奇数，那么 此概率又是多少？ 解：设Ai =“第i次接通电话”，i = 1，2，3， B =“拨号不超过3次接通电话”， 则事件B的表达式为 利用概率的加法公式和乘法公式 321211 AAAAAAB )(BP )|()|()()|()()( 2131211211 AAAPAAPAPAAPAPAP )()()( 321211 AAAPAAPAP . 10 3 8 1 9 8 10 9 9 1 10 9 10 1 1.4.2 乘法公式乘法公式 若已知最后一位数字是奇数， 则

10、)|()|()()|()()( 2131211211 AAAPAAPAPAAPAPAP 5 3 3 1 4 3 5 4 4 1 5 4 5 1 )(BP 1.4.2 乘法公式乘法公式 【例【例1.14】猎手在距猎物猎手在距猎物10米处开枪，击中米处开枪，击中 概率为概率为0.6若击不中，待开第二枪时猎物已逃若击不中，待开第二枪时猎物已逃 至至30米远处，此时击中概率为米远处，此时击中概率为0.25，若再击不，若再击不 中，则猎物已逃至中，则猎物已逃至50米远处，此时只有米远处，此时只有0.1的击的击 中概率求猎手三枪内击中猎物的概率中概率求猎手三枪内击中猎物的概率 解：以Ai =“第i枪击中猎

11、物”，i = 1，2，3， 则所求概率 )( 321 AAAP )(1 321 AAAP )|()|()(1 213121 AAAPAAPAP )1 . 01)(25. 01)(6 . 01(1 73. 0 )(1 321 AAAP 1.4.2 乘法公式乘法公式 课堂练习课堂练习 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破第一次落下时打破 的概率为的概率为1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破, 第二次落下打破的第二次落下打破的 概率为概率为7/10 , 若前两次落下未打破若前两次落下未打破, 第三次落下打破的第三次落下打破的 概率为概率为9/10.试求透镜落下

12、三次而未打破的概率试求透镜落下三次而未打破的概率. 解解 B “透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”. , 321 AAAB 因因为为 )()( 321 AAAPBP 所所以以 )()()( 213121 AAAPAAPAP ) 10 9 1)( 10 7 1)( 2 1 1( . 200 3 )3 , 2 , 1( , iiAi次次落落下下打打破破透透镜镜第第设设 在处理复杂事件的概率时，我们经常将在处理复杂事件的概率时，我们经常将 这个复杂事件分解为若干个互不相容的较简这个复杂事件分解为若干个互不相容的较简 单的事件之和，先求这些简单事件的概率，单的事件之和，先求这些简单事件的概率，

13、 再利用有限可加性得到所求事件的概率，这再利用有限可加性得到所求事件的概率，这 种方法就是种方法就是全概率公式全概率公式 1.4.2 乘法公式乘法公式 1.5 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式 1.5.1 1.5.1 全概率公式全概率公式 引例：引例： 有三个罐子有三个罐子,1号装有号装有 2 红红 1 黑球黑球 , 2 号装有号装有 3 红红 1 黑球，黑球，3号装有号装有 2 红红 2 黑球黑球. 某某 人从中人从中随机取一罐随机取一罐，在从中，在从中任意取出一球任意取出一球， 求取得红球的概率求取得红球的概率. 21 3 如何求取得红球的概率？如何求取得红球的概率？ 第第1章

14、章 概率论基础概率论基础 定理定理1.2 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为 ,A1,A2,An为为 E的一组事件，且满足：的一组事件，且满足： (1) A1,A2,An两两互不相容， i = 1,2,n； (2) 则对任一事件B，有 (1.7) (1.7)称为全概率公式 称满足(1)和(2)的A1，A2，An为完备事件组或 样本空间的一个划分 i n i A 1 )()()( 1 i n i i ABPAPBP , 0)( i AP 1 A 2 A 3 A 1 n A n A 1.5.1 全概率公式全概率公式 证明：因为 由于A1，A2，An两两互不相容， 由有限可加性 由假设及乘法公式

15、得到 利用全概率公式求事件B的概率，关键是寻求完 备事件组A1，A2，An; 寻求完备事件组A1，A2，An相当于找导致事 件B发生的所有互不相容的事件 BB )()( 1 i n i BAPBP ).()()()( 11 i n i i n i i ABPAPBAPBP )( 1 i n i AB )( 1 i n i BA n i i BAP 1 )( 1.5.1 全概率公式全概率公式 有三个罐子有三个罐子,1号装有号装有 2 红红 1 黑球黑球 , 2号装有号装有 3 红红 1 黑球，黑球，3号装有号装有 2 红红 2 黑球黑球. 某人从中随机取一某人从中随机取一 罐，再从中任意取出一球

16、，罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率求取得红球的概率. 解解 记记 Ai = 取到的是取到的是 i 号罐号罐 i=1, 2, 3; B = 取得红球取得红球 A1,A2,A3 的发生都会导致的发生都会导致B 发生，发生， A1,A2,A3构成完备事件组构成完备事件组 代入数据计算得：代入数据计算得：P( (B) ) 0.639 . 3 1 )|()()( i ii ABPAPBP由由全全概概率率公公式式得得 123 再看引例再看引例 依题意依题意: P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4,P(B|A3 )=1/2, P( Ai )=1/3, i=1, 2, 3 1.5.1 全

17、概率公式全概率公式 【例1.15】假设有3箱同种型号零件，里面分别装有 50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件 和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两 个零件，试求: (1)先取出的零件是一等品的概率； (2)两次取出的零件均为一等品的概率 解: 设Ai =“任取的一箱为第i箱零件”，i = 1,2,3， Bj =“第j次取到的是一等品”，j = 1，2 由题意知由题意知 A1、A2和和A3构成完备事件组，构成完备事件组， 且 3 1 )()()( 321 APAPAP 1.5.1 全概率公式全概率公式 (1) 由全概率公式得 )|( 11 ABP )|( 21 ABP

18、 6 . 0 40 24 )()()( 1 3 1 1i i i ABPAPBP , 4 . 0 50 20 4 . 0 30 12 )|( 31 ABP .467. 0)6 . 04 . 04 . 0( 3 1 1.5.1 全概率公式全概率公式 (2) 因为因为 由全概率公式得 )|( 121 ABBP )|( 221 ABBP )|( 321 ABBP 22. 0)3538. 01517. 01551. 0( 3 1 1551. 0 2 50 2 20 C C 1517. 0 2 30 2 12 C C 3538. 0 2 40 2 24 C C )()()( 21 3 1 21i i i

19、 ABBPAPBBP 1.5.1 全概率公式全概率公式 引例：引例： 某人从任一罐中任意摸出一球，发现某人从任一罐中任意摸出一球，发现 是红球，求该球是取自是红球，求该球是取自 1号罐的概率号罐的概率. 213 这是这是“已知结果求已知结果求 原因原因”的问题是求一的问题是求一 个条件概率个条件概率. 下面就介绍为解决这类问题而引出的公式：下面就介绍为解决这类问题而引出的公式： Bayes(贝叶斯贝叶斯)公式公式 1.5.1 全概率公式全概率公式 1.5.2 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 定理1.3 设试验E的样本空间为 ，B为E的事件， A1，A2，An为完备事件组，且P(B) 0， P

20、(Ai) 0，i = 1，2，n，则 (1.8) (1.8)式称为贝叶斯公式 ni ABPAP ABPAP BAP i n i i ii i , 2 , 1, )()( )()( )( 1 ni ABPAP ABPAP BAP i n i i ii i , 2 , 1, )()( )()( )( 1 1.5 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式 证明证明 )( )( )( BP BAP ABP i i , )()( )()( 1 n j jj ii APABP APABP ., 2 , 1ni 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出. 它是在观它是在观 察到

21、事件察到事件B已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原发生的每个原 因的概率因的概率. 由由条件概率公式条件概率公式、乘法公式乘法公式及及全概率公式全概率公式知：知： 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球， 求该球是取自求该球是取自 1号罐的概率号罐的概率. 再看引例再看引例 解解 记记 i = 取到第取到第 i 号罐号罐 i=1, 2, 3; = 取得红球取得红球 1,2,3是完备事件组是完备事件组 3 1 11 1 )|()( )()|( )|( i ii ABPAP APABP BAP由由贝

22、贝叶叶斯斯公公式式得得 代入数据计算得：代入数据计算得： 21 3 其中其中P(|1)=2/3, P(|2 )=3/4, P(|3 )=1/2,P(i)=1/3,i=1,2,3 348. 0)|( 1 BAP 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 特别有： 设事件A、B为试验E的两事件，由于A和 是一个完备事件组，若P(A) 0， P(B) 0，贝叶斯公式的一种常用简单形式为 A 0)( AP )()()()( )()( )( ABPAPABPAP ABPAP BAP 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 【例【例1.16】玻璃杯成箱出售，每箱玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设只，假设 各箱含各箱含0，

23、1，2只残次品的概率分别是只残次品的概率分别是0.8，0.1 和和0.1，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售 货员随即取出一箱，顾客开箱随机地查看四只，货员随即取出一箱，顾客开箱随机地查看四只， 若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回， 试求：试求： (1) 顾客买下该箱的概率； (2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的 概率 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 解：设B =“顾客买下该箱玻璃杯”， Ai =“抽到的一箱中有i件残次品”，i = 0,1,2 (1) 事件B在下面三种情况下均会发生：抽到的一 箱中没有残

24、次品、有1件残次品或有2件次品。 显然A0，A1，A2是完备事件组 由题意知 由全概率公式得 1 . 0)(, 1 . 0)(, 8 . 0)( 210 APAPAP )( 0 ABP )(BP , 1 4 20 4 20 C C )( 1 ABP, 5 4 4 20 4 19 C C )( 2 ABP 19 12 4 20 4 18 C C 94. 0)()()()()()( 221100 ABPAPABPAPABPAP 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 (2) 由贝叶斯公式 )( 0 BAP )( )()( 00 BP ABPAP 85. 0 94. 0 18 . 0 1.5.2 贝叶斯公

25、式贝叶斯公式 【例【例1.17】根据以往的记录，某种诊断肝炎的根据以往的记录，某种诊断肝炎的 试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的 概率为概率为0.95；非肝炎病人的试验呈阴性的概率为；非肝炎病人的试验呈阴性的概率为 0.95对自然人群进行普查的结果为：有千分之对自然人群进行普查的结果为：有千分之 五的人患有肝炎现有某人做此试验结果为阳五的人患有肝炎现有某人做此试验结果为阳 性，问此人确有肝炎的概率为多少？性，问此人确有肝炎的概率为多少？ 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 解: 设A =“某人确有肝炎”， B =“某人做此试验结果为阳性”； 由已知条

26、件有 从而 由贝叶斯公式，有 95. 0)( ABP ,95. 0)( ABP005. 0)( AP 995. 0)(1)( APAP 05. 0)(1)( ABPABP )()()()( )()( )( ABPAPABPAP ABPAP BAP 087. 0 05. 0995. 095. 0005. 0 95. 0005. 0 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 本题的结果表明，虽然 这两个概率都很高但是，即试验 阳性的人有肝炎的概率只有8.7%如果不注意这 一点，将 和 搞混，将会得出错误 诊断，造成不良的后果 ,95. 0)( ABP 95. 0)( ABP )(ABP)(BAP 1.5.

27、2 贝叶斯公式贝叶斯公式 在贝叶斯公式中，事件Ai的概率P(Ai)，i = 1， 2，n，通常是人们在试验之前对Ai的认知，习 惯上称其为先验概率若试验后事件B发生了，在 这种信息下考察Ai的概率 它反映了导致B发生的各种原因的可能性大小，常 称为后验概率 niBAP i ,.,2 , 1),|( 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 贝叶斯公式是英国哲学家贝叶斯公式是英国哲学家Bayes于于1763首先首先 提出的，经过多年的发展和完善，由这一公式提出的，经过多年的发展和完善，由这一公式 的思想已经发展成为一整套统计推断方法，即的思想已经发展成为一整套统计推断方法，即 “Bayes方法方法”，这

28、一方法在计算机诊断、模，这一方法在计算机诊断、模 式识别、基因组成、蛋白质结构等很多方面都式识别、基因组成、蛋白质结构等很多方面都 有应用有应用 Thomas Bayes Born: 1702 in London, England Died: 17 Apr. 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 课堂练习课堂练习 有一台用来检验产品质量的仪器，已知一只有一台用来检验产品质量的仪器，已知一只 次品经检验被认为是次品的概率为次品经检验被认为是次品的概率为0.990.99，而一只，而一只 正品经检验被认为是次品的概率正品经检验

29、被认为是次品的概率0.0050.005，已知产品，已知产品 的次品率为，若一产品经检验被认为是次品，的次品率为，若一产品经检验被认为是次品， 求它确为次品的概率求它确为次品的概率 解解 品品产产品品经经检检验验被被认认为为是是次次设设 A 产品确为次品产品确为次品 B 由贝叶斯公式，所求概率为由贝叶斯公式，所求概率为 ,04. 0)( BP,96. 0)( BP ,. 0)|( BAP,005. 0)|( BAP 由题设知由题设知 )|(ABP . . . )()|()()|( )()|( BPBAPBPBAP BPBAP 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 1.6 1.6 独立性独立性 1.6

30、.11.6.1事件的独立性事件的独立性 1两个事件的独立性两个事件的独立性 我们知道条件概率P(B|A)与无条件概率P(B)不一 定相等， 但是在一些特殊情况下它们相等但是在一些特殊情况下它们相等 例如例如 , , . ,),23(5 取取到到绿绿球球”“第第二二次次抽抽取取 取取到到绿绿球球”“第第一一次次抽抽取取 记记地地取取两两次次 有有放放回回每每次次取取出出一一个个红红绿绿个个球球盒盒中中有有 B A 则有则有 ),()(BPABP .发生的可能性大小发生的可能性大小的发生并不影响的发生并不影响它表示它表示BA )()(BPABP 由由 )()()(BPAPABP 第第1章章 概率论

31、基础概率论基础 一般地，有下面定义： 定义1.7 设A，B是两个事件，如果P(AB)= P(A)P(B)，则称A与B相互独立 显然，当P(A)0时，A与B相互独立当且仅当 P(B|A) = P(B) 显然，当P(B)0时，A与B相互独立当且仅当 P(A|B) = P(A) 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 B , 2 1 )( AP若若 AB ).()()(BPAPABP 则则 请看例子请看例子 可见可见两事件两事件相互独立，相互独立，但两事件但两事件不是互不相容的！不是互不相容的！ 请思考请思考: : , AB但但 A 两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP

32、两事件互不相容两事件互不相容 AB 二者之间二者之间 的关系？的关系？ , 2 1 )( BP 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 A B , 2 1 )(, 2 1 )( BPAP若若 . )()()(BPAPABP 故故 可见可见两事件两事件互不相容互不相容但但不独立不独立. , 0)( ABP则则, 4 1 )()( BPAP , AB 再看例子再看例子 所以，所以，相互独立相互独立和和互不相容互不相容是两个不同的是两个不同的 概念，概念，不要把它们相容相混淆不要把它们相容相混淆 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 事实上： 当P(A)P(B) 0时， A与B

33、独立等价于P(B|A)=P(B)且P(|)= P()， 说明,B是否发生互相没有影响，因此A与B独立一定不是 互不相容的，反之A与B互不相容一定不独立 当A，B之一为时， P(AB) = P(A)P(B)与B 同时成立，即独立与互不相 容并存 两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互不相容两事件互不相容 AB 二者之间没二者之间没 有必然联系有必然联系 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 【例1.19】证明若事件A与B相互独立，则下列各 对事件也相互独立： A与 ，B与 ， 与 证：因为 所以 即A与 相互独立 由此可推出 与 相互独立， 再由 又推出B与

34、 相互独立 BAAB BAABBBAA )( )()()()(BAPABPBAABPAP )()()(1)()(BPAPBPAPBAP B AB BB A )()()(BAPBPAP 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 2 2多个事件的独立性多个事件的独立性 定义1.8 设A,B,C 为三个事件，如果等式 P(AB ) = P( A )P( B ) P(BC ) = P( B )P(C ) P(AC ) = P(A)P(C ) P(ABC ) = P(A )P(B )P(C ) 都成立，则称事件A，B，C相互独立 另外,仅由P(ABC)=P(A)P(B)P(C),既不能保证A、B

35、、 C两两相互独立,更不能保证三事件相互独立 注意注意 三个事件相互独立三个事件相互独立 三个事件两两相互独立三个事件两两相互独立 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 【例【例1.201.20】一个均匀的正四面体一个均匀的正四面体， 其第一面染成其第一面染成 红红色色，第二面染成第二面染成黄黄色色 ， 第三面染成第三面染成蓝蓝色色，而第而第 四面同时染上四面同时染上红红、黄黄、蓝蓝三种颜色三种颜色. .现以现以 A A ，B B，C C 分别记投一次四面体分别记投一次四面体出现红、黄、蓝颜色朝下的事出现红、黄、蓝颜色朝下的事 件，件， 问问 A，B，C是否相互独立是否相互独立?

36、解解由于在四面体中红、黄、蓝分别出现两面，由于在四面体中红、黄、蓝分别出现两面， 因此因此, 2 1 )()()( CPBPAP 又由题意知又由题意知 , 4 1 )()()( ACPBCPABP 伯恩斯坦反伯恩斯坦反 例例 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 故有故有 因此因此 A，B，C 不相互独立不相互独立. , 4 1 )()()( , 4 1 )()()( , 4 1 )()()( CPAPACP CPBPBCP BPAPABP 则三事件则三事件 A, B, C 两两独立两两独立. 由于由于 4 1 )( ABCP),()()( 8 1 CPBPAP 1.6.1 1.6

37、.1 事件的独立性事件的独立性 【例【例1.21】设一口袋中有设一口袋中有100个球，其中有个球，其中有7个个 是红的，是红的，25个是黄的，个是黄的，24个是黄蓝两色的，个是黄蓝两色的，1 个是红黄蓝三色的，其余个是红黄蓝三色的，其余43个是无色的现从个是无色的现从 中任取一个球，以中任取一个球，以A、B、C分别表示取得的球分别表示取得的球 有红色的、有黄色的、有蓝色的事件有红色的、有黄色的、有蓝色的事件 另一个反例另一个反例(略略) 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 显然显然, 故P(ABC) = P(A)P(B)P(C) 显然又有 P(AB) P(A)P(B) P(AC)

38、 P(A)P(C) P(BC) P(B)P(C) 即A、B、C不是两两相互独立的更不是相互独 立的. , 25 2 )( AP, 2 1 )( BP, 4 1 )( CP, 100 1 )( ABP , 4 1 )( BCP, 100 1 )( ACP , 100 1 )( ABCP 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 定义推广：如果事件A1,A2,An（n 2）中任意k（2 k n）个事件积事件的概率都等于各个事件的概率之积，则 称A1,A2,An相互独立； 如果A1,A2,An中任意两个事件相互独立，则称 A1,A2,An两两独立 n 个事件相互独立个事件相互独立n个事件两两

39、相互独立个事件两两相互独立 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 两个结论两个结论 .)2( ,)2(,)1( 21 个事件也是相互独立个事件也是相互独立其中任意其中任意 则则相互独立相互独立若事件若事件 nkk nAAA n . , , ,)2(,)2( 21 21 个事件仍相互独立个事件仍相互独立所得的所得的立事件立事件 们的对们的对中任意多个事件换成它中任意多个事件换成它则将则将 相互独立相互独立个事件个事件若若 n AAA nAAAn n n 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 在实际应用中，事件的独立性常常根据在实际应用中，事件的独立性常常根据 事件的实际意

40、义去判断事件的实际意义去判断 一般情况下，若各事件之间没有关联或一般情况下，若各事件之间没有关联或 关联很弱，就可以认为它们是相互独立的关联很弱，就可以认为它们是相互独立的 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 【例1.22】设某地区某时间每人的血清中含有肝炎 病毒的概率为0.4%，混合100个人的血清，求血清 中含有肝炎病毒的概率 解：设Ai =“第i人的血清中含有肝炎病毒”，i = 1, 2, , 100， 可以认为诸Ai是相互独立的，从而诸 也是相互独 立的，且 则要求的概率为 i A ,996. 0004. 01)( i AP )( 100 1 i i AP 100 1 )

41、(1 i i AP )(1 100 1 i i AP 33. 0996. 01 100 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 【例1.23】从1至9这9个数字中，有放回地取3个数 字，每次任取1个，求所取的3个数之积能被10整 除的概率 解法一：设A =“所取的3个数之积能被10整除”， A1 =“所取的3个数中含有数字5”，A2 =“所取的3个 数中含有偶数”， 则A = A1A2， 所以 考虑到三次取数相互独立 )()( 21A APAP )(1 21 AAP )(1 21A AP , 9 8 )( 3 1 AP )()()(1 2121 AAPAPAP , 9 5 )( 3

42、2 AP 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 所以 3 21 9 4 )( AAP )()()(1)( 2121 AAPAPAPAP 214. 0 9 4 9 5 9 8 1 333 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 解法二：解法二： 设设Ak表示表示“第第k次取得数字次取得数字5”，Bk表示表示 “第第k次取得偶数次取得偶数”，k = 1，2，3，则，则 A = (A1A2A3) (B1B2B3)， 由于 所以 )()( 321321 BBBAAAA )()()()( 321321321321 BBBAAAPBBBPAAAPAP )()( 321321 BBBA

43、AA 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 由于是有放回的取数，所以各次抽取结果相互独 立，并且 因此 )()()( 321 APAPAP )()()( 321 BPBPBP )()()( 332211 BAPBAPBAP )(1)(APAP 9 8 9 5 9 4 333 9 4 9 5 9 8 1 214. 0786. 01 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 . . )4, 3, 2, 1( , )( 4, 3, 2, 1 4,.)( )( 试求系统的可靠性试求系统的可靠性 个元件的可靠性为个元件的可靠性为设第设第称为串并联系统称为串并联系统 联结联结按先串联再

44、并联的方式按先串联再并联的方式工作的元件工作的元件 个独立个独立设有设有如图所示如图所示的可靠性的可靠性或系统或系统元件元件 能正常工作的概率称为能正常工作的概率称为或系统或系统一个元件一个元件 i pi i 12 34 解解 ,)4 , 3 , 2 , 1(个元件正常工作个元件正常工作表示事件第表示事件第以以iiAi 【补充例】【补充例】 . 表示系统正常工作表示系统正常工作以以 A 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 . 4321 AAAAA 则则有有 :,得得系系统统的的可可靠靠性性立立性性由由加加法法公公式式及及事事件件的的独独 )()()()( 43214321 AAA

45、APAAPAAPAP )()()()()()()()( 43214321 APAPAPAPAPAPAPAP . 43214321 pppppppp 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 【补充例补充例】某一治疗方法对一个病人有效的某一治疗方法对一个病人有效的 概率为概率为0.9 ，今对，今对3个病人进行了治疗，求对个病人进行了治疗，求对3 个病人的治疗中，至少有一人是有效的概率个病人的治疗中，至少有一人是有效的概率. 设对各个病人的治疗效果是相互独立的设对各个病人的治疗效果是相互独立的. 则则个个人人有有效效”“对对第第 ，人人有有效效的的至至少少个个病病人人治治疗疗中中对对设设解

46、解法法一一 , ”1,3“ iA A i )()( 321 AAAPAP )()( )()()()()( 32113 3221321 AAAPAAP AAPAAPAPAPAP . 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 解法二解法二 )(1)(APAP 999. 0 ) 9 . 01 (1 3 )(1 321 AAAP )(1)(1)(1(1 321 APAPAP 1.6.1 1.6.1 事件的独立性事件的独立性 1.6.2 1.6.2 试验的独立性试验的独立性 定义1.9 如果第一次试验的任一结果，第二次试验的任 一结果，第n次试验的任一结果都是相互独立的事件， 则称这n次试验相互

47、独立，如果这n次独立试验还是相同的， 则称为n重独立重复试验，如果在n重独立重复试验中，每次 试验的可能结果为两个：A或 ，则称这种试验为n重伯努利 试验 例如 掷n枚硬币，从一大批产品中抽查n个产品等，都是n 重独立重复试验 A 1.6 独立性独立性 在重伯努利试验中，若事件在重伯努利试验中，若事件A在每次试验中在每次试验中 发生的概率均为发生的概率均为P(A) = p，(0 p 1)，那么，那么,事事 件件A发生发生k (k=1,2,n)次的概率次的概率pk是多少呢是多少呢? 由于试验是相互独立的，如果事件由于试验是相互独立的，如果事件A在在n次次 独立试验中某指定的独立试验中某指定的k次

48、试验（比如说前次试验（比如说前k次试次试 验）中发生，而在其余验）中发生，而在其余n k次试验中不发生，次试验中不发生， 其概率为其概率为 其中其中A i表示 表示“A在第在第i次试验中发生次试验中发生”，i = 1,2, , n )( 121nkk AAAAAP knk nkk ppAPAPAPAPAP )1()()()()()( 121 1.6.11.6.1试验的独立性试验的独立性 由组合知识，由组合知识，A在在n次试验中发生次试验中发生k次共有次共有 种不同的情况，而每种情况的概率都是种不同的情况，而每种情况的概率都是 并且这些情况是互不相容的故所求概率为并且这些情况是互不相容的故所求概率为 k = 1，2，n k n C ,)1( knk pp ,)1( knkk nk ppCp 1.6.11.6.1试验的独立性试验的独立性 【例1.24】八门火炮同时独立地向一目标各射击一 发炮弹，共有不少于2发炮弹命中目标时，目标就 被击毁，如果每门炮命中目标的概率为0.6，求击 毁目标的概率 解：