很全抛物线焦点弦的有关结论附答案

1、很全抛物线焦点弦的有关结论知识点i:若AB是过抛物线y2 2px p0的焦点F的弦。设Axi,% ,B X2, y2 ，则2 XiX2 ；（ 2） yiy2p24证明：如图，（i）若AB的斜率不存在时，依题意xix2x1 x2若AB的斜率存在时，设为k,则 AB : yxk2 x2pxk2x2k22 pxXiX2综上:X1X2(2)Xi2y22p，22yi y2但 yi y20,yyP匕2I与y知识点2：若AB是过抛物线y2 2px p 0的焦点F的弦。设A xi, yi ,(2)另证：设AB : x my2px联立，得y2 2pmy p20,2yi y2pB X2, y2，则(1) ABXi

2、X2p；（ 2）设直线AB的倾斜角为则|ab2p2 。 sin证明:AFAB（i）由抛物线的定义知P BF2XiX2AFBFXiX2p(2)若90，则 Xix2, 由( i) 知 AB22p2sinyo若900,设AB : y kX ,与y2 2PX联立k2 x2px2x2 k22 pxXiX2p k22ABXiX22pk2 i，而 kk2tan ，AB22p i tantan22p .2 sin知识点3 :若AB是过抛物线y22PX P0的焦点F的弦,则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。证明：过点A、B分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为Ar Bi,过AB中点M向准线引垂线，垂足为N,设以

3、AB为直径的圆的半径为r,2rABAFBF AAiBBi2 MNMNr.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。知识点4:若AB是过抛物线寸2px p0的焦点的准线引垂线，垂足分别为A、Bi,则AiFBi证明借助于平行线和等腰三角形容易证明知识点5:若AB是过抛物线y2 2px p的弦。过点A、B分别向抛物线F0的焦点x轴相交090 。于点 K ,贝U AKF BKF.证明：过点A、B分别作准线的垂线，垂足分别为AAi / KF / BBiAiKBiK圧而AFFBAi A, BFBi BAiKBiKAiABiBAiKA,A，而 AA! KBiBBBiK90AA,K sBBiKAKABiKBAKFB

4、KF知识点6:若AB是过抛物线y2 2px p 0的焦点F的弦，o为抛物线的顶点，连接AO并延长交该抛物线的准线于点C,则BC/OF.证明：设 A x-, y.，B X2, y2，则AB : y上x, Cp片2，2x1ye2 pyC22x11 2y1y12p由知识点1知y2p2yc2p yBC/OFy2 py2逆定理：若AB是过抛物线y2 2px p0的焦点F的弦，过点B作BC/OF交抛物线准线于点C,则A、C、O三点共线。证明略知识点7：若AB是过抛物线y22 px p 0证法:(1)若 ABx轴，则AB为通径，而AB2p,的焦点F的弦,(2)若AB与x轴不垂直,设 A Xi,yi , B

5、X2, y2，AB的斜率为k，则 l：y k x 2 与y22 px联立，得k2P.22 pxk2x2 k22 pxx1 x2叫2,沁k由抛物线的定义知mAFXiinBFX204n mnx1x2x1 x2 p-2 p4X1x2知识点8:已知抛物线2PX P0 中,AB为其过焦点F的弦,AFm, BFn,则S AOBP2 n4: m证明:设 AFxS AOBS AOFBOFS AOB12P4逆定理：AM证明:S AOB而sinsincos7mmsi nsin,nsin1 cosnFmnmn2p2sinsin2pmn已知抛物线m, BM2 px，AB为其弦且与x轴相交于点M，n,且 S AOB，则

6、弦AB过焦点。设 A Xi, yi , B X2,y2AMxt,0，则而 S AOB_ 1Saom s bom =2tmsin丄 tn sin21 m n tsin2也,sinmy1 y2mn-2 siny2mnAOBy1 y2mn1 m n2 mnt yi y2仁 y“2l :又可设2yx ay t2px2 pay 2 pt 0y1 y22 pt 22由得t舟AB恒过焦点却例1、过抛物线y24x的焦点做直线交抛物线于A(xyj,B(x2,y2)两点，如果为x26 ,那么AB . 8变式：过抛物线y2 4x的焦点做直线交抛物线于 A, B两点，如果AB 8，O为坐标原点， 则OAB的重心的横坐

7、标是. 2例2、直线I经过抛物线y2 2px(p 0)的焦点F，且与抛物线交于 代B两点，由A, B分别向准线引垂线 AA,BB，垂足分别为 A, B，如果AB a，Q为ab的中点，贝U QF.(用a表示)2变式：直线I经过抛物线y2 2px(p 0)的焦点F ，且与抛物线交于A,B两点，由代B分别向准线引垂线AA,BB，垂足分别为A,B，如果AR a, BF b，Q为AB的中点，2则QF .(用a, b表示)2ouju uun例3、设坐标原点为O,过焦点的直线l交抛物线y2 4x于代B两点，OA OB _ -3例4、过抛物线y2 ax(a 0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两，y点，若线段PF与FQ的长分别是p,q，则丄