保险精算第二版习题与答案

1、.保险精算（第二版）第一章：利息的基本概念练 习 题1已知 a tat 2b ，如果在 0 时投资 100 元，能在时刻5 积累到 180 元，试确定在时刻5 投资 300 元，在时刻 8 的积累值。a(0)b1a(5)25ab1.8a 0.8 , b 125300*100300180a(5)300*100 a(8)300*100 (64ab) 5081801802 (1) 假设 A(t)=100+10t,试确定 i1 ,i3 ,i5 。A(1)A(0)0.1,i3A(3)A(2)A(5)A(4)i1A(0)0.0833, i50.0714A(2)A(4)(2) 假设 A n1001.1 n

2、，试确定 i1 ,i3 , i5。A(1)A(0)0.1,i3A(3)A(2)A(5)A(4)i1A(0)0.1,i5A(4)0.1A(2)3已知投资 500 元， 3 年后得到 120 元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800 元在 5年后的积累值。500a(3)500(13i1 )620i10.08800a(5)800(15i1)1120500a(3)500(1 i2 )3620i10.0743363800a(5)800(1i3 )51144.974已知某笔投资在3 年后的积累值为1000 元，第 1年的利率为i1 10% ，第 2 年的利率为 i2 8% ，第 3 年的利

3、率为i36% ，求该笔投资的原始金额。A(3) 1000A(0)(1i1)(1i2 )(1i3 )A(0)794.15确定 10000 元在第3 年年末的积累值 :(1) 名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。(2) 名义贴现率为每4 年计息一次的年名义贴现率6%。.10000 a(3)10000(1i (4)1211956.184)34( 1 )10000 a(3)100001i 411750.08146设 m 1，按从大到小的次序排列dd (m)i (m )i 。7如果t0.01t ，求 10 000 元在第12 年年末的积累值。 、12t dt10000 a(12)10000e 01

4、0000e0.7220544.338已知第 1 年的实际利率为10%，第 2 年的实际贴现率为8%，第 3 年的每季度计息的年名义利率为6%，第 4 年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4 年的投资利率。(1 i )4(1i1 )(1 d2 )1(1i (4)4(1i (2)24)21.1*1.086956522*1.061363551*1.050625 1.333265858 i 0.745563369基金 A 以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金 B 以利息强度 ttt (t=0) ，两笔积累，在时刻6基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。

5、12ta1 (t )1.01a2 (t )e1.01t t20t dte12t 212te12 , t1.43284764310. 基金 X 中的投资以利息强度t0.01t0.1 (0 t 20),基金 Y 中的投资以年实际利率i 积累；现分别投资 1 元，则基金X 和基金 Y 在第 20 年年末的积累值相等，求第3 年年末基金Y 的积累值。ta1 (t )1it 0.01t 2a2 (t )e 0t dt0.1te 20.01*202200.1*20412iee1i31.822111.某人 1999 年初借款3 万元，按每年计息3 次的年名义利率6%投资，到 2004 年末的积累值为 （）万

6、元。A. 7.19B. 4.04C. 3.31D. 5.21i (3)3*53*1.02154.03763(1312. 甲向银行借款1 万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第 2 年末还款4000 元，则此次还款后所余本.金部分为（）元。A.7 225B.7 213C.7 136D.6 987i (2)2*241.1255(11.032第二章：年金练习题1证明 vnvmiaan。mi aani (1 vm1 vn ) vnvmmii2某人购买一处住宅，价值16 万元，首期付款额为 A，余下的部分自下月起每月月初付1000 元，共付10 年。年计息12 次的年名义利率为 8.7% 。计算购房首

7、期付款额A。1000a1201v12079962.96( i8.7% /12)1000i16000079962.9680037.043. 已知 a75.153,a117.036 ,a189.180 , 计算 i 。7a18a71a111ii0.082994某人从 50 岁时起，每年年初在银行存入5000 元，共存10 年，自 60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10 年。年利率为10%，计算其每年生活费用。1105000a10xa101ix12968.71235年金 A 的给付情况是： 1 10 年，每年年末给付 1000 元； 11 20 年，每年年末给付2000 元； 2

8、130年，每年年末给付1000 元。年金 B 在 1 10 年，每年给付额为K 元； 11 20年给付额为 0； 21 30 年，每年年末给付 K 元，若 A与 B 的现值相等，已知v101，计算 K。1022011A1000a102000a10 1000a10i1i1120BKa10Ka101 iABK18006 化简 a10 1v10v20，并解释该式意义。1020a10 1vva30.7.某人计划在第5 年年末从银行取出17 000 元，这 5 年中他每半年末在银行存入一笔款项，前5 次存款每次为1000 元，后 5 次存款每次为2000 元，计算每年计息 2 次的年名义利率。15101

9、000a52000a5 1700011 i1 ii3.355%8.某期初付年金每次付款额为1 元，共付 20 次，第 k 年的实际利率为1，计算 V(2) 。8kV (2)11111 i1(1i1)(1 i2 )(1 i1 )(1 i19 )19991011289.某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1 到 n 年每年末平分所领取的年金，n 年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等, 那么 v=( )1A.3111nn3nD. 3nB.C.31 anvna21 vn2vn 1iivn1311.延期 5 年连续变化的年金共付款6 年，在时

10、刻 t 时的年付款率为2t 1 ,t 时刻的利息强度为 1/(1+t),该年金的现值为（）A.52B.54C.56D.585|a6111)2dtv(t )(t5v(t)111a(t )ett 10t dt5|a6111(t254t1) dt51第三章：生命表基础练习题x 21给出生存函数s xe 2500 ，求：(1) 人在 50 岁 60 岁之间死亡的概率。(2)50岁的人在60 岁以前死亡的概率。(3) 人能活到 70 岁的概率。(4)50岁的人能活到70 岁的概率。.P(50X60)s 50s(60)s 50s(60)10 q50s(50)P( X70)s(70)s 7020 p50s(

11、50)2. 已知 Pr 5 T(60) 6 =0.1895 ， Pr T(60) 5 =0.92094 ，求 q60 。5| q60s 65s(66)0.1895,s 65s(60)5p600.92094s(60)q65s65s(66)0.2058s(65)3.已知 q800.07 ， d803129 ，求 l81 。q80d80l 80l810.07l80l 804.设某群体的初始人数为3 000 人， 20 年的预期死亡人数为240 人，第 21年和第 22 年的死亡人数分别为 15 人和 18 人。求生存函数s(x) 在 20岁、 21 岁和 22 岁的值。s(20)d1d20d1d21

12、0.915, s(22)d1d220.909l 00.92, s(21)l0l05.如果x22,0 x 100, 求 l 0 =10 000时，在该生命表中 1岁到4 岁之间的死亡人数x1 100x为（）。A.2073.92B.2081.61C.2356.74D.2107.56s(x)xex 221002e 00 x1 100 xxxdxdxx1l 0 (s(1)s(4)2081.616.已知 20 岁的生存人数为1 000 人， 21 岁的生存人数为998 人， 22 岁的生存人数为992 人，则1 | q20为（）。A.0.008B.0.007C.0.006D.0.0051|q20l22

13、l210.006l20第四章：人寿保险的精算现值练 习 题.1.设生存函数为 sx 1x(0 x100) ，年利率 i =0.10 ，计算 ( 保险金额为1元)：100(1)1的值。趸缴纯保费 30:10(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z 的方差 Var(Z) 。s(x) 1xt pxs ( xt )1100x ts( x)100x1010t11A30:1010vtt pxx t dt0dt0.0921.1701010t2 A1( A1)2t pxx t dt0.092211 dt 0.0922Var (Z )v2 t00.05530:1030:1001.21702 设年龄为 35

14、岁的人，购买一保险金额为 1 000 元的 5 年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保单年度末给付，年利率 i=0.06 ，试计算：(1) 该保单的趸缴纯保费。(2) 该保单自 35 岁 39 岁各年龄的自然保费之总额。(3)(1)与 (2) 的结果为何不同？为什么？41 ( d35d36d37 3d38d39（ 1）法一： 1000 A35:51vk1kpxqx k245 )k0l351.061.061.061.061.06查生命表 l35979738, d351170, d361248, d371336, d381437, d391549 代入计算：41 ( d35d36 2d37d38

15、d391000 A35:51vk 1kpxqxk345 )5.747k0l 351.061.061.061.061.06法二： 1000A11000 M 35M 4035:5D35查换算表 1000 A11000 M 35M 401000 13590.2212857.615.74735:5D35127469.031000 p351000 A35:111000C351000143.581.126D35127469.031000 p3611000C361000144.471.2031000 A36:1D36120110.221000 p371000 A11000C371000145.941.29（

16、 2）37:1D37113167.061000 p381000 A11000 C381000148.051.38938:1D38106615.431000 p391000 A11000 C391000150.551.49939:1D39100432.541000( p35p36p37p38p39 )6.457.（ 3）A35:51A35:11vp35 A36:11v22 p35 A37:11v33 p35 A38:11v44 p35 A39:11A1p35p36p37p38p3935:53.设 Ax0.25 ,A x 200.40, A x:200.55 , 试计算：（ 1） A1x:20 。

17、（ 2） Ax:110 。改为求 A x:120AxA1x:20Ax:201 Ax 2011AAA0.25A1x:20Ax:201 0.40.55A1x:20Ax:201A1x:200.05Ax:2010.54 试证在 UDD假设条件下：1i A1x:n(1)A x:n。(2)x:nAx:1ni A1x:n。5 (x)购买了一份2 年定期寿险保险单，据保单规定，若(x)在保险期限发生保险责任围的死亡，则在死亡年末可得保险金1 元，0.5,0,0.1771，试求。qxiVarzqx 16已知， A760.8, D76400, D77 360, i0.03, 求 A77 。7现年 30 岁的人，付

18、趸缴纯保费5 000 元，购买一20 年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。解： 5000RA1R500030:201A30:20其中19vk 1 l30 k d30 k1A1vk 1p qkvk 1d30 k30:20k 0k3030k 0l 30l30 kl 30 k 01 ( 1 d1d1d1d)l301.0630(1.06)231(1.06)332(1.06)2049M 30M 50D30查（ 2000-2003 ）男性或者女性非养老金业务生命表中数据l30 , d30 , d31 , d32 d49 带入计算即可，或者 i=0.06以及（ 2

19、000-2003 ）男性或者女性非养老金业务生命表换算表M 30 , M 50, D30 带入计算即可。.例查（ 2000-2003 ）男性非养老金业务生命表中数据A30:2011(18671 29171 39771 20 3144)984635 1.06(1.06)(1.06)(1.06)0.017785596R281126.37278 考虑在被保险人死亡时的那个1 年时段末给付1 个单位的终身寿险，设k 是自保单生效起存活的完m整年数， j是死亡那年存活的完整1 年的时段数。m(1)求该保险的趸缴纯保费Ax(m) 。(2)设每一年龄的死亡服从均匀分布，证明Ax(m )i(mi) A x 。

20、9 现年 35 岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：被保险人在10 年死亡，给付金额为 15 000 元；10 年后死亡，给付金额为20 000 元。试求趸缴纯保费。趸交纯保费为 15000A12000010| A35135:10其中99A1vk 1 k p35q35 kvk 1 l35 k d35 k1vk 1d35 k35:10k 0k 0l 35 l 35 kl 35 k 01 ( 1 d1d1d1d)l351.0635(1.06)236(1.06)337(1.06)1044M 35M 4513590.22 12077.31 0.01187D35127469.03170vk 1pq7

21、0vk 1 l35 k d35 k170k 1dAkv35k10| 35k 103535 kk 10l35l35 kl35 k 101 (1d451d461d471d )l35(1.06)11(1.06)12(1.06)13(1.06)71105M 4512077.310.09475D35127469.03所以趸交纯保费为 15000 A12000010| A351178.0518952073.0535:1010年龄为40 岁的人，以现金10 000 元购买一份寿险保单。保单规定：被保险人在5 年死亡，则在其死亡的年末给付金额30 00 元；如在5 年后死亡，则在其死亡的年末给付数额R 元。试

22、求R 值。11 设年龄为50 岁的人购买一份寿险保单，保单规定：被保险人在70 岁以前死亡，给付数额为3 000元；如至70 岁时仍生存，给付金额为1 500 元。试求该寿险保单的趸缴纯保费。该趸交纯保费为： 3000A11500A 150:2050:20其中.119vk 119vk 1 l50 k d50 k119k 1d50 kAk p50q50 kv50:20k 0k 0l 50 l 50 kl 50 k 01(111d521l50d502d513200 d69 )1.06(1.06)(1.06)(1.06)M 50M 70D50A 1v7070 p50v70 l7050:20l50D7

23、0D50查生命表或者相应的换算表带入计算即可。12 设某 30 岁的人购买一份寿险保单，该保单规定：若(30) 在第一个保单年计划死亡，则在其死亡的保单年度末给付5000 元，此后保额每年增加1000 元。求此递增终身寿险的趸缴纯保费。该趸交纯保费为： 4000A301000(IA)304000 M 301000 R30D30D30其中75vk 1p30q30 k75vk 1 l30 kd30 k1 75k 1d30 kA30kl30l 30 kvk 0k 0l 30 k 0111d3111(d3023 d3276 d105 )l301.06(1.06)(1.06)(1.06)M 30D30(

24、IA)30751)vk 1k p30q30 k75(k1)vk 1 l30 kd30 k1 751)vk 1d30 k(kl30 l 30 k( kk 0k 0l30 k 0112d31376(d3023 d3276 d105 )l301.06(1.06)(1.06)(1.06)R30D30查生命表或者相应的换算表带入计算即可。13 某一年龄支付下列保费将获得一个n 年期储蓄寿险保单：(1)1 000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为750 元。(2)1 000元储蓄寿险，被保险人生存n 年时给付保险金额的2 倍，死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为800 元。若

25、现有1 700元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障，死亡给付均发生在死亡年末，求这个保险.的趸缴纯保费。解：保单 1) 精算式为 1000A750A11750A11000A1750x:nx:nx:nx:n保单 2) 精算式为1000Ax: n 800 Ax1:n1000Ax:n11800Ax:1n2000Ax:1n800求解得 Ax:n17 /17, Ax:1n1/ 34，即1700Ax:n1700Ax:n11700 Ax:n175014 设年龄为 30 岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单，依保单规定：被保险人在第一个保单年度死亡，则给付10 000 元；在第二个保单年度死亡，则给付9700 元；在第三个保单年度死亡，则给付9400 元；每年递减300 元，直至减到4000 元为止，以后即维持此定额。试求其趸缴纯保费。15.某人在40 岁投保的终身死亡险，在死亡后立即给付1 元保险金。其中，给定lx110x ,0 x110。利息力 =0.05 。 Z 表示