一根均匀木棒近于竖直地放置在桌子的一端然后从静止释放．考虑 ...

1、 一根均匀木棒近于竖直地放置在桌 子的一端，然后从静止释放考虑以下 两种极端情况，求出木棒离开桌面时它 与竖直方向所成的角度 使用能量守恒定律 来确定木棒的角速度 随其倾斜角度 的变 化,再把木棒与桌子之 间的相互作用和它们 产生的加速度联系起 来. （i）桌面是光滑的（摩擦力可以忽略不 计），但在桌子的一端刻有一个小槽（如 图（a）所示） (a) 引力势能在木棒下落 角过程中的减 少为mgl(1-cos )/2,这部分能量转换成了 木棒相对桌子边缘的转动动能.不管是直接 计算还是使用平行轴定理,可以得到木棒相 对于其端点的转动惯量ml2/3.结合上面 两式,有 2 =3g(1-cos )/l

2、 加速度ac为l/2乘以 2,即等于3g(1-cos )/2.考虑到木棒的转动惯量和瞬时力矩 mgsin /2,可以得到质心的切向加速度为 at =3gsin . 对情况(i),小槽的 光滑水平和竖直面只 能分别产生作用于棒 端的水平和竖直作用 力. (i)光滑(无摩擦)小槽的水平和竖直 表面只能分别提供给木棒端点正的水 平和竖直作用力,分别为v和h(见下 图).只要这两个力之一减小为零,而且 运动方程要求提供负作用力,如吸引 力(这在物理上是不可能的)时,木棒将 脱离桌面. 将力和加速度在水平和竖直方 向上分解(见右图),有 h=m(atcos-acsin) mg-v=m(accos+ats

3、in) gsin(3cos -2)/4 v=mg(3cos-1)2/4 求解这两个关于和的方程，得到 ac mg at v 在这两个力中首先消失的是水平 分量，消失时arccos(2/3) 48. 如果角度继续增大，将为负值此如果角度继续增大，将为负值此 时木棒将脱离桌面，因为小槽无法提时木棒将脱离桌面，因为小槽无法提 供拉回木帮的力供拉回木帮的力 （ii）桌面是粗糙的（摩擦力很大），并 且棱角很锐利，也就是说桌边的曲率半径和 木棒的端面相比非常小木棒端面的一半突 出桌子的边缘（如图），这样保证了木棒由 静止释放后将沿桌边旋转，木棒的长度远远 大于它的直径 ac mg at （ii）当桌面的边

4、缘为一个十分小的四当桌面的边缘为一个十分小的四 分之一圆弧时，它作用于木棒的支持力分之一圆弧时，它作用于木棒的支持力 将始终沿木棒的方向静摩擦力沿桌将始终沿木棒的方向静摩擦力沿桌 面的切线方向，由于桌面粗糙可以为任面的切线方向，由于桌面粗糙可以为任 何值（如图）何值（如图） 重力沿木棒方向的分量与桌面提供的支持力之和提重力沿木棒方向的分量与桌面提供的支持力之和提 供了向心力：供了向心力： gcos-n=mac=ml2/2=3mg(1-cos)/2 进而得到桌面的支持力为进而得到桌面的支持力为 mg(5cos-3) 当，即当，即arccos(3/5) 53 时，桌时，桌 面和木棒之间的相互作用为零如果角度再面和木棒之间的相互作用为零如果角度再 继续增大，支持力将会变为负值，这是不可继续增大，支持力将会变为负值，这是不可 能的，因而木棒将离开桌面由于桌面粗糙，能的，因而木棒将离开桌面由于桌面粗糙， 静摩擦力除支持力为零的情况外，总是足够静摩