电磁场理论习题

1、电磁场理论习题1、求函数 =xy+z-xyz在点（1, 1, 2）处沿方向角3 ,4 ,3的方向的方向导数解：由于x Im =y yzM = -1y m =2x y 一(1,1,2) =0z M =2zxy (1,1,2) =31COScos2 ,所以cos cos xcoscos1yz1,2）处沿着点（5,1,2）到点（9,2、 求函数 =xyz在点（5, 方向导数。解：指定方向I的方向矢量为4,19）的方向的i = (9 5)q+(4 1)ey+(19 2)e = 4ex+3ey+17ez其单位矢量I cos ex cos ey cos ez314 eMyz(5,1,2)2_M xzM 1

2、0,m xy m 5xyz所求方向导数Mcoscoscos? IIxyz314 314ey123.3143、已知 =x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z，求在点（o, 0, 0）和点（1,1, 1）处的梯 度。解：由于 =(2x+y+3) ex+(4y+x-2)ey+(6z-6)ez所以，(0,0,0)=3ex-2ey-6ez(1,1,1)=6ex+3e/4、运用散度定理计算下列积分：匸 xz2ex (x2y z3)ey (2xy y2z)ezgdssS是z=0和z=(a2-x2-y2)1/2所围成的半球区域的外表面。解：设：A=xz 2ex+(x2y-z3)ey+(2xy+y2z)e

3、z&Agds=gAdv则由散度定理sIgAdv(z2+x2+y2)dvr2dv可得A=x3xy zyx3z(2x2yx3)ex (2xy23xy3z2)ey1(A= x A=cos(3) A=3 cosezsinsin sinsinsinsin(r3 sin)_32cos2(r Ar) rcosezz2sin(sin A )2(Jrrcos(-)r r 12_ =r sin3r2.2 sin2sincos 3sin22 cos r1errersine12 . r sin2r sinrArArsinA x A=coscos errsinerrersin1 .sin sinrcoscos 23.0

4、=r sin5、试求.A 和g A:(1)A=xy2z3Q+x3zq+x2y2ezA(, 2,z)cos e2 sin eA(r,)r sin er1 . 1sin e2 cos e(3 )rr解:(1 )A=y 2z3+0+0= y2z32a 42a 42 r sin drd d d 2sin d r dr0 0 0 0 0 0exez习题二1、总量为q的电荷均匀分布于球体中，分别求球内，外的电场强度。解：设球体的半径为a,用高斯定理计算球内，外的电场。由电荷分布可知，电 场强度是球对称的，在距离球心为r的球面上，电场强度大小相等，方向沿半径 方向。在球外，ra,取半径为r的球面作为高斯面，

5、利用高斯定理计算：D ?dS 0Er4 r2 qsErq4 or2rq4oa2、半径分别为a,b(ab)球心距为c (ca-b)的两球面之间有密度为p的均匀体对球内，ra，也取球面作为高斯面，同样利用高斯定理计算:D ?dSEr 42rqs4 3433qr qrr13 a334a3qEr3解：为了使用高斯定理，在半径为 b的空腔内分别加上密度为+ p和一p的 体电荷，这样，任一点的电场就相当于带正电的大球体和一个带负电的小球体共 同产生，正负带电体所产生的场分别由高斯定理计算。正电荷在空腔内产生的电场为Eieri3 0负电荷在空腔内产生的电场为er 23 0单位向量eri, 82分别以大、小球

6、体的球心为球面坐标的原点。考虑到re 厂&2 ce c最后得到空腔内的电场为3、一个半径为a的均匀带电圆柱体（无限长）的电荷密度是p,求圆柱体内，外的电场强度。解：因为电荷分布是柱对称的，因而选取圆柱坐标系求解。在半径为r的柱面上， 电场强度大小相等，方向沿半径方向。计算柱内电场时，取半径为 r，高度为1 的圆柱面为高斯面。在此柱面上，使用高斯定理，有D ?dS0E2 rl q, qsr2l,E计算柱外电场时，取通过柱外待计算点的半径为 斯面。对此柱面使用高斯定理，有D?dS oE2 rl q,qa2l,Esr，高度为1的圆柱面为高2r4、一个半径为a的均匀带电圆盘，电荷面密度是p so,求轴

7、线上任一点的电场强 度。E(r)s(r)(rr)3-dS及其电荷的对称关系，可知电场仅有 z的分量。代入场点源点r ze0时。但场点位于z a)为rq /43oaEdrq/4ror2drq/4 or球内电位(r a)为Edr7、q/4q/83oaoa (3aarq/4ra2/223oadrq/4 or2dra电荷分布如图所示。试证明，在r2/2r2)q/4oa证明:用点电荷电场强度的公式及叠加原理 当rl时，1(r l)2=(1；)22(1 2 丄rrrl处的电场为1,有 E= 43ql2 e=2 or4- q o(r l)2_ 2q _q_2r2+(r l)1(r l)22rl 211(1

8、2】3打r r将以上结果带入电场强度表达式并忽略高阶小量3ql2，得出 E= 2 o4q/2位于(a, 0，0)处，求8、真空中有两个点电荷，一个电荷一 q位于原点，另一个电荷 电位为零的等位面方程。解：由点电荷产生的电位公式得电位为零的等位面为q4 orq24ori其中r (x2等位面方程简化为ri(xa)2iz2F2*4(x此方程可以改写为a)2z24a32a34a这是球心在3,半径为2a3的球面9、一个圆柱形极化介质的极化强度沿其轴方向，介质柱的高度为L,半径为a,且均匀极化，求束缚体电荷分布及束缚面电荷分布。PP0ex如图解：选取圆柱坐标系计算，并假设极化强度沿其轴向方向， 示，由于均

9、匀极化，束缚体电荷为?P 0。在圆柱的侧面，注意介质的外法向沿半径方向 n e，极化强度在z方向，故P?ex 0在顶面，外法向为 n ex，故sp P ? exPo在底面，外法向为nex，故sp P ? ( ex)P10、假设x的区域为电解质，电解质的介电常数为 3 & o, 如果空气中的电场强度E 3 48 53(V/m)，求电介质中的电场强度E2。因而电场强度的切向分量连由电场强度的切向分量E2t 4ey 5ex ；对于法向分3 0，得出E2x 1。将所解：在电介质与空气的界面上没有自由电荷， 续，电位移矢量的法向分量连续。在空气中， E1t 4ey 5ex，可以得出介质中电场强度的切向分

10、量 量，用 Dm D2n，即 0E1xE2x，并注意 E1x 3,得到的切向分量相叠加，得介质中的电场为E2& 4ey 5ezV/m)11、一个半径为a的导体球面套一层厚度为b-a的电解质，电解质的介电常数为 &，假设导体球带电q，求任意点的电位。解：在导体球的内部，电场强度为 0。对于电介质和空气中的电场分布， 用高斯定理计算。在电介质或空气中的电场取球面为高斯面，由D dSs4 r2Dr电场为ErqDrq得出 4q4 r2 在介质中(arb)宀drb 4r宀drr 4rdr r 4 r2q4 or3 1)40b 4 r b ( arb)12、真空中有两个导体球的半径都为 a,两球心之间距离

11、为d,且da,试计算两 个导体之间的电容。解：因为球心间距远大于导体的球的半径, 布。由电位系数的定义，可得球面的电荷可以看作是均匀分1P12卩22pi24 oa，让第一个导体带电q,第二个导体带电-q,则P2114odqq1p11qp12q4oa4 odCqq由U1 22 oadC化简得d ap21qp22qq4dq4 0a习题二a,b,其间媒质的电导率为，当外加电压1、球形电容器内，外极板的半径分别为 为U。时，计算功率损耗并求电阻。解：设内，外极板之间的总电流为|o，由对称性，可以得到极板间的电流密度为IerJ = 2 rI2 erE=4aEdrb从而单位体积内功率损耗为总功率耗损为Uo

12、Uoa b er2rJ2Uo112 rP =ab4Uo 2b dr2b11a rp4 r2drp= a 1=ab4 Uo21 1J =2I = a b ，=ab由P= R ，得R=2、一个半径为a的导体球作为作为电极深埋地下，土壤的电导率为。略去地面的影响,求电极的接地电阻。解：当不考虑地面影响时，这个问题就相当于计算位于无限大均匀点媒质中的导体 球的恒定电流问题。设导体球的电流为I，则任意点的电流密度为E=4I2 erJ = 4 r ，导体球面的电位为（去无穷远处为电位零点）dr = 4接地电阻为U _R= I =43、如图，平板电容器间由两种媒质完全填充,厚度分别为d1和d2，介电常数分别

13、为1和2 ,电导率分别为1和2，当外加电压解：设电容器极板之间的电流密度为J=1 E1u0时，J,则2 E2求分界面上的自由电荷面密度。E1丄,E21UoJd1Jd2Ud1od2分界面上的自由面电荷密度为D2nD1n2E2 1E1Uod2内,外导体间的电压为Uo= a因而，单位长度的漏电电阻为cEgdrb Idra 2ir +c Idr I22r =2j理d1 1, 1Tkd22，2rUo4、内，外导体半径分别为 a,c的同轴线，其间填充两种漏电媒质，电导率分别为1 （ arb ）和2 （ brc），求单位长度的漏电电阻。解：设单位长度从内导体流向外导体的电流I，则电流密度为IerJ = 2

14、r各区域的电场为IerEl = 2ir ( arb)I er-2r (brc)E2一 2UR= I5、一个半径为10 cm的半球形接地导体电极，电极平面与地面重合，如图，若土壤的电导 率为0.01S/m，求当电极通过的电流为100A时，土壤损耗的功率。解：半球形接地器的电导为 接地电阻为土壤损耗的功率为P I 2r1002a 20.01 0.161.59 106、内,外半径分别为a,b的无限长空心圆柱中均匀分布着轴向电流I，求柱内，外的磁感应强度。解：使用圆柱坐标系。电流密度沿轴线方向为0,Irar b2 2b aaj= 0，b r由电流的对称性，可以知道磁场只有圆周分量。用安培环路定律计算不

15、同区域的磁场。当ra时，磁场为0。当arb时，选取安培回路为半径等于r且与导电圆柱的轴线同心的圆。该回路包围的电流为J r2a2I r22 a1I =b22 a由?Bgdl=2 rB= o，得oIr2 a2B = 2 rb2 a201当r a 时,磁感应强度如下:r a时，2 a22丨2 rr a 时,eB =为了计算磁化电流，要求磁化强度:r a时，Mr a 时，Ir2 a2I2aM在r=a的界面M =0计算磁化面电流时，可以理解为在两个磁介质之间有一个很薄的真空层。 这样，其磁化面电流就是两个磁介质的磁化面电流只和，即Jms _ M 1 H| + M 2ms -n21到介质2的单位法向这里

16、的n1和分别是从磁介质到真空中的单位法向。如果去从介质 是n,则有Jms 一I2aez+2aezoI2a11、空气绝缘的同轴线，内导体的半径为a,外导体的半径为b,通过的电流为体壳的厚度很薄，因而其储蓄的能量可以忽略不计。计算同轴线单位长度的储能，单位长度的自感。解：设内导体的电流均匀分布，用安培环路定律可求出磁场。r a 时，I。设外导并有此求ar b 时,lrH = 2 a2H =2 r单位长度的磁场能量为a 1 b 1 220 H 2 rdrWm= 0 2 oH 2 rdr + a 22 2丄丄詰=16+4 a故得单位长度的自感为b Ina其中的第一项是内导体的内自感。12、一个长直导线

17、和一个圆环（半径为a）在冋一平面内，圆心与导线的距离是它们之间互感为M0(dd2 a2)证明:设直导线位于z轴上，由其产生的磁场B0!2 x 2(d rcos )其中各量的含义如图所示。磁通量为a 2d，证明Bds0 0rdrd(d r cos )上式先对积分,2并用公式dd a cos2d2a rdr0爲厂r20I(d . d所以互感为M o(d ,d2a2)习题四在u两导体平板(z=和eyE0sin( /d)zcos(wtz=d)之间的空气中传播的电磁波其电场强度矢量kx)其中kx为常数.试求uu(1)磁场强度矢量Huu两导体表面上的面电流密度Js解:uruuririr(1)由麦克斯未方程

18、组得Eex( Ey/ z) ez( Ey/ x)B/ tu型eou E0kxB ecos(-z)sin(wt kxx) ezsin( z)cos(wt kxx)对上式积分得dwdwduu uu e0uu E0kxHexcos( z)sin( wt kxx) ex 一 xsin( z)cos( wt kxx)即dw 0 dw 0 dr uruuuruuuuu EJsezH |zokxX)eysin (wt面电流密度w 0duuuruurrJsezH |zd(2)导体表面上得电流存在于两导体相向的一面，故在z=0表面上,法线0 = ez在z=0表面上，法线n =-ez ,面电流密度2、 在理想导电

19、壁()限定的区域(0 W xWa )内存在一个如下的电磁场:uu eeyJ sin(wt kxx)w 0d乳 sin(乳 sin(cos(aax)cos()sin(x)sin(kzkzt)t)这个电磁场满足的边界条牛如何？导电壁上得电流密度的值如何?kzt)iulultuuruujujULrUUJULLJirJsn(HH)JUULUJUruLiruurJs0nHx0eyHcos(kz在x=0处电磁场满足解:在边界 x=0处有（n = ex）Ey O,Hx O,Hx H0cos（kz t）所以，导电壁上的 电流密度河电荷密度的值为t），s0 nDx 0 0的 边 界 条 件 为UUJuurn H

20、eyH0cos(kzt), n E 0uu uu uu uuuncB 0,ncp 0同理，在x a（nex）有ujumurJsaur uurn HuunuuuHeyHcos(kzezHzt),nx anrEeyHcos(kz0,n B 0,n Duu ut)，sa ngp段由理想导体构成的同轴线，内导体半径为 两端用理想导体板短路。已知在aE er sin kz, Hr确定A，B之间的关系。确定k。3、r b,0 ze coskz r(1)(2)求r a及r b面上的（3）解：由题意可知，电磁场在同轴线内形成驻波状态。 A，B之间的关系。因为Ake coskz j H所以a，外导体半径为b，长

21、度为L ,同轴线L区域内的电磁场为(2)因为所以jk(3)4、k0(1)(2)(3)解:(1)jk1rH er zkjk厂,k因为是理想导体构成的同轴线,n H Jsa的导体面上，法线J Sa n H rSan?D rb的导体面上，法线J SbSbn?Dezr所以边界条件为n?Der，所以ez coskz r r-sin kz r a rer，所以ez coskz r rsinkz r b rersin kz j Erez coskz aAsinkzez B coskz bsinkz b电 场强度 EexEcosk(z ct) eyEsink(z ct),空中ic。试求:磁场强度和坡印廷矢量的

22、瞬时值。已知真2对于给定的z值（例如z= 0），试确定E随时间变化的轨迹。 磁场能量密度，电场能量密度和坡印廷矢量的时间平均值。由麦克斯韦方程可得EyexzExeyGex Eoko cosko(z ct)ey EokoSin k(z ct)对上式积分，得磁场强度瞬时值为ex旦sin k0 (z ct) oCeycosk0(z ct)0c故坡印廷矢量的瞬时值Eoez -oC（2） 因为E的模和幅角分别为EJ Ex2Ey2 Eok(z ct)tanEosinko(z ct)E0cosk0(z ct)所以，E随时间变化的轨迹是圆。（3）磁场能量密度，电场能量密度和坡印廷矢量的时间平均值分别为av ,

23、eReE?D*4jkoz(ex Eoe141 E 2匚02j (一ey Eoe 2kz).)?(ex oEoej ozeyj (ko z)oEoe2)av,m2 o Eo1、Eo2习题五电磁波在真空中传播，其电场强度矢量的复数表达式为S avRe-E2E t ex jey 1O 4e j2 z（V. m）试求：（1） 工作频率f。（2） 磁场强度矢量的复数表达式。（3） 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值。解：（1）由题意可得9k 2Oo o6 1Oc所以工作频率f 3 1O9 Hz（2 ）磁场强度矢量的复数表达式为1 1 H ey E（ey j ex）1O 4e j2 z（A/m）o其中波阻抗o

24、 120。（3 ）坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值。 电磁波的瞬时值为E(t) ReEejt jey)1O4cos( t 2O z)(V/m)j t14H(t) ReHej (ey jex)10 cos( t 20 z)(A/m )ex)02W/m0所以，坡印廷矢量的瞬时值1 8 2S(t) E(t) H(t) 10 8cos2( t 20 z)(ex j ex) 60同理可得坡印廷矢量的时间平均值1 *Sav Re；E H 022109rad/s。当t 04, r 1。求当t 1 s时，2W/m2、理想介质中，有一均匀平面电场波沿 z方向传播，其频率 时，在z 0处，电场强度的振幅E0 2mV

25、/m，介质的r 在z= 62m处的电场强度矢量，磁场强度矢量和坡印廷矢量。 解：根据题意，设均匀平面电场为E(t) ex E0 cos( t kz) mV/m式中，2109rad /s,k 、空-、3所以940E(t) ex2cos(210 tz)3(mV/m)当t 1 s, z= 62m时，电场强度矢量，磁场强度矢量和坡印廷矢量为E ex mV/m4940H (t)eycos(2109tz)03 mA/ m故此时Hey0 mA/m1S E H ez260 mA/ m3、已知空气中一均匀平面电磁波的磁场强度复矢量为j (4 x 3z)H=( ez ey2 6 ez4)e( A/m)试求：(1)

26、 波长、转播方向单位矢量及转播方向与z轴的夹角(2) 常数A(3) 电场强度复矢量。解：(1)波长、转播方向与 z轴的夹角分别为0.4mK Jkx kz J(4)2(3)2 54_ex_3_ezk0.8gx。.6&cos z0.653o（2）因为 gH o,所以gH12jHzx解之得A=3。（3）电场强度矢量E 0He0(ex3 ey2.6 ez4)e j (4x3z)(0.8ex0.6ez)0 (i ： 6ex55弓 8 i6ez)e j (4x 3z)(V /m)5设无界理想媒质，有电场强度复矢量：Ei ezE0ie jkz, E2（1）Ei，E2是否满足 2E k2E（2）由Ei，E2求

27、磁场强度复矢量，并说明解：米用直角坐标系。（i） 考虑到4、ezE02ejkzEi，E2是否表示电磁波。2ex2xk2ezE0ie jkzk2Ei1曰疋2Eiz2Eixz2Eiyx22Eik2Ei同理，可得2E2k2Ei（2）根据题意知HiEi0,H2i ez0E2E1 , E2均不能表示电磁波。所以S 0,50, E! , E2所形成的场在空间均无能量传播，即5、假设真空中一均匀平面电磁波的电场强度复矢量为L j （2x、2y 忌E 3（ex 血ey）e 6（V/m）（1 ）电场强度的振幅、波矢量和波长。（2）电场强度矢量和磁场强度矢量的瞬时表达式。解：(1 )依题意知，电场强度的振幅E。E

28、0x E：y 3.3(V/m)2 2kykz-所以波矢量k kex，其中23ex从而,4m2k(2)电场强度的瞬时表达式为E(t) Re Eej 七3(e, 辽ejcost (2x ,2y . 3z) (V /m)6磁场强度矢量的瞬时表达式为H (t) 丄ek E(t) 1( .6ex3ey .3ez)8os t (2x 、2y . 3z) (A/ m)0 66、为了抑制无线电干扰室内电子设备，通常采用厚度为(,5.8 10 S/m)包裹该室。若要求屏蔽的频率是铜皮的厚度应是多少。解：因为工作频率越高，趋肤深度越小，故铜皮的最小厚度应不低于屏蔽 的厚度。因为趋肤深度5个趋肤深度的一层铜皮10k

29、Hz100MHz，10kHz时所对应所以，铜皮的最小厚度为0.00066mh 50.0033m7、如果要求电子仪器的铝外壳(3.54 10 S/m, 至少为防止20kHz200MHz的无线电干扰，铝外壳应取多厚。解：因为工作频率越高，趋肤深度越小，故铝壳的最小厚度应不低于屏蔽 应的厚度。5个趋肤深度，为20kHz时所对200.000598m1因为铝壳为5个趋肤深度，故铝壳的厚度应为h5 00.003m7、已知平面波的电场强度E ex(2 j3) ey4ez3)ej(1.8y24z)(v/m)试确定其传播方向和极化状态；是否横电磁波?解：传播方向上的单位矢量为kyeykzezexX 2 2 k

30、ykz345ey 5ezek ? E 0，即 e改写电场为的所有分量均与其传播方向垂直，所以此波为横电磁波。3 j arctan_Eex 13e245(ey53433 j 3( ey ez)?rj arctan,ez3)e5 5ex3e2 5eye j3“5显然ex,ey均与ek垂直。此外，在上式中两个分量的振幅并不相等，所以为右旋椭圆极化波。9、假设真空中一平面电磁波的波矢量2.2 x y3勺3V /m，极化于电场强度的瞬时表达式。对应的磁场强度矢量。其电场强度的振幅 Em（1）（2）解：（1）电场强度的瞬时表达式为E r,tez 33 cost 2、2 Xz轴方向。试求:y (V/m)其中

31、:(2)kc对应的磁场强度矢量为H (t)-108 radE(t)-ek E(t)040 3 ( ey ex) cost 2/y)( A/m)10、真空中一平面电磁波的电场强度矢量为i zE2（ex jey）e 2此电磁波是何种极化？旋向如何？ 写出对应的磁场强度矢量。此电磁波的X分量的相位滞后（1）（2）解：极化波。其对应的磁场强度矢量为172Hez E （ey0 0(V/m)y分量的相位，且两分量的振幅相等，故此波为左旋面号zjex)e(A/m)习题六1、距离电偶极子多远的地方，其电磁场公式中与2r成反比的项等于与r成反比的项。解：电偶极子产生的电磁场中与r成反比的项(以电场为例)为3Id

32、lk sin j e -kr2与r成反比的项为Idlk3 sin所以0.1592、100解:假设一电偶极子在垂直于它的方向上距离V/m，试求电偶极子所辐射的功率。由E的表达式知，电偶极子的远区辐射场的电场强度振幅为100km处所产生的电磁强度的振幅等于ImdlI111 5Em石 0Sin又根据Pr的表达式，有因此Imdl40Pr2Prr ? Em sin2丄10代入具体数值得3、Pr计算一长度等于Rr80解：根据式Rr 80 21090.11.1W的电偶极子的辐射电阻。22 IdlIdl，知电偶极子的辐射电阻为20.1 080 27.8957方向性系数为D = 3。求:100 W,4、已知某天

33、线的辐射功率为(1) r 10km处，最大辐射方向上的电场强度振幅。(2) 若保持辐射功率不变，要使r 20km处的场强等于原来r 10km处的场强，应选取 方向性系数D等于多少的天线。解：(1)最大辐射方向上的电场强度振幅为Em、60DPr代入具体数值得Em1.3410 2V/m(2)符合题意的方向性系数为60D1 Pr60D2Prrir2代入具体数值得D2125、两个半波振子天线平行放置，相距2。若要求它们的最大辐射方向在偏离天线阵轴线 60的方向上，问两个半波振子天线馈电电流相位差应为多少。解：当两个半波振子天线馈电电流相位差满足条件kd时，由它们组成的天线阵的最大辐射方向m取决于相邻阵

34、元之间的电流相位差。因此coskd cos? cos602习题七1、什么叫截止波长？为什么只要c的波才能在波导中传输？答：导行波系统中，对于不同频率的电磁波有两种工作状态 传输与截止。介于传输与截止之间的临界状态，即由0所确定的状态，该状态所确定的频率称为截止频率，该频率所对应的波长称为截止波长。由于只有在2 2 2 20时才能存在导行波，则由kck0可知，此时应有2 2kck2即2c所以，只有ffc或c的电磁波才能在波导中传输。2、何谓工作波长，截止波长和波导波长？它们有何区别和联系？ 解：工作波长就是 TEM波的相波长。它由频率和光速所确定，即_。光_ 0_f rrc光0式中，0称为自由空间的工作波长，且f截止波长是由截止频率所确定的