高考数学复习(二十)正、余弦定理的3个应用点——高度、距离和角度

1、高考达标检测（二十）正、余弦定理的3个应用点高度、距离和角度一、选择题1、(2017东北三校联考)如图所示，已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离都等于akm，灯塔a在观察站c的北偏东20，灯塔b在观察站c的南偏东40，则灯塔a与灯塔b的距离为()a.akmc.2akmb、2akmd、3akm解析:选d依题意知acb1802040120，在abc中，由2余弦定理知ab1a2a22aa3a(km)，即灯塔a与灯塔b的距离为3akm、2、如图所示为起重机装置示意图，支杆bc10m，吊杆ac15m，吊索ab519m，起吊的货物与岸的距离ad为()2a.30mc.153m153b、md.45m2acb

2、c解析:选b在abc中，ac15m，ab519m，bc10m，ac2bc2ab2由余弦定理得cosacb2152102192151021、sinacb32、sinacdsinacb3、22又acbacd180、2在adc中，adacsinacd153153m、3.(2017江西联考)某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60，小高层底部的俯角为45，那么这栋小高层的高度为()3a.201m3c.10(26)mb.20(13)md.20(26)m解析:选b如图，设ab为阳台的高度，cd为小高层的高度，ae为水平线.由题意知ab20m，dae45，cae60，故de20m，c

3、eaetan60203m.所以cd20(13)m、故选b、4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0、6km，一艘客船从码头a出发匀速驶往河对岸的码头b、已知ab1km，水的流速为2km/h，若客船从码头a驶到码头b所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为()a.8km/hc.234km/hb.62km/hd.10km/h解析:选b设ab与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为vkm/h，1551010由题意知，sin0.63411，从而cos，所以由余弦定理得v22122121，解得v62、241055、(2017武昌调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向600km处的

4、热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为()a.14hc.16hb.15hd.17h6002400t2220t600，令ob24502，即4t21202t15750，解析:选b记现在热带风暴中心的位置为点a，t小时后热带风暴中心到达b点位置，在oab中，oa600，ab20t，oab45，根据余弦定理得ob222解得30215222230215t，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为302153021515(h)，故选b、6.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱

5、正西方向的点a测得水柱顶端的仰角为45，沿点a向北偏东30前进100m到达点b，在b点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()a.50mc.120mb.100md.150m解析:选a设水柱高度是hm，水柱底端为c，则在abc中，a60，ach，ab100，bc3h，根据余弦定理得，(3h)2h210022h100cos60，即h250h50000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50m、二、填空题7、(2017郑州调研)如图，在山底测得山顶仰角cab45，沿倾斜角为30的斜坡走1000m至s点，又测得山顶仰角dsb75，则山高bc为_m、解析:由题图知bas453015

6、，abs45sin1351530，asb135，在abs中，由正弦定理可得ab，ab10002，bcab1000、2答案:10008、如图，在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔aa和bb、已知从塔aa的底部看塔bb顶部的仰角是从塔11111000sin30bb的底部看塔aa顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点c分别看两塔顶部的11仰角互为余角.则从塔bb的底部看塔aa顶部的仰角的正切值为_；塔bb11的高为_m、1解析:设从塔bb的底部看塔aa顶部的仰角为，则aa60tan，bb111160tan2、从两塔底部连线中点c分别看两塔顶部的仰角互为余角，acbb，aa1301130bb1，aa

7、bb900，3600tantan2900，11tan(负值舍去)，tan2，bb60tan245、33133411答案:459、如图，为了测量河对岸a，b两点之间的距离，观察者找到一个点c，从点c可以观察到点a，b；找到一个点d，从点d可以观察到点a，c；找到一个点e，从点e可以观察c到点b，、并测量得到一些数据:cd2，ce23，d45，acd105，acb48、19，bce75，e60，则a，b两点之间2的距离为_、其中cos48.19取近似值解析依题意知，在acd中，a30，由正弦定理得accdsin45sin3022、在bce中，cbe45，由正弦定理得bccesin60sin4532

8、、在abc中，由余弦定理ab2ac2bc22acbccosacb10，所以ab10、答案:10三、解答题10、已知在东西方向上有m，n两座小山，山顶各有一个发射塔a，b，塔顶a，b的海拔高度分别为am100米和bn200米，一测量车在小山m的正南方向的点p处测得发射塔顶a的仰角为30，该测量车向北偏西60方向行驶了1003米后到达点q，在点q处测得发射塔顶b处的仰角为，且bqa，经测量tan2，求两发射塔顶a，b之间的距离.解:在amp中，apm30，am100，pm100，在pqm中，qpm60，又pq1003，pqm为等边三角形，qm1003、在amq中，由aq2am2qm2，得aq200

9、、在bnq中，tan2，bn200，bq1005，cos55、142即360t290t1000，解得t或t(舍去).所以舰艇靠近渔轮所需的时间为h、在bqa中，ba2bq2aq22bqaqcos(1005)2，ba1005、即两发射塔顶a，b之间的距离是1005米.11.某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在a处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45，距离为10nmile的c处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间、33sin21.8解:如图所示，根据题意可知ac1

10、0，acb120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为th，并在b处与渔轮相遇，则ab21t，bc9t，在abc中，根据余弦定理得ab2ac2bc22acbccos120，所以212t210281t212109t，2531223此时ab14，bc6、，在abc中，根据正弦定理，得bcabsincabsin12014336所以sincab3214，3即cab21、8或cab158、2(舍去)，即舰艇航行的方位角为4521、866、8、2所以舰艇以66、8的方位角航行，需h才能靠近渔轮.12.某高速公路旁边b处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台a处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15方向上，且俯角为30的c处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75方向上，且俯角为45的d处.(假设客车匀速行驶)10(1)如果此高速路段限速80千米/时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向e处，问此时客车距离楼房多远？解:(1)在abc中，bac60，ab100米，则bc1003米.在abd中，bad45，ab100米，则bd100