高中数学讲义微专题85几何概型

1、微专题85几何概型一、基础知识：1、几何概型：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型2、对于一项试验，如果符合以下原则：（1）基本事件的个数为无限多个（2）基本事件发生的概率相同则可通过建立几何模型，利用几何概型计算事件的概率3、几何概型常见的类型，可分为三个层次：（1）以几何图形为基础的题目：可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域，从而求出比例即可得到概率。（2）以数轴，坐标系为基础的题目：可将所求事件转化为数轴上的线段（或坐标平面的可行域），从而可通过计算长度（或面积）的比例求的概率（将问题转化为第（1）类问题）

2、（3）在题目叙述中，判断是否运用几何概型处理，并确定题目中所用变量个数。从而可依据变量个数确定几何模型：通常变量的个数与几何模型的维度相等：一个变量数轴，两个变量平面直角坐标系，三个变量空间直角坐标系。从而将问题转化成为第（2）类问题求解二、典型例题：a.1例1：已知函数f(x)=x2-x-2,x-5,5，在定义域内任取一点x，使f(x00率是（）234b.c.d.103105)0的概思路：先解出f(x0)0时x0的取值范围：x2-x-20-1x2，从而在数轴上(-1,2)区间长度占-5,5区间长度的比例即为事件发生的概率，所以p=答案：c310c例2：如图，矩形oab内的阴影部分是由曲线f(

3、x)=sinx(x(0,p)及直线x=a(a(0,p)与x轴围成，向矩形oabc内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a的值是（）长方形的面积s=a=6，阴影面积s=asinxdx=-cosx|a=1-cosa，所以有a07p2p3p5pa.b.c.d.12346思路：落在阴影部分的概率即为阴影部分面积与长方形面积的比值60s1-cosa112pp=，可解得cosa=-，从而a=s6423答案：b例3：已知正方形abcd的边长为2，h是边da的中点，在正方形abcd内部随机取一点p，则满足ph2的概率为（）a.p1ppp1b.+c.d.+848444思路：ph2可理解为以h为圆心，2为

4、半径的圆的内部，通过作图可得概率为阴影部分面积所占正方形面积的比例。可将阴影部分拆为一个扇形与两个直角三角形，可计算其面积为s=p2+1，正方形面积s=22=4，所以p=答案：bsp1=+s84小炼有话说：到某定点的距离等于（或小于）定长的轨迹为圆（或圆的内部），所以从ph0成立的概率是（）135b.c.d.4488思路：题目中涉及a,b两个变量，所以考虑利用直角坐标系解决。设为“a,b在区间0,4内”，则要满足的条件为：0a4，设事件a为0b4“f10成立”，即a2b10，所以a要满足的0a4条件为：0b4，作出各自可行域即可得到a2b10pasa38s答案：c例8：在区间0,1上随机取两个

5、数x,y，记p为事件“xy112”的概率，p为事件222“xy11”的概率，p为事件“xy”的概率，则（）3a.p1p2p3b.p2p3p1c.p3p1p2d.p3p2p1思路：分别在坐标系中作出“xy111”，“xy”，“xy”的区域，并观察222或计算其面积所占单位长度正方形的比例，即可得到p,p,p的大小：p1232答案：bp3p1a.1例9：小王参加网购后，快递员电话通知于本周五早上7:30-8:30送货到家，如果小王这一天离开家的时间为早上8:00-9:00，那么在他走之前拿到邮件的概率为（）127b.c.d.8238思路：本题中涉及两个变量，一个是快递员到达的时刻，记为x，一个是小

6、王离开家的时刻，记为y，由于双变量所以考虑建立平面坐标系，利用可行域的比值求得概率。必然事件w所要满足的条件为：8y97.5x8.5，设“小王走之前拿到邮件”为事件a，则a要满足的条件为：8y9xy(a)=sa=77.5x8.5，作出w和a的可行域，可得p()s(w)8机剪三段”，则w要满足的条件为：0y1，设事件01-x-y10x10y10y10x+y101-x-y1x+(1-x-y)yyx答案：d例10：已知一根绳子长度为1m，随机剪成三段，则三段刚好围成三角形的概率为_思路：随机剪成三段，如果引入3个变量x,y,z，则需建立空间坐标系，不易于求解。考虑减少变量个数，由于三段的和为1，设其中两段为x,y，则第三段为1-x-y。只用两个变量，所以就可以建立平面直角坐标系进行解决。设w为“一根绳子