高中数学必修一之知识讲解_对数及对数运算_基础

1、10n简记作lgn以e（e是一个无理数，e=2.7182）对数及对数运算【学习目标】1理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；2了解常用对数与自然对数的意义；3能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明5能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用【要点梳理】要点一、对数概念1对数的概念如果ab=n(a0，且a1)，那么数b叫做以a为底n的对数，记作:logan=b其中a叫做对数的底数，n叫做真数要点诠释：对数式logan=b中各字母的取值范围是：a0且a1，n0，br2对数logn(a0，且a1)

2、具有下列性质：a（1）0和负数没有对数，即n0；（2）1的对数为0，即log1=0；a（3）底的对数等于1，即loga=1a3两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，log为底的对数叫做自然对数，logn简记作lnne4对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化它们的关系可由下图表示由此可见a，b，n三个字母在不同的式子中名称可能发生变化要点二、对数的运算法则，已知logmlogn(a0且a1，m、n0)aa（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；log(mn)=logm+lognaaa推广：log(nnn)=lo

3、gn+logn+logna12ka1a2ak(n、n、n12k0)（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；logamn=logm-lognaa（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；logma=alogmaa要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立如：log2（-3）（-5）=log2（-3）+log2（-5）是不成立的，因为虽然log2（-3）（-5）是存在的，但log2logam（-3）与log2（-5）是不存在的（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错

4、误的：loga（mn）=logamlogan，loga（mn）=logamlogan，logm=anlogna要点三、对数公式1对数恒等式：ab=nalogan=nlogan=b2换底公式，同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a0，a1m0的前提下有:（1）logm=logaanmn(nr)（2）logm=logm(c0,c1)，令logalogam=b，n令logam=b，则有ab=m，（ab）=mn，即(an)b=mn，即b=logcacanmn，即:logam=loganmn则有ab=m，则有即bloga=logm，即b=logmlogalogalogax-10,且x-11,即

5、x1,且x2x1,且x2,logab=logm(c0,c1)cclogmcc，即logm=(c0,c1)ccacc当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性而且由（2）还可以得到一个重要的结论:logb=1(a0,a1,b0,b1)ab【典型例题】类型一、对数的概念例1求下列各式中x的取值范围：（1）log(x-5)；（2）log(x+2)；（3）log(x-1)22(x-1)(x+1)【答案】（1）x5；（2）x1,且x2；（3）x-1且x0,x1【解析】（1）由题意x-50，x5，即为所求x+20,（2）由题意x-2,(x-1)20,（3）由题意x

6、+10,且x+11,解得x-1且x0,x1【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1举一反三：【变式1】函数y=log2x-1(x+2)的定义域为【答案】x|x且x112类型二、指数式与对数式互化及其应用例2将下列指数式与对数式互化：；6）=9（1）log16=4；2）log27=-3；3）log213【解析】运用对数的定义进行互化3（x=3；4）53=125；5）2-1=11-2（23()=x；（4）log125=3；（5）log1-331（1）2=16；2）=27；3）3=-1；6）log9=-23245213【总结升华】对数的定义是对数形

7、式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：（1）logx=-1612（2）log8=6（3）lg1000=x（4）-2lne2=xx【答案】（1）14；（2）2；（3）3；（4）-4【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x（1）x=(16)2=(42)2=4-1-112(-)2=4-1=14；（2）x=8，所以x=(x)=(8)=(23)62；621111666（3）10x=1000=103，于是x=3；（4）由-2lne=x，得-=lne2，即e2=e22x2-x所以x=-4【高清课堂：对数及对数运算369

8、068例1】【变式2】计算：log4;log8;log32并比较222【解析】log4=log22=2;22log8=log23=3;22log32=log25=522类型三、利用对数恒等式化简求值例3不用计算器计算：log327+lg25+lg4+7log72+(-9.8)0【答案】1323【解析】原式=log32+lg(254)+2+133=+lg102+32313=+2+3=22【总结升华】对数恒等式alogan=n中要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为真数举一反三：【变式1】求alogablogbclogcn的值（a，b，cr+，且不等于1，n0）【答案】n【解析】将幂

9、指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算alogablogbclogcn=(alogab)logbclogcn=(blogbc)logcn=clogcn=n类型四、积、商、幂的对数【高清课堂：对数及对数运算369068例3】例4用logx,logy,logz表示下列各式aaazayz(1)logaxyx;(2)log(x3y5);(3)loga;(4)logax2y3z【解析】（1）logaxyz=logx+logy-logz；aaa（2）log(x3y5)=logx3+logy5=3logx+5logy；aaaaayz2（3）logax1=logx-log(yz)=logx-logy-log

10、z；aaaaa23（4）logax2y3z=loga(x2y)-loga311z=2logx+logy-logzaaa【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算举一反三：【变式1】求值（1）2log25+3log64-8log1（2）lg2lg50+（lg5）2（3）lg25+lg2lg50+（lg2）25210【答案】（1）22；（2）1；（3）2【解析】（1）2log25+3log64-8log15210=2log52+3l

11、og26-80=4+18-0=22.52（2）原式=lg2（1+lg5）+（lg5）2=lg2+lg2lg5+（lg5）2=lg2+lg5（lg2+lg5）=lg2+lg5=1（3）原式=2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）2=2lg5+lg2+lg2lg5+（lg2）2=1+lg5+lg2（lg5+lg2）=1+lg5+lg2=2类型五、换底公式的运用例5已知log9=a,18b=5，求log451836a+b【答案】2-a【解析】解法一：log9=a,18b=5，log5=b，1818log45log(95)log9+log5a+ba+b18181818于是log45=18=36lo

12、g36log(182)1+log22-a1818181+log189log362log18-log92-a9lg362lg18-lg92lg18-alg182-a解法二：log9=a,18b=5，log5=b，1818log45log(95)log9+log5a+b181818于是log45=18=.3618log181818解法三：log9=a,18b=5，lg9=alg18,lg5=blg18，18lg45lg(95)lg9+lg5alg18+blg18a+blog45=36lg9解法四：log9=a，18a=9.18又18b=5,45=59=18b18a=18a+b令log45=x，则3

13、6x=45=18a+b，361818182即36x=()x=18a+b,()x=18a+b,339xlog181829=a+b.a+ba+bx=log182-log92-a1818【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式（3）解决这类问题要注意隐含条件“loga=1”的灵活运用a举一反三：【变式1】求值：（1）(log3+log3)(log2+log2)；（2）log9log483985103【答案】（1）；（2）；（3）492527132；（3）92-log3

14、5【解析】（1）(log3+log3)(log2+log2)4839log4log8log9232624=(；33222log3log3log2log3log3log25352+)(log2+)=(+)(log2+)=log3log2=3323223（2）log9log82732=lg9lg322lg35lg210=；lg8lg273lg23lg39=32(2-log35)=31-log325=3log325=3（3）法一：912-log351325法二：9=9-log352=929log925=121-log925132516-354类型六、对数运算法则的应用例6（2016春陕西期中）计算（

15、1）()4+log+log813435（2）lg14-2lg73+lg7-lg18（3）log2(log232+log1+log436)342（4）33+log32-51+log52【思路点拨】根据对数和批数的运算性质计算即可【答案】（1）278；（2）0；（3）3；（4）4416-35424(-3)【解析】（1）()4+log+log=()4+log8134353（2）原式=lg(27)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(322)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0542727=+0=34588+log262)=log2(5-log2+log26)=log28=3（3）原式=log2(5+log2-123344（4）33+log32-51+log52=333log32-515log52=272-52=44举一反三：【变式1】计算下列各式的值（1）lg52+23lg8+lg5lg20+(lg2)2；（2）(lg2)3+3lg2lg5+(lg5)3,x(-1,0)【变式2】已知f(x)=4x，则f(log3)=4x,x(0,1),x(-1,0)【答案】（1