高中数学：函数解析式的十一种方法

1、高中数学：函数解析式的十一种方法一、定义法二、待定系数法三、换元（或代换）法四、配凑法五、函数方程组法七、利用给定的特性求解析式.六、特殊值法八、累加法九、归纳法十、递推法十一、微积分法一、定义法：【例1】设f(x+1)=x2-3x+2，求f(x).qf(x+1)=x2-3x+2=(x+1)-12-3(x+1)-1+2=(x+1)2-5(x+1)+6f(x)=x2-5x+6【例2】设ff(x)=x+1x+2，求f(x).【解析】设qff(x)=x+1x+1=x+2x+1+111+11+xf(x)=11+x【例3】设f(x+)=x2+1111,g(x+)=x3+xx2xx3，求fg(x).111

2、【解析】qf(x+)=x2+=(x+)2-2f(x)=x2-2xx2x1111又qg(x+)=x3+=(x+)3-3(x+)g(x)=x3-3xxx3xx故fg(x)=(x3-3x)2-2=x6-6x4+9x2-2【例4】设f(cosx)=cos17x,求f(sinx).【解析】f(sinx)=fcos(pp-x)=cos17(22-x)=cos(8p+p-17x)=cos(p22-17x)=sin17x.二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。【例1】设f(x)是一次函数，且ff(x)=4x+3，求f(x)【解析】设f(x)=ax+b(a0)，则ff(x)=af(x)+b=

3、a(ax+b)+b=a2x+ab+ba=2a2=4a=-2或ab+b=3b=1b=3f(x)=2x+1或f(x)=-2x+3【例2】已知f(x-2)=2x2-9x+13，求f(x).【解析】显然，f(x)是一个一元二次函数。设f(x)=ax2+bx+c(a0)则又f(x-2)=a(x-2)2+b(x-2)+c=ax2+(b-4a)x+(4a-2b+c)f(x-2)=2x2-9x+13比较系数得：b-4a=-9解得：b=-1f(x)=2x2-x+34a-2b+c=13c=3a=2a=2三、换元（或代换）法：已知复合函数fg(x)的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所

4、换元的定义域的变化。【例1】已知f(x+1)=x+2x，求f(x+1)【解析】令t=x+1，则t1，x=(t-1)2f(x+1)=x+2xf(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,f(x)=x2-1(x1)f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x0)【例2】已知1+xx2+11f()=+,求f(x).xx2x【解析】设1+x1=t,则x=xt-1则f(t)=f(1+xx2+1111)=+=1+xxx2x2x=1+11+=1+(t-1)2+(t-1)=t2-t+1f(x)=x2-x+111()2t-1t-1【例3】设f(cosx-1)=cos2x，求f(x).解：令t=cosx-1,

5、cosx=t+1又-1cosx1,-2cosx-10即-2t0f(t)=(t+1)2,(-2t0)即f(x)=(x+1)2,x-2,0【例4】若f(x)+f(x-1x)=1+x（1）x-1x-1x-1x在（1）式中以代替x得f()+f()=1+x-1-1x-1xxxx即f(x-112x-1)+f(-)=xx-1x（2）11x-2又以-代替（1）式中的x得：f(-)+f(x)=x-1x-1x-1（3）(1)+(3)-(2)得:2f(x)=1+x+-=f(x)=【例5】设f(x)满足af(x)+bf()=cxx(其中a,b,c均不为0，且ab)，求f(x)。x-22x-1x3-x2-1x3-x2-

6、1x-1xx(x-1)2x(x-1)11111【解析】af(x)+bf()=cx（1）用来代替x，得af()+bf(x)=c（2）xxxx由a(1)-b(2)得:(a2-b2)f(x)=qabacx2-bcx【例6】已知f(ax-1)=x2+2，求f(x).【解析】设t=ax-1f0，则x-1=logt即x=logt+1aaf(t)=(logt+1)2+2=log2t+2logt+3代入已知等式中，得：aaaf(x)=acx2-bc(a2-b2)xf(x)=log2x+2logx+3aa四、配凑法已知复合函数fg(x)的表达式，要求f(x)的解析式时，若fg(x)表达式右边易配成g(x)的运算

7、形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。【例1】已知f(x+1)=x+2x,求f(x)的解析式。【解析】x+2x可配凑成f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1即f(x)=x2-1(x1)可用配凑法由f(x+1)=x+2x=(x+)2-1令t=x+1x0t1则f(t)=t2-1即f(x)=x2-1(x1)当然，上例也可直接使用换元法令t=x+1则t=x+1得x=(t-1)2由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。【例2】已知f(x-)=x2+11xx2,求f(x).由f(x-)=x2+令t=x-x2-tx-1=0【例1】设f(x)满足f(

8、x)-2f()=x,求f(x)的解析式。【解析】要求f(x)可消去f(),为此，可根据题中的条件再找一个关于f(x)与f()的等式，f(x)-2f()=x显然，x0,将x换成得f()-2f(x)=.【解析】此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。111=(x-)2+2xx2x1x由d0即t2+40得trtf(t)=2+2即：f(x)=x2+2(xr)实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。和换元法一样，最后结果要注明定义域。五、函数方程组法。函数方程组法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函

9、数与原函数f(x)混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。1x11xx通过解方程组达到消元的目的。1x1x11xxx消去f()，得1f(x)-2f()=x由f(1)-2f(x)=1xx1x12f(x)=-x-33x1小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、f()；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通x过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。【例2】已知f(ax-1)=x2+2，求f(x).【解析】设t=ax-1f0，则x-1=logt即x=logt+1aa代入已知等式中，得：f(t)=(logt+1)2+2=log2t+2log

10、t+3aaaf(x)=log2x+2logx+3aa【例3】设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)+g(x)=【解析】f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x)又f(x)+g(x)=1，x-11用-x替换x得：f(-x)+g(-x)=-x+1即f(x)-g(x)=-1x+11x-1,试求f(x)和g(x)的解析式f(x)=1解联立的方程组，得1，g(x)=x2-1x2-x六、特殊值法：（赋值类求抽象函数）【例1】设f(x)是定义在n上的函数，满足f(1)=1，对于任意正整数x,y，均有f(x)+f(y)=f(x+y)-xy，求f(x).解：由f(

11、1)=1，f(x)+f(y)=f(x+y)-xy设y=1得：f(x)+1=f(x+1)-x即：f(x+1)-f(x)=x+1在上式中，x分别用1,2,3,l,t-1代替，然后各式相加可得：f(t)=111(t+2)(t-1)+1=t2+t22211f(x)=x2+x(xn*)22【例2】已知：f(0)=1，对于任意实数x、y，等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)恒成立，求f(x)【解析】对于任意实数x、y，等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)恒成立，不妨令x=0，则有f(-y)=f(0)-y(-y+1)=1+y(y-1)=y2-y+1再令-y=x得函数解析式为：f(x)=x

12、2+x+1七利用给定的特性求解析式.【例1】设f(x)是偶函数，当x0时，f(x)=ex2+ex，求当x0时，f(x)的表达式.【解析】对xr，f(x)满足f(x)=-f(x+1)，且当x1，0时，f(x)=x2+2x求当x9，10时f(x)的表达式.七利用给定的特性求解析式.八、累加法：（核心思想与求数列的通项公式相似）【例1】若f(1)=lg1a，且当x2时,满足f(x-1)=f(x)-lgax-1,(af0,xn*)，求f(x).【解析】qf(x)=f(x-1)+lgax-1(af0,xn*)递推得：f(x-1)=f(x-2)+lgax-21f(x-2)=f(x-3)+lgax-3f(3

13、)=f(2)+lga2f(2)=f(1)+lga以上(x-1)个等式两边分别相加，得：f(x)=f(1)+lga+lga2+l+lgax-2+lgax-1=f(1)+lga1+2+l+(x-2)+(x-1)x(x-1)x(x-1)=lg+lga2=lga2-1a=x(x-1)-1lga2九、归纳法：【例1】已知f(x+1)=2+12f(x),(xn*)且f(1)=a，求f(x).111【解析】qf(1)=a,f(2)=2+f(1)=2+a=4-2+a2221111f(3)=2+f(2)=2+(2+a)=4-20+222221111f(4)=2+f(3)=2+(3+a)=4-2-1+22423a

14、a11111f(5)=2+f(4)=2+(3+a)=4-2-2+222824，依此类推，得af(x)=4-23-x+12x-1a再用数学归纳法证明之。十、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。【例1】设f(x)是定义在n+上的函数，满足f(1)=1，对任意的自然数a,b都有f(a)+f(b)=f(a+b)-ab，求f(x)【解析】f(a)+f(b)=f(a+b)-ab，a,bn，+不妨令a=x,b=1，得：f(x)+f(1)=f(x+1)-x，又f(1)=1,故f(x+1)-f(x)=x+1分别令式中的x=1,2n-1得：f(2)-f(1)=2,f(3)-f(2)=3,f(n)-f(n-1)=n,将上述各式相加得：f(n)-f(1)=2+3+ln，f(n)=1+2+3+ln=n(n+1)2f(x)=11x2+x,xn22+十一、微积分法：（当你学了导数和