高中数学知识讲解_充分条件与必要条件_基础

1、充分条件与必要条件【学习目标】1理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系；.4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明【要点梳理】要点一：充分条件与必要条件、充要条件的概念1.符号pq与p/q的含义“若p，则q”为真命题，记作：pq；“若p，则q”为假命题，记作：p/q.2.充分条件、必要条件与充要条件若pq，称p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果既有pq，又有qp，就记作pq，这时p是q的充分必要条件，称p是q的充要条件.要点诠释：对

2、pq的理解：指当p成立时，q一定成立，即由p通过推理可以得到q.“若p，则q”为真命题；p是q的充分条件；q是p的必要条件.以上三种形式均为“pq”这一逻辑关系的表达.要点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断1.从逻辑推理关系看命题“若p，则q”，其条件p与结论q之间的逻辑关系.若pq，但q/p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；若p/q，但qp，则p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件；若pq，且qp，即pq，则p、q互为充要条件；若p/q，且q/p，则p是q的既不充分也不必要条件.2.从集合与集合间的关系看若p：xa，则q：xb.若ab，则p是q的充分条件，q是p

3、的必要条件；若a是b的真子集，则p是q的充分不必要条件；若a=b，则p、q互为充要条件；若a不是b的子集且b不是a的子集，则p是q的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：确定哪个是条件，哪个是结论；尝试用条件推结论；再尝试用结论推条件；最后判断条件是结论的什么条件.要点三：充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）.要点诠释：对于命题“若p，则q”：如果p是q的充分条件，则原命题“若p，则

4、q”与其逆否命题“若q，则p”为真命题；如果p是q的必要条件，则其逆命题“若q，则p”与其否命题“若p，则q”为真命题；如果p是q的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中，p分别是q的什么条件？(1)p：(x-2)(x-3)=0，q：x=2；(2)p：c=0，q：抛物线y=ax2+bx+c过原点；(3)p：一个四边形是矩形，q：四边形的邻边相等.【思路点拨】本题中，p是条件，q是结论.尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件，从而判断p分别是q的什么条件.【解析】(1)p：x=2或x=3，q：x=2，p/q且qp，p是q的必要不充

5、分条件.(2)pq且qp，p是q的充要条件，/(3)p/q且qp，p是q的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件找推式下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】指出下列各题中，p是q的什么条件？（1）p：a=b，q：a和b是对顶角.（2）p：x=1，q：x2=1；【解析】（1）p/q且qp，p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件.（2）q:x2=1x=1或x=-1/x=1x2=1，但x2=1x=1，p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.【变式2】判断下列各题中p是q的什么条件.（1）p：a0且b0，q：ab0；（2

6、）p：xy1，q：xy.【答案】（1）p是q的充分不必要条件.a0且b0时，ab0成立；反之，当ab0时，只要求a、b同号即可.必要性不成立.（2）p是q的既不充分也不必要条件x1在y0的条件下才有xy成立.y充分性不成立，同理必要性也不成立.【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】例2.已知p：0x3，q：|x-1|2，则p是q的（）a、充分不必要条件b、必要不充分条件c、充要条件d、既不充分也不必要条件【答案】a【解析】解不等式|x-1|2得-1x3，即q：-1x3.将集合p=x|0x3与q=a=x|1x2”的一个必要不充分条件为（）a.x1b.x3d.x3【答案】a【变式2】下列

7、各小题中，p是q的什么条件？（1）p：-2x2，q：-2x0；（2）p：0x3，q：-1x3.【答案】(1)p是q的必要不充分条件；(2)p是q的充分不必要条件.【变式3】设条件甲为“x2-5x0”，条件乙为“x2-5x-60”那么甲是乙的（）a、充分不必要条件b、必要不充分条件c、充要条件d、既不充分也不必要条件【答案】b类型二：充要条件的探求与证明例3.设x、yr，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.【思路点拨】注意分清条件与结论.本题中条件：xy0；结论：|x+y|=|x|+|y|.要证明充要条件的成立，须从两方面着手：条件结论；结论条件.【证明】（1）充分性：若xy

8、=0，那么x=0，y0；x0，y=0；x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy0，即x0，y0或x0，y0，当x0，y0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x0，y0时，|x+y|=(x+y)=x+(y)=|x|+|y|.总之，当xy0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、yr，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x2+2xy+y2=x2+2xy+y2，|xy|=xy，xy0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一

9、个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用ab与ba；ba与ab；ab与ab的.等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法（3）利用集合间的包含关系判断，若ab，则a是b的充分条件或b是a的必要条件；若a=b，则a是b的充要条件.举一反三：【变式1】已知a，b，c都是实数，证明ac0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正ac0，x1x2=c0，即x1，x2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根.根和一个负根的充要条件.【解析】（1）充分性：若ac0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为x1，x2，ax（2

10、）必要性：若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x1，2，且x10，x20，则x1x2=ca0，ac0.0若方程有两个负的实根，则必须满足-00a1a综上可得ac0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.【解析】（1）a=0时适合.（2）当a0时，显然方程没有零根.1若方程有两异号的实根，则必须满足aa012d=4-4a0综上知，若方程至少有一个负的实根，则a1；反之，若a1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a1类型三：充要条件

11、的应用例4.已知条件p：x2+ax10，条件q：x23x20，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【答案】2a2【解析】解不等式x23x20得1x2.令axr|x2+ax10，bx|1x2，p是q的充分不必要条件，pq，即ab，可知a=或方程x2+ax10的两根要在区间1，2内，1-a2d0a240或24+2a+101+a+10，得2a2.集且b不是a的子集，所以，或，解得c2，解得c2，1+c71-c7【总结升华】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合a、b，再由它们的因果关系，得到a与b的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.举一反三：【变式1】已知命题p：1cx0)，命题q：x7或x1，并且p是q的既不充分又不必要条件，则c的