对高考数学复习的思考

1、对高考数学复习的思考对高考数学复习的思考 一、高考中的几个热点问题一、高考中的几个热点问题 二、二、2008年高考试题举例年高考试题举例 三、高三数学总复习三、高三数学总复习知识脉络梳理知识脉络梳理 四、对高考的思考四、对高考的思考 五、五、 考纲变化实例解释考纲变化实例解释 六、对函数思想的重点考查六、对函数思想的重点考查 七、七、 以空间图形为载体的轨迹问题分析以空间图形为载体的轨迹问题分析 八、关于复习的建议八、关于复习的建议 一、高考中的几个热点问题 近年来，高考试题遵循大纲要求，重视 基础，突出能力，方向明确。 试题可大致归纳如下： 1.知识交汇是高考命题的永恒话题（综合性） 2.新

2、定义运算的试题常考常新 3.函数相关内容是高考的主旋律 4.数学思想方法是中学数学解题的利剑 二、二、2008年高考试题举例年高考试题举例 1以比大小的形式考查考生的基础知识 （北京文2）若 则（ ） a b cd 选 a 372 log log 6log 0.8abc， abcbac cabbca （北京理2）若 则（ ） a b cd 选 a abc bac cabbca 0.5 2 2 2,log 3,log sin 5 abc （辽宁4）已知， 则（ c ） a b c d 01,log2log3 aa ax 1 log 5 2 a y log21log3 aa z xyzzyx yx

3、zzxy （全国4）若 则（ ） ab c d 选c 13 (1)ln2lnlnxeaxbxcx ， xyz zyx yxz zxy 二、以图形为背景建立函数关系 （北京理(8)）如图，动点p在正方体 的对角线 上。过点p作垂直平面 的直 线，与正方体表面相交于m、n，设 则函数 的图象大致是（ b ） 1 bd 1111 -abcddcba ddb 11 b xbp ymn )x(fy ( )f x abc abc， ，(0 4) (2 0) (6 4)， ( (0)f f 0 (1)(1) lim x fxf x 2 b c a y x 1o34 5 6 1 2 3 4 （北京理12文13

4、）如图，函数的图象是折线段 ，其中 的坐标分别为 ，则 ； （用数字作答） 1 ( )log (21)(01) x a f xbaa， ab， 1 01ab 1 01ba 1 01ba 11 01ab o y x （山东文12）已知函数 的图象如图所示，则满足的关系是（ a ） c d d a b ( ),( )yf xyg x ( ),( )yf xyg x (福建理12) 已知函数 的导函数的图象如下图，那么 图象可能是 )(xfy （福建文11）如果函数 的图象如图，那么导函数 的图象可能是( ) ( )yfx )(xfy |)(| xfy | )(|xfy |)|(xfy |)(| x

5、fy （练习）已知图中的图象对应的函数为 则图中的图象对应的函数 （ ） ， b c d a 在下列给出的四式中只可能是 s t s to a s to s to s to b c d （全国理2文2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行 驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶 路程 看作时间的函数，其图像可能是（ ） 5 4 1, 3 ,3 2 三、新定义运算 10.设x表示不超过x的最大整数（如2=2, =1）,对于给定的nn*,定义 x , 则当x 时，函数 的值域是（ ） a. b. c. d. 16 ,28 3 16 ,56 3 28 4, 3 28,56 1628 4,28 33

6、 k () kkk p xy， 1 1x 1 1y 2k 1 1 12 1 5 55 12 55 kk kk kk xxtt kk yytt ， ( )t aa (2.6)2t (0.2)0t （北京理14）某校数学课外小组在坐标纸上为学校的 一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点 处，其中， ，当时， 表示非负实数 的整数部分，例如 ， 按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ； 第2008棵树种植点的坐标应为 ( )2 x f x x a 2 246810 ()4f aaaaa 212310 log ()()()()f af af af a 四、与函数有关的综合题 （湖北理14）已知函数,等

7、差数列 的公差为2 .若 ,则 . ( )2 x f x x a 2 246810 ()4f aaaaa 212310 log ()()()()f af af af a 四、与函数有关的综合题 （湖北理14）已知函数,等差数列 的公差为2 .若 ,则 . 2 ( )cosf xxx 2 2 ， 12 xx， 12 xx 22 12 xx 12 xx 12 ()()f xf x （北京理13文14）已知函数 ，对于 上的任意 ，有如下条件： ； 其中能使 恒成立的条件序号是（ ） ( ), ( )f xg x r ( )( ) x f xg xe (2)(3)(0)ffg(0)(3)(2)gff

8、 (2)(0)(3)fgf(0)(2)(3)gff （安徽理11）若函数分别是 上的奇函数、偶函数，且满足 则有（ ） b c a. d. lncos 22 yxx 2 2 2 2 2 2 2 2 y x o y x o y x o y x o a b c d （山东文3理3）函数 的图象是（ ） ar x yeaxxr 1a 1a 1 a e 1 a e （广东文9）设，若函数， 有大于零的极值点，则（ ) b、 c、 d、 a 2 ( )22(4)1f xmxm x ( )g xmxx ( )f x( )g x m (0,2)(0,8) (2,8) (,0) （江西理12）已知函数， ，若

9、对于任一实数，与 至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ） b c d a 1a ,2 xaa 2 ,ya aloglog3 aa xy a 2 |1aa |2a a 3|2aa 2,3 （天津文10）设，若对于任意的 都有满足方程 这时的取值集合为（ ） b. c. d. a. r ( )f x ()( )( )2f xyf xf yxy xyr，(1)2f ( 3)f 五、抽象函数 （陕西理11）定义在上的函数满足 （）， 则 a2b3c6d9 等于（ ） ( )f x 12 ,x xr 1212 ()()() 1f xxf xf x ( )f x( )f x ( )1f x ( )1f

10、 x (重庆理6)若定义在r上的函数满足：对任意 ，有 则下列说法一定正确的是( ) 为奇函数 b.为偶函数 为奇函数 d.为偶函数 a. c. 三、高三数学总复习 知识脉络梳理 重视基础，落实基础，在重视基础的基础上 才能有一定的能力要求，瞄准数学命题的走 向复习。 揭示知识的内在联系，揭示知识的内在联系， 构建知识网络构建知识网络 四、对高考的思考四、对高考的思考 1数学命题的原则 考查基础知识的同时，注意考查能 力，注重对数学思想方法的考查。 2数学考试的学科性（学科特点） （1）概念性强：几乎每道题涉及概念，还涉 及新概念。 （2）充满思辨性：数学是以思维为主体的学 科，一是辨析，你自

11、己决定这样做对不对，这 是辨误；第二是辨证，从哲理上看有一定的辨 证成分。 （3）量化突出：方法做的再对，结果不对也 不行。 （4）解法多样：专家不赞成只有一两种解法 的，或者是解法偏怪的，而是重通法，常常将 一道题要用多种思路都考虑到，让同学容易上 手，这就是学科特点。 3在涉及七种数学方法： （1）函数与方程的思想； （2）数与形结合的思想； （3）分类与整合的思想； （4）划归与转化的思想； （5）特殊与一般的思想； （6）有限与无限的思想； （7）或然与必然的思想。 （实际上都谈的是学科特点） 4数学试题中考查的主要能力 （1）思维能力； （2）计算能力； （3）空间想象能力； （4）

12、实践能力 下面围绕这些内容讲解几个题目，我介绍 的的题目并不以难为特色。 例1：定义“max”的意义是选大的。 函数 ，求 的最小正周期。 ).ba(b ),ba(a b ,amax xcos, xmaxsin)x(f 22 )x(f 分析1：max是新引人的概念， |x|x, xmax 2 1 2 41 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 21 2 21 2 22 xcos xcos |xcos| xcos , xcos maxxcos, xmaxsin 最小正周期 24 2 t 4 2 -2 -4 -6 -55 例2：中，ab ，d为ac边的中点， 6 3 4 ，5bd ，

13、 6 6 bcos 求外接圆半径. 解1：设 acb,bc=a , 6 6 6 3 4 26 3 4 222 a)(ab )a)(b)( 2222 6 3 4 252 即 .ba ,aab 20 3 64 2 3 32 3 8 22 22 外接圆半径 70 5 2 6 6 1 3 212 2 )( bsin ac r 解2：建立直角坐标系， 设 ,abc）（ 0 ),( ),( )bsin,bcos(ba 3 54 3 4 6 30 3 64 6 6 3 64 3 64 3 64 ), a ()babc(bd 3 52 2 3 4 2 1 ),(bcbaca 3 54 2 3 4 3 212

14、3 54 2 3 4 22 )()(|ca| 外接圆半径 70 5 2 6 6 1 3 212 2 )( bsin ac r 例3：甲乙两队进行一场排球赛，一场分 为若干局，采用五局三胜，即先胜三局的 队获胜，比赛结束。比赛中，各局比赛相 互无影响，设单局比赛时，甲胜的概率为 0.6，设 为本场比赛的局数。求 的数学 期望。 分析： ， 即 （这里既含有常识内容，又含有基本思维的 内容）甲本场胜与乙本场胜是互斥事件。 53 ., 543 如果3局使本场比赛结束，甲胜的概率是 ， 乙胜的概率 ，. 3 06 3 04 28004603 33 .)(p 如果4局使本场结束，分两种情况 前3局中甲胜

15、两局，乙胜1局，第4局甲胜； （分甲胜在哪两局，等可能事件问题） 前3局中乙胜两局，甲胜1局，第4局乙胜； 由独立重复试验概率算法知 374404060046040604 22 3 22 3 .c.c)(p . 345604060046040605 222 4 222 4 .c.c)(p 06564 3456053744042803 554433 . . )(p)(p)(pe 如果打满5局使本场结束，分两种情况 前4局中两队各胜两局，第5局甲胜； 前4局中两队各胜两局，第5局乙胜。 (概念性强，充满思辨性，量化突出，立足基础) 例4：无限项数列 的前n项和为 ， 证明： 是等比数列的充要条件是

16、 . 证明：（充分性）若 ， ， a nn s )x .x(yxs n n 10 1y a n 1y 1 n n xs 1 11 xsa )x(x)x()x(ssa nnn nnn 111 1 11 x x )x( x a a 1 1 1 2 时， 2n ， 当 x )x(x )x(x a a n n n n 1 1 1 1 a n 是以x为公比的等比数列。 （必要性）若 为等比数列a n yxsa 11 2n )x(x)yx()yx(ssa nnn nnn 1 1 1 时， 该等比数列的公比是x )x( x )x(x a a yx )x( x a a 1 11 2 2 3 1 2 ， x y

17、x )x( x 1 110y,x .x ，且 。 由 （思辨性，立足基础)n(ssa nnn 2 11 的应用 解决数列问题的基本思路是：解决数列问题的基本思路是： （1 1）判断所要求研究的数列是否为特）判断所要求研究的数列是否为特 殊数列：等差数列或等比数列，如是，殊数列：等差数列或等比数列，如是， 用公式和性质解决用公式和性质解决. . （2 2）如果不是等差、等比数列，要么）如果不是等差、等比数列，要么 转化为等差数列或等比数列，要么寻转化为等差数列或等比数列，要么寻 找其它方法找其它方法. . （20062006，北京卷，北京卷 7 7） 4710310 ( )22222() n f

18、 nnn 则则 ( )f n 分析要点：分析要点： （1）不是先看这个和的最后一项如何，而应通）不是先看这个和的最后一项如何，而应通 过这个和，把相关的数列的属性做一判断过这个和，把相关的数列的属性做一判断. (2)如果不是等差、等比数列，那么，再研究如果不是等差、等比数列，那么，再研究 它的通项的特征，寻求方法它的通项的特征，寻求方法. 4710310 ( )22222() n f nnn ( )f n 则则 （2005，天津卷），天津卷）已知已知 ： 1221 (0,0) nnnnn n uaabababbnn ab 求 1 lim n n n u u 分析要点分析要点: 1.判断是否为特

19、殊数列判断是否为特殊数列? 2.选用公式选用公式 1 1 (q=1) (1) (q1) 1 n n na s aq q 难点：难点：是否讨论是否讨论q？ 当a=b时， 1 1 (1), nn nn una una 1 111 ( ) 1 nn nn n b a ab a u b ab a 1 nn n ab u ab 1 1 11 limlim n n n nn n naa nu a unan 当ab时， 11 1 nn n nn n uab uab 以下分以下分a ab,ab,a b两种情况讨论： b q a 设 当q1时， 当q1时， 1 lim n n n u u 1 lim n n n

20、 u u =a =b （q1） 研究函数研究函数 使用函数使用函数 要掌握研究一个函数的基本方法要掌握研究一个函数的基本方法. 例5：作函数 的图象（近年 没考作图） 分析：描点作图可能不能表达出全局特性， 从研究该函数性质入手，用性质指导 作图 )x( x y 2 1 11 1 2 1 2 )x()x( x y 分析：归结到作函数 的图像， 函数 图像平移一个单位后就可得 到函数 的图像。函数 的图 像也不能上来就描点，先看性质，因为函数 给定后，其性质其图像是相辅相成的两个侧 面，对立统一，互相制约。 1 1 2 x y 11 1 2 )x( y 1 1 2 x y 1 1 2 x y 分

21、析性质指导作图， 函数 是偶函数，图像关于y轴对称； 图像过（0，1）点； 定义域 条件。定义域条件对作图有什 么影响呢？ 这将是函数图像不可碰到 的线（警戒线） 时，函数 是减函数， 。 时，函数 是减函数， 。 1 1 2 x y 1x 1x ),(x10 1 1 2 x y1y ),(x 1 1 1 2 x y0y 时， 时， 。 时， 因为偶函数左侧图像可根据y轴右侧对称画 出来，但这还不够，还应该有一种趋势分 析，设想 时， 的分母就非 常大，y就和0很接近，但y是正的。 当 ，y是一个分母很小的正数的 倒数，同理 时， 。这样就可 作出函数图像 x。00y,y 11x ,xy 11

22、x ,xy x 1 1 2 x y 11x ,x 11x ,xy 函数 图像 1 1 2 x y )x( x y 2 1 函数的图象如图 体现（性质、图像是相辅相成，互相制约） 注：研究函数主要是研究函数的特征，注：研究函数主要是研究函数的特征， 而函数特征可以直观地用函数的图象显示而函数特征可以直观地用函数的图象显示 出来；反之，借助函数的特征，也可以知出来；反之，借助函数的特征，也可以知 道我们的作图道我们的作图.对作图有帮助的性质主要有：对作图有帮助的性质主要有： 奇偶性、单调性、周期性、特殊点出的函奇偶性、单调性、周期性、特殊点出的函 数值、渐近线、凸凹性、以及定义域等数值、渐近线、凸

23、凹性、以及定义域等. 五、五、 考纲变化实例解释考纲变化实例解释 1、适当增加开放性的试题数量，鼓励有、适当增加开放性的试题数量，鼓励有 创造性答案，命题注重知识的网络化，创造性答案，命题注重知识的网络化， 不刻意追求知识的覆盖面。不刻意追求知识的覆盖面。 例例1 (2007年上海春季)求出一个数学问题 的正确结论后，将其作为条件之一，提 出与原来问题有关的新问题，我们把它 称为原来问题的一个“逆向”问题。 例如，原来问题是“若正四棱锥底面边 长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体 积”.求出体积后，它的一个“逆向”问 题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体 积为，求侧棱长”；也可以是“若正四 棱

24、锥的体积为，求所有侧面面积之和的 最小值”。 例2（07年国统卷）年国统卷） 理科数学（宁夏）理科数学（宁夏） 8已知某个几何体的三视 图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm）， 可得这个几何体的体积是（） 3 4000 cm 3 3 8000 cm 3 3 2000cm 3 4000cm 20 20 正视图 20 侧视图 10 10 20 俯视图 本题考查了空间想象能力，由三视图不 难看出该几何体是一边长20cm的正方形 为底面的四棱锥。s-abcd，sa=sb， sc=sd，面scd垂直面abcd，该棱锥的 高为20cm,容易求出体积： 故选b )( 3 8000 2020 3 1 32

25、cmv 2、 在知识要求中，增加了知识相关背景在知识要求中，增加了知识相关背景 的认识，要求学生学习数学知识的同时，的认识，要求学生学习数学知识的同时， 应了解知识的背景，如导数概念的某些应了解知识的背景，如导数概念的某些 背景（如瞬时速度，加速度，平滑曲线背景（如瞬时速度，加速度，平滑曲线 的切线等），认识到数学知识来源于生的切线等），认识到数学知识来源于生 活实际。活实际。 3、对学生数学思维及运算能力的、对学生数学思维及运算能力的 要求，相应有所提高。要求，相应有所提高。 4、开放性试题是历年高考命题追求的一个、开放性试题是历年高考命题追求的一个 方向，只不过是，作为规模比较大高考，方向

26、，只不过是，作为规模比较大高考， 其开放度不可以太大。一般有结论开放其开放度不可以太大。一般有结论开放 型、条件开放型，解答开放型等。型、条件开放型，解答开放型等。 六、对函数思想的重点考查六、对函数思想的重点考查 例例 函数 对一切 ，满足 且其图像关于 成中心对称，给出两个 命题：（1） 是偶函数； （2） 的图像关于直线 对称 ( )f x xr 3 ()( ) 2 f xf x 3 (,0) 4 ( )yf x ( )yf x 3 2 x 3 ()( ) 2 f xf x 3 2 思考： 两个自变量相差 时，函数值互为相反数；(性质一) 思考： ( )yf x 3 (,0) 4 的图像

27、关于成中心对称， 3 2 两个自变量的和等于时函数值互为相反数 (性质二) 例例.函数 恒过定点a，若点a在直线 上，求 log (3) 1 (0,1) a yxaa 10mxny 12 mn 的最小值 (mn0)。 思考：(1)恒过定点a，这里“恒”的含义是什么？ 10mxny 21, , ,0. mn m n m n 上 (2)点a在直线 都是正数； 1 1200 2 nmm （3）求 12 mn 的最小值， 可见,m n， 都是变量， ,m n是的二元函数； （4）化为一元，函数 2 121 1 22mmmm 2 ( )2,g mmm 1 0 2 m 设定义域 ， 易知 1 4 m ，

28、max 1 ( ) 8 g m时， 11 , 42 mn 12 mn 时，的最小值是8. 例例.设 是二次函数，若 的值域是 ，则 的值域 2 | 1, ( ) ,| 0. xx f x x x ( )g x ( )f g x0.)( )g x 是( ) a. (, 11,) b. (, 10,) 0,)1,)c. d. 思维过程：把 看成自变量，根据图形 解不等式.已知，已知 ， ( )g x ( )0f g x( )0g x ( )1g x 则 ， 与只能取其一，则选c 先看第一个问题：要求先看第一个问题：要求k的范围，就的范围，就 先分析约束先分析约束k的几何特征是什么？的几何特征是什么

29、？ 几何特征几何特征：是直线的斜率，直线与曲：是直线的斜率，直线与曲 线线c交于交于a，b两点两点. 将其代数化：将其代数化： 注：对于参数的取值注：对于参数的取值 范围问题，要引导学范围问题，要引导学 生能从几何特征的角生能从几何特征的角 度去分析参数变化的度去分析参数变化的 原因，谁是自变量，原因，谁是自变量， 实际是函数问题，要实际是函数问题，要 让学生学会用函数的让学生学会用函数的 观点分析这类问题观点分析这类问题. 七、七、 以空间图形为载体的轨迹以空间图形为载体的轨迹 问题分析问题分析 近几年的高考数学试题，设置了一些数学学科近几年的高考数学试题，设置了一些数学学科 内的综合题，即所谓的内的综合题，即所谓的“在知识网络交汇点处在知识网络交汇点处 设计试题设计试题”. 以空间图形为载体的轨迹问题正以空间图形为载体的轨迹问题正 是在这种背景下登场的是在这种背景下登场的.此类问题将平面几何，此类问题将平面几何， 立体几何，解析几何巧妙而自然地交汇在一起，立体几何，解析几何巧妙而自然地交汇在一起， 涵盖的知识点多，数学思想和方法考查充分涵盖的知识点多，数学思想和方法考查充分,解解 答起来颇感困难答起来颇感困难. 1.(2006,1.(2006,北京卷