自动控制原理二阶系统的动态性能

1、1 单位阶跃响应单位阶跃响应极点位置极点位置特征根特征根阻尼系数阻尼系数 单调上升两个互异负实根 单调上升一对负实重根 衰减振荡 一对共轭复根(左 半平面） 等幅周期振荡一对共轭虚根 无阻尼, 0 n js 2,1 欠阻尼, 1o 2 2, 1 1 nn js 临界阻尼，1 )( 2, 1 重根 n s 过阻尼，11 2 2, 1 nn s 典型二阶系统响应特性的小结典型二阶系统响应特性的小结 1.极点位置与阶跃响应形式的关系极点位置与阶跃响应形式的关系 2 =0 =0.3 =1 =2 =0 01 =1 =2 10 =0.05 =-1 =1 阻尼系数、阻尼角与最大超调量的关系阻尼系数、阻尼角与

2、最大超调量的关系 =cos-1 d % =cos-1 d % 0.184.2672.90.6946.375 0.278.4652.70.745.574.6 0.372.5437.230.707454.3 0.466.4225.380.7838.742 0.56016.30.836.871.5 0.653.139.840.925.840.15 极点位置与特征参数极点位置与特征参数 、 n及性能指标及性能指标的关系的关系 %100% 2 1 de 2 1 100%100% n n ctg ee 4 n是极点到原点的直线距离，距离越大振荡频率越高。是极点到原点的直线距离，距离越大振荡频率越高。 2

3、1 4 1 p 2 p 3 p 1 p 2 p 3 p 极点距虚轴的距离与系统的调节时间成反比极点距虚轴的距离与系统的调节时间成反比(00.8) 对于临界阻尼和过阻尼时，对于临界阻尼和过阻尼时， 此规律也存在。此规律也存在。 -1-2-3-40 时当 时当 5 2 , 3 , 4 n n s t ts=4 ts=2ts=1 【例例3-5】求如下随动系统的特征参数求如下随动系统的特征参数 ,分析与性能指标的关系。分析与性能指标的关系。 n , fu au + n - 电压 放大器 eu + - + - 功 放 若假设电枢电感若假设电枢电感 la=0，则，则 ta=0，方程为，方程为 mua d

4、tk u dt 2 2 ammua dd t ttk u dtdt 当只考虑当只考虑 ua时，电动机的微分方程方程为时，电动机的微分方程方程为 电动机传递函数电动机传递函数为为 ( ) ( )(1) u am ks uss t s 电压放大器和功放的传递函数分别为电压放大器和功放的传递函数分别为 k1和和 k2 ，可得方框图，可得方框图 dt d 2 2 mua dd tk u dtdt 因因 所以所以 y k1k2 (1) u m k s t s r ksts k s 2 )( t t k n n 1 2 2 2 2 2 2 nn n ss t k s t s t k 1 2 kt t k

5、n 2 1 设设 12 , um kk k k tt )(sr 12 (1) u m k k k s t s ( )y sy k1k2 (1) u m k s t s r ，则闭环传递函数为，则闭环传递函数为： 8 1 1、t 不变，不变，k 下面分析瞬态性能指标和系统参数之间的关系下面分析瞬态性能指标和系统参数之间的关系(假设假设 ):01 n。 d % n d n =1/2t不变，不变，ts 几乎不变几乎不变 总之，总之，k 增大振荡加剧；增大振荡加剧； 2 2、k 不变，不变，t n。 d % n d n 1/2t ts 实际系统中实际系统中t 往往不能变，往往不能变， 要使系统性能好，

6、则要使系统性能好，则k，这对控，这对控 制精度不利。制精度不利。 1 2 n k t kt 二阶系统超调产生过程二阶系统超调产生过程 1.0,t1误差信号为误差信号为正正，产生，产生正向正向修正作用，修正作用， 以使误差减小，但因系统阻尼系数小，正以使误差减小，但因系统阻尼系数小，正 向速度大，造成响应出现正向超调。向速度大，造成响应出现正向超调。 2.t1,t2误差信号为误差信号为负负，产生，产生反向反向修正作用，修正作用， 但开始反向修正作用不够大，经过一段时但开始反向修正作用不够大，经过一段时 间才使正向速度为零，此时输出达到最大间才使正向速度为零，此时输出达到最大 值。值。 3.t2,

7、t3误差信号为误差信号为负负，此时，此时反向反向修正作用修正作用 大，使输出返回过程中又穿过稳态值，出大，使输出返回过程中又穿过稳态值，出 现反向超调。现反向超调。 4.t3,t4误差信号为误差信号为正正，产生，产生正向正向修正作用，修正作用， 但开始正向修正作用不够大，经过一段时但开始正向修正作用不够大，经过一段时 间才使反向速度为零，此时输出达到反向间才使反向速度为零，此时输出达到反向 最大值最大值。 二阶系统超调产生原因二阶系统超调产生原因 1、0,t1 正向修正作用太大，特别在靠近正向修正作用太大，特别在靠近t1 点时。点时。 2、t1,t2 反向修正作用不足。反向修正作用不足。 减小

8、二阶系统超调的思路减小二阶系统超调的思路 1、0,t1 减小正向修正作用。附加与原误减小正向修正作用。附加与原误 差信号相反的信号。差信号相反的信号。 2、t1,t2 加大反向修正作用。附加与原误加大反向修正作用。附加与原误 差信号同向的信号。差信号同向的信号。 3、t2,t3减小反向修正作用。附加与原误差减小反向修正作用。附加与原误差 信号相反的信号。信号相反的信号。 4、t3,t4 加大正向修正作用。附加与原误加大正向修正作用。附加与原误 差信号同向的信号。差信号同向的信号。 即在即在0,t2 内附加一个负信号，在内附加一个负信号，在t2,t4 内附加一个正信号。内附加一个正信号。 减去输

9、出的微分减去输出的微分或或加上误差的微分加上误差的微分都具有都具有 这种效果。这种效果。 a. 输出量的速度反馈控制输出量的速度反馈控制 )2( 2 n n ss s - )(sr( )y s )2( 2 n n ss s +- )(sr( )y sb. 误差的比例误差的比例+微分控制微分控制 将输出量的速度信号将输出量的速度信号y(ty(t) )采用负采用负 反馈形式反馈到输入端并与误差信号反馈形式反馈到输入端并与误差信号 e(te(t) )比较，构成一个内反馈回路。简比较，构成一个内反馈回路。简 称速度反馈。称速度反馈。 以误差信号以误差信号e(t)与误差信号的微分与误差信号的微分 信号信

10、号e (t)的和产生控制作用。简称的和产生控制作用。简称pdpd 控制。又称微分顺馈。控制。又称微分顺馈。 为了改善系统性能而改变系统的结构、参数或附加具有一定功能的环为了改善系统性能而改变系统的结构、参数或附加具有一定功能的环 节的方法称为节的方法称为对系统进行校正对系统进行校正。附加环节称为。附加环节称为校正环节校正环节。速度反馈和微分速度反馈和微分 顺馈是较常用的校正方法。顺馈是较常用的校正方法。 3.3.4 改善二阶系统响应特性的措施改善二阶系统响应特性的措施 )2( 2 n n ss s1 - )(sr ( )y s a. 输出量的速度反馈控制输出量的速度反馈控制 )2( 2 n n

11、 ss s - )(sr( )y s 222 222 )2( )2( )1 ( 1 )2( )( nnn n n n n n ss ss s ss s 与典型二阶系统的标准形式与典型二阶系统的标准形式 比较比较 22 2 2 )( nn n ss s 不改变无阻尼振荡频率不改变无阻尼振荡频率 n nt 2 等效阻尼系数为等效阻尼系数为 由于由于 ，即等效阻尼系数加大，将使超调量，即等效阻尼系数加大，将使超调量%和调节时间和调节时间t ts s变小。变小。 t )2( 2 n n ss s +- )(sr( )y s b. b. 误差的比例误差的比例+ +微分控制微分控制 )2( 2 n n s

12、s s1 - )(sr( )y s 222 2 )2 ( )1 ( )( nnn n ss s s 与典型二阶系统的标准形式与典型二阶系统的标准形式 22 2 2 )( nn n ss s 1 1、 不改变无阻尼振荡频率不改变无阻尼振荡频率 n nd 2 2、等效阻尼系数为等效阻尼系数为 由于由于 ，即等效阻尼系数加大，将使超调量，即等效阻尼系数加大，将使超调量%和调节时间和调节时间t ts s变小。变小。 d 1 z3、闭环传递函数有零点闭环传递函数有零点 ，将会给系统带来影响。，将会给系统带来影响。 比较比较 具有零点的二阶系统具有零点的二阶系统 的单位阶跃响应为：的单位阶跃响应为： 其闭

13、环传递函数为：其闭环传递函数为： ，零点为：，零点为： 22 2 2 )1 ( )( nn n ss s s 1 z 具有零点的二阶系统比典型的二阶系统多一个零点，具有零点的二阶系统比典型的二阶系统多一个零点，( 和和 不变不变)。 n 2 22 (1)1 ( )( ) ( ) 2 n nn s y ss r s sss 22 2 22 2 2 1 2 nn n nn n sssss 12 ( )( )y sy s ) 10( 零极点分布图零极点分布图 1 p 2 p 2 1 n j 2 1 n j z n l p 具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统分析 2 1 22 1 ( ) 2 n

14、 nn ys sss 2 2 22 ( ) 2 n nn ys ss 21 ( )( )ysy ss 11 2 ( )( )1 ( ) dy tdy t yt dtzdt 1 1 ( )1 ( )( ) dy t y ty t zdt 由上图可看出：由上图可看出： 使得使得 比比 响应迅速且有响应迅速且有较大超调量较大超调量。 2( ) y t 1( ) y t( )y t 注意：更一般的比例微分控制如教材注意：更一般的比例微分控制如教材p118图图3.3.12所示所示 即比例微分控制，通常是在系统的前向通道上加入比例微分控制即比例微分控制，通常是在系统的前向通道上加入比例微分控制 环节，该环

15、节由比例环节和微分环节并联而成，其传递函数为：环节，该环节由比例环节和微分环节并联而成，其传递函数为： ( ) cpd g skk s 式中，和式中，和kp和和kd分别称为比例和微分系数。分别称为比例和微分系数。 此时具有比例微分校正的二阶系统的闭环传递函数为此时具有比例微分校正的二阶系统的闭环传递函数为: : 2 222 () ( ) ( ) ( )(2) npd nndnp kk s y s s r ssksk 改写为改写为: : 2 22 ()1 ( ) 2 kd kdkdkd sz s z ss 2 nd kdpnkd k k ，, p d k z k 其中其中: : )2( 2 n

16、n ss s1 - )(sr( )y s s1 c. c. 比例比例+ +微分控制与速度反馈控制的关系微分控制与速度反馈控制的关系 )2( 2 n n ss s1 - )(sr ( )y s 比例比例+ +微分控制微分控制相当于分别对输入信号和反馈信号进行比例相当于分别对输入信号和反馈信号进行比例+ +微分。其微分。其 中对反馈信号进行比例中对反馈信号进行比例+ +微分相当于速度反馈。所以微分相当于速度反馈。所以误差的比例误差的比例+ +微分控制相微分控制相 当于输出的速度反馈构成的闭环系统再串联比例当于输出的速度反馈构成的闭环系统再串联比例+ +微分环节微分环节。因此可以将其。因此可以将其

17、分别讨论。分别讨论。 附加阻尼来源附加阻尼来源：比例微分控制的阻尼作用产生于系统的输入端误差信：比例微分控制的阻尼作用产生于系统的输入端误差信 号的速度，而速度反馈控制的阻尼作用产生于系统的输出端响应的速度，号的速度，而速度反馈控制的阻尼作用产生于系统的输出端响应的速度， 因此对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的的稳态误差。因此对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的的稳态误差。 使用环境使用环境：比例微分控制对噪声有明显的放大作用，当系统输入端噪：比例微分控制对噪声有明显的放大作用，当系统输入端噪 声严重时，一般不宜选用比例微分控制。同时微分器的输入信号为系统声严重时，一

18、般不宜选用比例微分控制。同时微分器的输入信号为系统 的误差信号，其能量水平低，需要相当大的放大作用，为了不明显恶化的误差信号，其能量水平低，需要相当大的放大作用，为了不明显恶化 信噪比，要求选用高质量的放大器；而速度反馈控制对系统输入端噪声信噪比，要求选用高质量的放大器；而速度反馈控制对系统输入端噪声 有滤波作用，同时测速发电机的输入信号能量水平较高，因此对系统组有滤波作用，同时测速发电机的输入信号能量水平较高，因此对系统组 成元件没有过高的质量要求，使用场合比较广泛。成元件没有过高的质量要求，使用场合比较广泛。 比例微分控制与速度反馈控制的比较比例微分控制与速度反馈控制的比较 对开环增益和自

19、然频率的影响对开环增益和自然频率的影响：比例微分控制对系统的开环增益和自比例微分控制对系统的开环增益和自 然频率均无影响；速度反馈控制虽不影响自然频率，但却会降低开环增然频率均无影响；速度反馈控制虽不影响自然频率，但却会降低开环增 益。因此，对于确定的常值稳态误差，速度反馈控制要求有较大的开环益。因此，对于确定的常值稳态误差，速度反馈控制要求有较大的开环 增益。开环增益的加大，必然导致系统自然频率增大，在系统存在高频增益。开环增益的加大，必然导致系统自然频率增大，在系统存在高频 噪声时，可能引起系统共振。噪声时，可能引起系统共振。 对动态系统的影响对动态系统的影响：比例微分控制相当于在系统中加

20、入实零点，可以比例微分控制相当于在系统中加入实零点，可以 加快上升时间。在相同阻尼比的条件下，比例微分控制系统的超调量会加快上升时间。在相同阻尼比的条件下，比例微分控制系统的超调量会 大于速度反馈控制系统的超调量。大于速度反馈控制系统的超调量。 例：未校正闭环传函例：未校正闭环传函 48 . 0 4 )( 2 ss s 88 . 2 82 )( 2 ss s s 比例比例+微分校正后闭环微分校正后闭环 传函传函 显然，引入比例微分校正后，系统的响应速度加快，超显然，引入比例微分校正后，系统的响应速度加快，超 调量和调节时间减小。调量和调节时间减小。 2 222 () ( ) ( ) ( )(2

21、) npd nndnp kk s y s s r ssksk 例：未校正闭环传函例：未校正闭环传函 48 . 0 4 )( 2 ss s 48 . 2 4 )( 2 ss s 速度反馈后闭环传函速度反馈后闭环传函 可以减小系统的超调量和调节时间，但有时会增大系统的可以减小系统的超调量和调节时间，但有时会增大系统的 上升时间。上升时间。 %52.7% 10(2) s t d 秒 )2(857. 2%6 . 4% 27 . 0 秒， ， s n td )(sr ) 1(tss k ( )y s 解：25.0 25.0162 1 2 1 ,8 25.0 16 1 kt s t k n 0.5038，

22、 d 解得,16.0%,16% 2 1 e 当t不变时，t=0.25，9388. 3 5038. 025. 04 1 4 1 22 t k %44%100%100% 2 1 de )( ,5 .1 25.08 33 )( ,2 25.08 44 5 2 当 当 s s t n n s 例例3-6：如图所示系统，：如图所示系统， 试求：试求： 和和 ; 和和 若要求若要求 时，当时，当t不变时不变时k=? stsk25. 0,16 1 %d %16% d n s t 解解：系统的闭环传递函数为：系统的闭环传递函数为： 2 ( ) 1 k t s kk ss tt 例例3-7：上例中，用速度反馈改善系统的性能。如下图所示。为使：上例中，用速度反馈改善系统的性能。如下图所示。为使 ， 求求 的值。并计算加入速度反馈后的瞬态指标。的值。并计算加入速度反馈后的瞬态指标。 5 . 0 1 ) 1(tss k s - )(sr( )y s 2 1 11 1 11 2 2 n n kk tt kk