圆 综合练习题

1、圆综合练习题一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明(证切线为主)和计算(线段长、 三角函数值、最值等)1.如图，BD为O O的直径，AC为弦，AB=AC , AD交BC于E ,AE =2 , ED =4 .(1) 求证： ABE sA aDB，并求 AB的长；(2) 延长DB到F，使BF = BO，连接FA，判断直线 FA与O O的位 置关系，并说明理由.面积、2.已知：如图，以等边三角形 ABC-边AB为直径的O O与边AC BC分别交于点D E,过点D作DH BC垂足为F.(1)求证：DF为O O的切线;(2)若等边三角形 ABC的边长为4,求DF的长;(3)求图中阴影部分的面积.B3、如图

2、，已知圆 O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交 CF 丄 AD .(1 )请证明：E是OB的中点；(2)若 AB =8, 求 CD 的长.AD于点F，且4.如图，AB是OO的直径，点 C在O O上,/ BAC= 60 , P是OB上一点, 线与AC的延长线交于点 Q连结OC过点C作CD丄OC交PQ于点D.(1)求证： CD(是等腰三角形;(2)如果 CDQRA COB 求 BPPO的值.过P作AB的垂5.已知：如图，BD是半圆O的直径，A是BD延长线上的一点，BCIAE交AE的延长线于点C交半圆O于点E,且E为DF的中点.(1)求证：AC是半圆O的切线;(2)若 AD =6, AE

3、 =6 J2，求 BC 的长.D6.如图， ABC内接于O 0,过点A的直线交O 0于点P，交BC的延长线于点 D，且AB=AP- AD(1)求证：AB = AC ;0经过点D(1) 求证：BC是O0切线；(2) 若 BD=5, DC=3,求 AC的长.&如图,AB是OO的直径，CD是O 0的一条弦，且 CD! AB于E,连结AC求证：/ ACOMBCD若BE=2, CD=8求AB和AC的长.9.如图，已知BC为O 0的直径，点A、F在O 0上, AD丄BC ,垂足为 于 E，且 AE = BE .(1)求证：AB = AF ;=3 , AB =4J5，求 AD 的长.5(2)如果 sinNF

4、BC10.如图，已知直径与等边0与圆0相交于点过圆心(1)求证：DE LJ AC ；11.如图，在 ABC中,/MBC的高相等的圆 O分别与边AB BC相切于点D E，边AC若MBC的边长为(1)请你判断直线 PQ与O O的位置关系，并说明理由;(2)若/ A= 30, AP=2J3，求O O半径的长.C是OB勺中点12如图，已知点 A是O O上一点，直线 MN过点A点B是MN上的另一点,1点，AC = OB ,2若点P是O O上的一个动点，且/ OBA =30：, AB=2J3时，求 APC的面积的最大值.13.如图，等腰 ABC中, ABAO13, BC=10，以AC为直径作O O交 BC

5、于点D,交AB于点G过点D作O O的切线交 AB于点E交AC 的延长线与点F.A(1) 求证：EF丄AB(2) 求cos/ F的值.AF14.(应用性问题)已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在 加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30的直角三角尺按图示的方式测量.(1) 若O 0分别与AE AF交于点B、C,且AB=AC若O 0与AF相切. 求证：O 0与AE相切；(2) 在满足(1)的情况下，当B、C分别为AE AF的三分之一点时，且AF=3,求BC的弧长.第13题图SQ 0二、圆与相似综合15.已知：如图，O 0的内接 ABC中,/ BAC=45 , / ABC=15, AD/

6、OC并 交BC的延长线于 D, OC交AB于E.(1) 求/ D的度数；(2) 求证：AC2 =AD CE ;(3 )求BC的值.CD16如图，O O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE丄AB ,A在BC上取一点D，分别作直线 CD、ED，交直线 AB于点F、求NCOA和N FDM的度数；求证：AFDM S COM ;如图，若将垂足 G改取为半径OB上任意一点，点 D改取 在EBh仍作直线CD、ED，分别交直线 AB于点F、M . 试判断：此时是否仍有 AFDM S COM成立？若成立请证明你 的结论；若不成立，请说明理由。图1Ma三、圆与三角函数综合17.已知O 0过点D（4, 3）,点

7、H与点D关于y轴对称, 过H作OO的切线交y轴于点A （如图1）。求OO半径；求sin ZHAO的值；如图2,设OO与y轴正半轴交点 P,段OP上的动点（与P点不重合），联结并延长点E、F是线DE DF交OOAD(4,3)H于点B、C,直线BC交y轴于点G若A def是以EF为底的等腰三角形，试探索 sinNCGO的大小怎样变化？请说 明理由。O图1四、圆与二次函数（或坐标系）综合18、如图，OM的圆心在X轴上，与坐标轴交于 A（ 0, J3 ）、yApB (- 1, 0),抛物线yVx2 +bx + c经过A B两点.3D(4,3)F图2EO(1)求抛物线的函数解析式;求/ ACB的大小；

8、写出A, B两点的坐标； 试确定此抛物线的解析式； 在该抛物线上是否存在一点D,使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.(1)求b, c的值及二次函数顶点 F的坐标;1的o O1与y = x2 +bx +c的图象经过Ay2 .将二次函数 y ：= -X2 +bx+c的图象先向下平移 1个单位,-2-1 O-1再向左平移2个单位，设平移后图象的顶点为C，在经过点B-2-3和点D (0, -3 )的直线丨上是否存在一点 P，使 PAC的周长最小,19.如图，在平面直角坐标系中，O是原点，以点 C (1, 1 )为圆心，2为半径作圆，交 X轴于A, B两点，开口向下的

9、抛物线经过点A B,且其顶点P在O C上.(1)(2)(3)(4)20.(以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题) 如图，半径为x轴交于 A、B两点，圆心 O,的坐标为(2 , 0)，二次函数若存在，求出点 P的坐标；若不存在,请说明理由五、以圆为背景的探究性问题21.下图中，图(1)是一个扇形 OAB 第一次划分：如图(2)所示，以将其作如下划分：OA的一半OA的长为半径画弧交OA于点A1,交OB于点B,再作/ AOB的平分线，交 AB于点C,交AB1于点C1,得到扇形的总数为6个，分别为： 扇形OAB扇形OAC扇形 OCB扇形 OAB、扇形 OAC、扇形 OCB ;第二次划分：如图(3)所示

10、，在扇形 OCB1中， 按上述划分方式继续划分,即以OC的一半OA的长为半径画弧交 OC于点A,交OB于点B2,再作/BOC的平分线，交B1C1于点D，交A2B2于点D,可以得到扇形的总数为 11 个;第三次划分：如图(4)所示，按上述划分方式继续划分; 依次划分下去.划分次数扇形总平数1631134 * * hnB两点，其顶点为F .(1)根据题意，完成右边的表格；根据右边的表格，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为 2008个？为什么？ 若图（1）中的扇形的圆心角/ AOB=m，且扇形的半径 OA的长为R.我们把图（2）第一次划分的图形中，扇形 OA1C1 （或扇形OGR ）称为第

11、一次划分的最小扇形，其面积记为Si;把图（3）第二次划分的最小扇形面积记为S2；,把第n次划分的最小扇形面积记为S.求蛍的值.SnA22圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作N AOBLI AB （如图）;圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和 的一半”，1记作NAOB L （ AB +CD）（如图）请回答下列问题:2（1）如图，猜测NAPB与AB、CD有怎样的等量关系，并说明理由;（2）如图，猜测 NAPB与AB、CD有怎样的等量关系,并说明理由“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）（提示:Br的O O圆心，O O与O O交于M N两点

12、.23.已知：半径为 R的O O 经过半径为（1）如图1,连接OO交OO于点C,过点C作OO的切线交O O于点A、B,求oaOb 的值；（2）若点C为OO上一动点. 当点C运动到O O内时，如图2，过点C作OO的切线交O O于A、B两点请你探 索oAJob的值与（1）中的结论相比较有无变化？并说明你的理由； 当点运动到O O外时，过点C作OO的切线，若能交O O于A、B两点请你在图3 中画出符合题意的图形，并探索 oaUob的值（只写出oAJob的值，不必证明）.图1S3北京市丰台区2015-2016学年度第一学期第24章圆综合练习题一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明(证切线为主)三角函数值

13、、最值等)初三数学和计算(线段长、面积、1.如图，BD 为OO的直径，AC 为弦，AB=AC , AD 交 BC 于 E , AE = 2 , ED=4 .(1) 求证： ABE sA aDB，并求 AB的长；(2) 延长DB到F，使BF =BO，连接FA，判断直线由.FA与OO的位置关系，并说明理1.解：AB = AC，二 / ABC =/ C . 7/ C =/ D，二 / ABC 又；/ BAE =/ DAB ,A B A EA d a . B/. AB2 = ADLAE =(AE + ED AE =(2 + 4 $ 2 = 12/. ABEADB .”AB =23 (舍负).(2)直线

14、FA与LI O相切.A连接OA . 7 BD为LI O的直径,/. / BAD =90、在RUABD中，由勾股定理，得BD = JaB2 +AD2=(12+(2+肩=44 = 443 WBOBD十朋=2后.Tab =273，二 bf =bo = abNF =NBAF .（或”. BF =BO =AB =OA，上AOB是等边三角形,”.NOBA =NOAB =60，厶 F =NBAF =30 .）二 / oaf = 90. . OA 丄 AF .又T点a在圆上，二直线fa与LI o相切.2.已知：如图，以等边三角形 ABC边AB为直径的OO与边AC BC分别交于点D、E,过点D作DH BC垂足为

15、F.(1)求证：DF为O O的切线;(2)若等边三角形 ABC的边长为4,求DF的长;(3)求图中阴影部分的面积.B2.( 1)证明：连接DO心ABC是等边三角形 ，/ C=60，/ A=60，/ OAfOD A OAD是等边三角形./ ADO=60DF! BC , / CDF=30/ FDO180 - / ADO/ CDF 90 . DF为O O 的切线.1（2） AOAD 是等边三角形， C=AD=AC=-AB=2.2RtACDF 中，/ CDF=30 ， CF=-C=1. DF= JcD2 2（3）连接OE由（2）同理可知E为CB中点， CE = 2./ CF =1 , EF =1.-

16、S直角梯形 FDOE =2（EF +0D） QF =晋_60兀咒22S扇形doe =3602=兀3 S直角梯形FDOE S扇形doe3J323、如图，已知圆 O的直径AB垂直于弦CD于点E ,连接CO并延长交 ad于点 CF 丄 AD .(1 )请证明：E是OB的中点；，且(2)若 AB =8, 求 CD 的长.3、(1)证明：连接AC，如图TCF丄AD , AE丄CD且CF, AE过圆心O”AC = AD , AC = CD，二 ACD 是等边三角形./.厶 FCD = 301 1在Rt COE中，OE匕0cr oe=2ob.点E为OB的中点(2)解：在 RtAOCE 中；AB =8OC1

17、AB =42又：BE =OE，二 OE =2二 CE = JOC2 -OE2 = J16-4 =273/. CD =2CE =4734.如图，AB是OO的直径，点C在O O上,/线与AC的延长线交于点 Q连结OC过点C作CD丄OC交PQ于点BAG 60 : P 是 OB上一点,(1)求证： CD(是等腰三角形;如果 CDQRA COB求BP PO的值.4.(1)证明：由已知得/ Q=30,/ CD! OC /ACB90 ，/ ABC30,BCO/ ABC30 .DCQ/ BCO30,过P作AB的垂KI)A / DCQ/ Q, CDQi等腰三角形.解：设O O的半径为1,则AB=2, O(=1,

18、 A(=丄AB=1 ,2BC=J3 .等腰三角形 CDQf等腰三角形 CO雀等， COBO73 . AQAOCQ1+7/3 , AP=-A2 2=2PQAP BP=AB- AP=2-1 十3rG2/. BP： PO 3 .5.已知：如图，BD是半圆O的直径，A是BD延长线上的一点，BCIAE交AE的延长线于点C交半圆O于点E,且E为DF的中点.(1)求证：AC是半圆O的切线;(2)若 AD =6, AE =6 J2，求 BC 的长.5.解：(1)连接OE E为DF的中点， DE/ OE =OB , NOEB =NOBE . /. EB / BCLAC / C=90 . / AEO/ C=90

19、又OE为半圆O的半径， AC是半圆O的切线.(2 )设口 O的半径为x ,=EF . NOBE =NCBE .= NCBE . OE/ BC.即 OEL AC OE 丄 AC , (x+ 6)2 -(672)2 =x2. x=3. AB =AD +OD +OB =12 .OE/ BC AOE sA ABC . 二坐AB BC93即工=上- BC =4.12 BC6.如图， ABC内接于O O,过点A的直线交OAB=AP- AD(1)求证：AB =AC ；O于点P，交BC的延长线于点 D，且(2)如果NABC =60, O O的半径为1，且P为弧AC的中点,求AD的长.6.解：(1)证明：联结B

20、P.oAB ADaB=ap- ad , =AP AB/ / BAD= PAB ABBA APB / ABO/ APB / ACB=/ APB / ABO/ ACB AB=AC.(2)由(1)知DAB=AC / ABC=60 , ABC 是等边三角形./ BAC=60 ,/ P为弧AC的中点，/ ABP=/ PAC勺/ABC=30,/ BAP=9)BP是O O的直径,BP=2,在 Rt PAB 中,由勾股定理得aB= bp 2-aP=3, AP=2 BP=1 , aB ADq =3 .AP7.如图，在 ABC中,/ C=90 , AD是/ BAC勺平分线，O是AB上一点，以OA为半径的O O经过

21、点D.(1) 求证：BC是OO切线；(2) 若 BD=5, DC=3,求 AC的长.7. ( 1)证明：如图1，连接OD/ OafOD ad平分/ BAC / ODA/ OAD / OAD/ CAD / ODA/CAD OD/ AC / ODB/0=90。 BC是O O的切线.(2)解法一：如图2，过D作DEI AB于 E / AED/0=90。又 ADAD / EAD/ CAD AEDA ACD AE=AC DE=D(=3.在Rt bed中,/ BED=90 :由勾股定理，得BE= JbD2 -DE2 =4 .设 ACX (x0),则 AE=x.在 Rt ABC中，/ 0=90* B(=BD

22、hD(=8, AB=x+4, 解得x=6. 即A0=6.解法二：如图3,延长AC到 E,使得AE=AB ADAD / EAD= / BAD AEDA ABD ED=BD=5.在Rt DCE中,/ DCE90。，由勾股定理，得CE= JdE2 -DC2 =4.在 Rt ABC中，/ AC&90, BOBD-DO8,由勾股定理，得 即aC+82=(AG4) 2.解得 A0=6.&如图,AB是OO的直径，CD是O 0的一条弦，且 CD! AB于E,求证：/ ACOMBCD若 BE=2,CD=8求AB和AC的长.8、证明:(1)连结BD, / AB是O 0的直径，CD!AB2 2 2由勾股定理，得 x

23、 +8 = (X+4).连结 AC 0C BC./ A=/ 2.又OA=OC / 仁/ A./ 2.即：/ ACOMBCD解：(2)由(1)问可知，/ A=/ 2,/ AEC= CE B. AC0A CBECE AE2 ” A 匸=. CE=BE AEbe CE又 CD=8 - CE=DE=4 AE=8 AB=1O AC=Jae2+CE2 =阿=4J5.9.如图，已知BC为O O的直径，点a、F在O O上，AD丄BC ,垂足为D , BF交AD 于 E，且 AE = BE .(1) 求证：AB = AF ;(2) 如果 sinNFBC = , AB=4j5，求 AD 的长.59解：(1)延长a

24、d与O O交于点G 直径BC丄弦AG于点D / afb=/ bae/ AE=BE - / ABE：/ bae / ABE/ AFB ABAF.(2)在 Rt EDBK sin / FB(=-EDbeAD=8x，在RtA EDB中，由勾股定理得 BD=4x. bD+aD=aB.- (4x)2 +(8x)2 =(45)2.设 ED=3x, BE=5x，贝U AE=5x , 在RtA ADB中，由勾股定理得 / ab=475，”、2 . - - x =1 (负舍).二10.如图，已知直径与等边O与圆O相交于点过圆心MBC的高相等的圆 O分别与边AB BC相切于点DF、G求证：DE LI AC ;若也

25、ABC的边长为a，求 ECG的面积.边ace,10. (1)*心ABC是等边三角形，二N B =60 , NA = 6OTAB BC是圆O的切线，D E是切点，二BD=BE:上 BDE =60 , Na =60 ,有 DE/AC.AD=8x=8 .分别连结 OD OE作EH丄AC于点HTAB BC是圆O的切线，D E是切点，O是圆心,.NADO =NOEC =90 , OD=QEAD=EC二 ADO 三 ACEO ,有 AO=OC1 a .2V圆O的直径等于 MBC的高，得半径O(=la，二CGnOC+OGa + J3 4C24a.Teh 丄 O C,NC =6ol.N COE =30 * c

26、1_1#严EHri/. S舌CG = 3 a264+ a2 = 3 + 2 石a2.3264BCA=90。，以BC为直径的O11.如图，在 ABC中,/(1)请你判断直线 PQ与O O的位置关系，并说明理由;O交AB于点(2)若/ A= 30,AP=2j3，求O O半径的长.P, Q是AC的中点.PQ与O O相切.CP11、解：(1)直线连结OP/ BC是O O的直径，/ BPC= 90又 Q是 AC的中点， PQ=CQAQ. - / 3 =/ 4. / BCA=90 ,/ 2+/ 4=90 ./ / 1 = / 2 , / 1+/ 3=90 .即 / OPQ90 .直线PQ与O O相切.(2

27、) / A= 30, AP=/3 ,在 Rt APC中，可求 A(=4.在 Rt ABC中，可求 BG-J3.32 O O半径的长为 -73.312.如图，已知点 A是O O上一点，直线 MN过点A点B是MN上的另一点，点 C是OB的中1点，AC = OB ,212、解：连结OA若点P是OO上的一个动点，且/ OBA =30, AB=2j3时，求 APC勺面积的最大值.由C是 OB的中点，且 AC =-OB ,可证得/ OAB90。.2贝U / O=60. 可求得 OA=AC=过点O作OEL AC于 E,且延长EC交圆于点F.则P(F)E是 PAC勺AC边上的最大的高.在 OAE , OAf2

28、, / AOE30 ,解得oe=J3.所以 PE =2 +屈Spac =-AC ”PE =-c2x(2+73).2 2S PAC = 2 +.等腰 ABC中, AB=AC=13, BC=10，以 AC为直径作O13.如图，G过点D作O O的切线交AB于点E,交AC的延长线与点 F.(1) 求证：EF丄AB(2) 求cos/ F的值.O交BC于点D,交AB于点13.证明：(1)联结OD/ OCOD又 AB=AC/ ODC/ B/ ODC/ OCD :丄 OCD/ B OD/ ABDo.-I./ ED是O O的切线，OD是O O的半径 ODL EF A吐 EF(2)联结 AD CG/ AD是O O

29、的直径/ ADC/ AGC90/ ABL EFDE/ CG/ F=/ GCAFDBF1 ABAC D(=-BC=52Rt ADC中, AD = Jac2 -CD2 =12 AD.BCAB CG.C乍 adLbc 120ABRt CGA中,-13cos/ GC=GcAC120169 cos/16914.(应用性问题)已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用 两块大小相同，且含有 30的直角三角尺按图示的方式测量.若OO分别与AE AF交于点B C,且AB=AC若O 0与AF相切.求证：O 0与AE相切；(2)在满足(1)的情况下，当B、C分别为AE AF的三分之一点时，且A

30、F=3,求BC的弧长.14.解：(1)证明：连结OB OA OC根据题意，/ OCA90 .在 ABOW ACC中 ,AB=AC OA=OACB=O,C 所以 ABOA ACO 所以 / OCA/ OBA=90.(2) 因/ OCA/ OBA=90,贝U / BAC=120 .1又 AC = AF =1, / OAC=60 3则AE是圆的切线./ EA=/ FAG=30所以BC的长为迥3二、圆与相似综合15.已知：如图，O 0的内接 ABC中,/ BAC45,/ ABC=15线于DOC交 AB于 E(1) 求/ D的度数；(2) 求证：AC2 =AD CE ;(3 )求BC的值.CD,AD/

31、OC并交BC的延长15. (1 )解：如图3,连结OB/ OO的内接 ABC中，/ BA(=45, / BOC=2/ BAC =90 ./ OB=OC / OBC=/ OCB=45 ./ AD/ OC , / D = / OCB=45 .(2)证明： / BAC =45,/ D =45 , / BAC=/ D ./ AD/ OC , / ACE=/ DAC. ACEDAC. AC CEDA AC(3)解法一：如图4,延长BO交DA的延长线于F,连结OA ./ AD/ OC , / F=/ BOC=90 ./ / ABC=15 , / OBA=/ OBC/ ABC=30 . OA = OB ,

32、/ FOAf/ OBAh/ OAB=60 ，/ OAF=30 .AC2 =AD CE ./ AD/1=OA.2OC,. BOCsA BFD .图4BCBDBOBFBC =BOCD of解法二：作OML BA于M=A =2 , 即匹的值为2.OFCDr,可得 BM=3r , OM丄，乙MOE =30。,2 2r , BEzr , AE=，所以匹33CD设O O的半径为ME =OM ta n304 = 616.如图，O O的直径为 AB，过半径 分别作直线CD、ED，交直线AB于点求NCOA和N FDM 的度数； 求证：AFDM si COM ； 如图，若将垂足 G改取为半径CD、ED ,分别交直

33、线 AB于点F、M 若成立请证明你的结论；若不，请说明理由。OA的中点G作弦CE丄AB，在F、M .OB上任意一点，点 D改取在B .试判断：此时是否仍有AFDM a 1)0童(第 16 题)； 上，仍作直线 sACOM成立?CG = EG .16.解：(1)v AB为直径，CE 丄 AB , AC =AE ,1在 RtACOG 中， OG = OC,.N OCG=30： Z COA = 60：21 cr又 NCDE的度数 =CAE的度数 =AC的度数 =NCOA的度数=60,2 NFDM =180 -NCDE =120 .(2)证明： NCOM =180-NCOA =120： NCOM =N

34、FDM .在 RtACGM 和 RtAEGM中GM =GM ，CG=EG RtACGM 也 RUEGM 又 NDMF =NGME , i FDM si COM(3)结论仍成立.证明如下：. ZGMC =NGME.厶 OMC =NDMF .厶FDM =180 -NCDE ,又 NCDE的度数=-cAe的度数2=CA的度数=ZCOA的度数， ZFDM =180 NCOA =NCOM ./ AB为直径，CE丄AB , 在 RUCGM 和 RMEGM 中,GM =GMCG =EG RUCGM 也 RUEGM . ZGMC=NGME. AFDM COM .三、圆与三角函数综合 17.已知O O过点D（

35、4, 3），点H与点D关于y轴对称，过H作O O的切线交y轴于点A （如 图1）。求OO半径；求si nN HAO的值；如图2，设OO与y轴正半轴交点P,点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合）， 联结并延长DE DF交OO于点B C,直线BC交y轴于点G,若也DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sinNCGO的大小怎样变化？请说明理由。求抛物线的函数解析式;17(2) 如图1,联结 HD交OA于Q贝U HDL OA联结 OH,则OHIAH / HAOMOHQ sinNHAO=si门“也二他二3。OH 5(3) 如图2,设点D关于y轴的对称点为 H,联结HD交OP于Q贝U HDL OP 又

36、 DE=DF DH 平分/ BDC / CGOWOHQ BH =CH 。联结 OH 则OHL BG皿 CGOFnHQ=OQ四、圆与二次函数（或坐标系）综合18、如图，O M的圆心在 x轴上，与坐标轴交于A ( 0，73 )、B (- 1 , 0),抛物线y/3 2y 一X +bx+c经过A B两点.设抛物线的顶点为 P试判断点P与O M的位置关系，并说明理由;若O M与y轴的另一交点为 D,则由线段PA线段PD及弧ABD围成的封闭图形 PABD的面积是多少?18.解:(1) 抛物线经过点A B,(2 )由Tc,73-一b + c.3- y更x2+迪X + 73.3(x_1)2+半.33顶点P的

37、坐标为(1,在 Rt AOM中 ,MA2 mO =OA2,OA=73 ,OB=1,MA2 (MA 1) 2 =3, MA=2. MB=2, MO=1,即点 0 的坐标为(1, 0).顶点P在圆外;(3)连结OD 点M在抛物线的对称轴上，-MP/ y 轴，-Sad = S血ad .由线段PA线段PD及弧ABD形成的封闭图形 PABD的面积=扇形OAD的面积.在 Rt AOM, ,sin / AMO/AMO=60 .2120 兀2封闭图形PABD的面积= MA2360319如图，在平面直角坐标系中，O是原点，以点 C (1, 1 )为圆心，2为半径作圆，交 x轴于A B两点，开口向下的抛物线经过点

38、(1)(2)(3)(4)A, B,且其顶点P在O C上.19.解:求/ ACB勺大小；写出A, B两点的坐标；试确定此抛物线的解析式； 在该抛物线上是否存在一点 D,使线段 标；若不存在，请说明理由.OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐(1)作CHL x轴，H为垂足./ CH=1,半径 CB=2, / HBC30 / BCH60. / AC&120./ CH=1,半径 CB=2, hb=J3，故 a(i-73,o),B(1 + 73,0).由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为(1, 3).设抛物线解析式为y=a(x-1)2+3，把点B(1 + 73,0)代入解析式,解得 a =

39、-1 .所以” y = -x2 +2x +2 .(4)假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形 OCPD是平行四边形. 所以，PC / OD 且 PC =OD .PC / y 轴，点 D 在 y 轴上. PC =2，二 OD =2，即 D(O,2). D(0,2)满足 y=x2 +2x+2 , 点D在抛物线上.存在D(0,2)使线段OP与CD互相平分.20. (以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题)如图，半径为1的O O1与x轴交于A、B2B两点，其顶点2个单位，设平两点，圆心01的坐标为(2,0)，二次函数y = X +bx + c的图象经过 A、为F .(1 )求b, c的值及二次函

40、数顶点 F的坐标;(2)将二次函数y = -X2 +bx+C的图象先向下平移 1个单位，再向左平移移后图象的顶点为C ,在经过点B和点D(0, -3 )的直线l上是否存在一点周长最小，若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由Ay2 -2-1 O-1-2-320.解：(1)由题意得,A(1 , 0),B(3,0).则有-1,一9 +3b +c = 0.解得仁43.二次函数的解析式为2 2=X2 +4x -3 = (X 2 ) +1 .顶点F的坐标为(2，1).562(2)将y = -(X -2 ) +1平移后的抛物线解析式为 y = -X2，其顶点为C (0,0).直线丨经过点B (3,

41、0)和点D (0, - 3 ), 直线1的解析式为y = x 3 .作点A关于直线丨的对称点 AA丄直线丨，设垂足为 由题意可知，EBA=45,过点A 作CD的垂线，连接 BA、CA, 则有A E= AE ,NABE =45, AB =2 ,AB = AB =2 . ZCBA = 90.垂足为 F，四边形CFAB为矩形.A：E ,/. FA = 0B =3.- A(3, -2).直线CA 的解析式为2y = 一一 X .32 叩一3X, y =x-3.的解为直线CA与直线I的交点为点P9 , - 6 1U 5丿五、以圆为背景的探究性问题21.下图中，图(1)是一个扇形OAB将其作如下划分：第一次划分：如图 所示，以OA的一半OA1的长为半径画弧交 OA于点A,交OB于点B,再作/ AOB的平分线，交 AB于点C,交A1B1于点Ci,得到扇形的总数为6个，分另y为： 扇形OAB扇形OAG扇形OGB扇形OAB、扇形OAG、扇形OGB ;第二次划分：如图(3)所示，在扇形 OGB1中，按上述划分方式继续划分,即以OG的一半OA的长为半径画弧交 OG于点A,交OB于点B2,再作/ BOG的平分线，交 B1G1于点D，交A2B2于点D,可以得到扇形的总数为 11 个;第三次划分：如图(4)所示，按上述划分方式继续划分;S