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文档简介

1、“成比例线段”定理及其应用与拓展夏志雄成比例线段问题贯穿平面几何的相似形与圆两大章的内容，本文将从成比例线段的定义，性质及如何证明四条线段成比例问题作出探讨。在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。例：如果a、b、c、d四条线段满足，则a、b、c、d是成比例线段。如果，则ad=bc;如果，则即；如果，则（a、b、c、d为线段，）。证明四条线段成比例问题，是常见的一种类型证明题，此类型题如果能清晰地给学生讲明思路，学生将会茅塞顿开，他们的聪明才智和奇妙思想都将一齐涌现出来，得到问题的最佳证明。一、从基本图形得到四条线段成比例（1）、平行线分线段成比

2、例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如基本图1，L1/L2/L3，L4交L1、L2、L3于分别于点A、B、C，L5交L1、L2、L3于分别于点D、E、F，则AB/BC=DE/EF（基本图1）此定理课本几何第二册并没有给出严密证明，现证明如下：证明：连AE、BD、CE、BFAD/BE/CFSABE =SBED， SBCE=SBEAB/BC=SABE/SBCE，DE/EF=SBED/SBEFAB/BC=DE/EF（2）、由平行线分线段成比例定理的推论得四条线段成例。如基本图2、基本图3（基本图2）（基本图3）AD/DB=AE/EC上两图，若DE/BC，则 AD/AB=AE/ACBD/A

3、B=CE/AC二、由两个三角形相似得四条线段成比例这种方法，应用得非常普遍。即把要证明的四条线段放在两个合适的三角形中，通过证明两个三角形相似，然后应用两个三角形对应边成比例得到证明。此种方法常规方法大多数同不都能熟练应用，因此不再赘述。三、引入中介值或替换的思想，得四条线段成比例例1、如图，过ABCD的顶点A作一条直线与BD、BC、DC的延长线分别交于E、F、G，求证：AE是EF、EG的比例中项。证明：AD/BF，DG/ABEF/AE=BE/DE，AE/EG=BE/DEEF/AE=AE/EG，即AE是EF、EG的比例中项。以上解法就应用了“引入中介值”的方法。它的原理便是利用等式的传递性，即A=B，B=C，则A=C。例2、如图，在ABC中，AD平分BAC交BC于D，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FD2=FBFC证明：连AFEF垂直平分ADFA=FDFAD=FDAFAC=FADDAC，B=FDABAD而FAD=FDA，DAC=BADFAC=B又AFC=BFAFACFBAFC/FA=FA/BF，即FA2=FBFCFD2=FBFC以上解法便利用“FA”取代“FD”，证明取代后的四条线段成比例即可。评注：本文提供的证明四条线段

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