河北省邯郸市2020届高三年级第二次模拟考试数学(理科)试卷(解析版)

1、2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1. 已知集合 A =a|loga3 1, B = a|3a9，则 An（ ?rB）=（）A.（ 0, 3）B.（ 1, 3）C.（ 0, 2D.（ 1 , 22. 已知复数?= 2+Z? （i为虚数单位），下列说法：其中正确的有（） 复数z在复平面内对应的点在第四象限； |?|= V? z的虛部为-2i; ?= ?. ?A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3. 中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，“二十四节气”歌是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗，2016年11月30日“二十四节气”正式被联合

2、国教科文组织列入人类非物质文化遗产，也被誉为“中国的第五大发明” 某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问“二十四节气”歌，只能说出春夏两句的有45人，能说出春夏秋三句及其以上的有32人，据此估计该校三年级的500名学生中，对“二十四节气”歌只能说出第一句“春”或一句也说不出的大约有（）A . 69 人B . 84 人C . 108 人D . 115 人4. 已知f （x）是R上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在（0, + R）上单调递增的有（） y= |f （x） |； y= f （x2+x）; y= f (|x|)； y= ef(x+e- f(x)C.D.5.设实数

3、x, y满足不等式组? ?+ ? ? ? ? ?,若z= ax+y的最大值为1，则a=（）6.已知函数 f( x)= sin2xcos+cos2xsin 0图象的一个对称中心为?(-3，可能值为（?A. - 3?B.-35? 65?7.设直线I: ax+by+c= 0与圆C:A , B 两点，且 |?= ?/?贝a2+b2=2 ”是“ ？?= /?的()A .充分不必要条件B.C .充要条件D.?x2+y2= 4相交于必要不充分条件既不充分也不必要条件a? ，则？?？+=)=()?字+449.已知直线? ?(?条渐近线交于 A, B两点,e的最大值为（A. /?1 ?）? ?= ?（?鸟4）与

4、双曲线石?忆?(? ? ? ?的两O为坐标原点，若 OAB为直角三角形,则双曲线的离心率/?D. /?10. 2020年3月31日，某地援鄂医护人员 A, B, C, D, E, F6人（其中A是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎.当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为（)B. 48 种C. 56 种D. 72 种11. 在直二棱柱 ABC - AiBiCi中，平面ABC是下底面.M是BB1上的点，AB = 3, BC = 4, AC = 5,

5、CCi= 7,过三点A、M、Ci作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的 上、下两部分的体积比为（）910101011B C D 9 11 10I2.如图，在 ABC中，tanC= 4. CD是AB边上的高，若CD2 - BD? AD = 3,则厶 ABC的面积为（）C . 8D. I2、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.I3 .抛物线y= 2x2上的点A （i，2）到焦点F的距离为 14 .曲线y=f（x） = xnex在x = 1处的切线与坐标轴围成三角形的面积为竺?,则n =3I5 .在厶 ABC 中, |?= ? ? ?贝V ?*?=/ I * I* . I6.已知三

6、棱锥 P- ABC中，PA = AB = AC = 2，PA丄平面 ABC，A到平面 PBC的距离是空5，则三棱锥外接球的表面积为 .5三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步票.第I72I题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.II7.已知数列an满足数列log2an的前n项和为？?=空？（?*+ ?）(1 )求数列an的通项公式及前 n项和Sn；(2 )若数列1的前n项和为Tn，求Sn - 8Tn的最小值.18. 2020年初，一场新冠肺炎疫情突如其来，在党中央强有力的领导下，全国各地的医务工作者迅速驰援湖北，以大无畏的精神冲在了抗

7、击疫情的第一线，迅速控制住疫情但国外疫情严峻，输入性病例逐渐增多，为了巩固我国的抗疫成果，保护国家和人民群众的生命安全，我国三家生物高科技公司各自组成A、B、C三个科研团队进行加急疫苗研究，其研究方向分别是灭活疫苗、核酸疫苗和全病毒疫苗，根据这三家的科技实力和组 成的团队成员，专家预测这A、B、C三个团队未来六个月中研究出合格疫苗并用于临床3 21接种的概率分别为3, 2,丄，且三个团队是否研究出合格疫苗相互独立.4 32(1) 求六个月后 A, B两个团队恰有一个研究出合格疫苗并用于临床接种的概率；(2) 设六个月后研究出合格疫苗并用于临床接种的团队个数为X，求X的分布列和数学 期望.19.

8、 在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，AB丄BC, BB1= v?BC, D是CC1的中点.(1)证明:BQ丄平面ABD ;A - BD - E的大小.(2)若AB = BC, E是A1C1的中点，求二面角20.已知 A ( 0, 2),B ( 0,- 2)，动点 P (X,1y)满足PA, PB的斜率之积为-1.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)已知直线I: y= kx+m, C的右焦点为F，直线I与C交于M , N两点，若F是厶AMN的垂心，求直线I的方程. , (1+?)?21.已知函数？?(?=匸？?-?(1)证明：函数f (x)在(0, n)上是减函数;(2 )若 ?(?, ?

9、 , ?(?(孑?求m的取值范围.(二)选考题：共 10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的.选修第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应题号后面的方框涂黑 4-4 :坐标系与参数方程? ? ? 1, B = a|3a 9，则 A n( ?rB )=()A. ( 0, 3)B. ( 1, 3)C. ( 0, 2D. ( 1 , 2【分析】先根据条件求得A, B，进而求得结论.解：因为集合 A = a|log a3 1；所以：a 1;且 log a3 logaa? A =( 1, 3),/ B = a|3a9 =( 2, + s), ?rB =(-m,2

10、； A n( ?rB) = ( 1 , 2.故选：D.2. 已知复数?= 2+?( i为虚数单位)，下列说法：其中正确的有() 复数z在复平面内对应的点在第四象限； |?|= v? z的虛部为-2i; 升？2 ?A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个命题得答案.解： ?=8-?=2+3?_(8-?)(2-3?)(2+3?)(2-3?)13-26?13?. ?复数z在复平面内对应的点的坐标为（1 , - 2）,在第四象限;|z|= V? Z 的虚部为-2; ?=?+ ?故正确；错误.故选：B.3. 中国农历的“二十四节气”是凝结着

11、中华民族的智慧与传统文化的结晶，“二十四节气”歌是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗， 2016年11月30日“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产，也被誉为“中国的第五大发明” 某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问“二十四节气”歌，只能说出春夏两句的有45人，能说出春夏秋三句及其以上的有32人，据此估计该校三年级的500名学生中，对“二十四节气”歌只能说出第一句“春”或一句也说不出的大约有（）A . 69 人B . 84 人C . 108 人D . 115 人【分析】先求出只能说出第一句 “春”或一句也说不出的学生人数，可得它所占的比例,再用样本容量50

12、0乘以此比例，即为所求.解：由题意，只能说出第一句，或一句也说不出的同学有100 - 45- 32= 23人,23100故只能说出第一句“春”或一句也说不出的学生共有500X 益=115 人，故只能说出第一句“春”或一句也说不出的学生占的比例为故选：D.4已知f （x）是R上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在（0, + R）上单调递增的有（） y= |f （x） |； y= f (x2+x)； y=f (凶)； y= ef(x)+ef(x)B. C. D. 【分析】由已知可得 f (x)是R上的奇函数且单调递增，当0,然后结合函数的性质分别进行检验即可.解：因为f (x)是R上的奇函数

13、且单调递增,故当 x0 时，f (x) f (0)= 0, g (- x)= |f (- x) |= |f (x) |= g ( x)为偶函数，且当x 0 时，f (x) f (0)=x 0 时，g (x )= |f (x) |=f (x )单调递增，符合题意;g (- x)= f ( x2- xg (x)，故不满足偶函数; g (- x)= f ( | - x|)= f (|x|)= g (x)，且 x 0 时 g ( x)= f (x)单调递增，符合 题意； g (- x)= ef (-x) +e-f (-x) = e-f (x+ef (= g (x)，满足偶函数，且 x 0 时，f (x

14、) 0, ef (x) 1,根据对勾函数的单调性可知g (x)= ef(x) +e-f(x单调递增，符合题意.故选：B.? ?+ ? ?5.设实数x, y满足不等式组?w ?,若z= ax+y的最大值为1，则a=()? ?A .-丄B. -C. - 2D. 244【分析】画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z= ax+y取得最大值的位置，求出a即可.?- ?+ ? ?解：作出实数x, y满足不等式组 ?+ ? ?B (- 4, 0), O (0, 0),当0 v aw 3或-K av 0时，目标函数 z= ax+y经过(-1, 3),取得最大值为1，解得a= 2,当a 3时，目标函数z= a

15、x+y经过(0, 0)，取得最大值为 1,无解,当a v- 1时，目标函数z= ax+y经过(-4,0),取得最大值为1,解得a= - 4 (舍去)，63，不符合题意.当a = 0时，目标函数z= ax+y取得最大值为6.已知函数f (x)=sin2xcos+cos2xsin 图象的一个对称中心为?(-3 ,5h i!:-43 -2 -1 (i 1 2 i 4 S-1-2卜-3-4卜51可能值为?A. - 3?B. 35? C. - T5?【分析】先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性即可求解.解: f (x) = sin2 xcos +cos2xsin = sin (2x+ ), 由

16、题意可得，sin ( - J? = 0,所以 輪 2?=kn 即 $=2?+k n, kCZ, 结合选项可知，当 k =- 1时，晴-!?妙?？贝厂a2+b23 故选：A.7.设直线I: ax+by+c= 0与圆C: x2+y2= 4相交于A , B两点，且|?=2 ”是“ ？?= /?的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】由半径r = 2和弦长|?|= ?/?可得圆心（0,0）到直线I的距离?1%?+?乡，即a2+b2= c2.进而判断出结论.解：由半径r = 2和弦长|?= ?/?可得圆心（0, 0）到直线I的距离?1/?+? 即 a

17、2+b2= c2.由a2+ b2= 2= c2,解得 c= v?“a2+b2= 2”是“ ？?= /?的必要不充分条件.故选：B.8.已知 a为锐角，且 ？?？,?急，则？?+?4)=(m2【分析】利用二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式解得=2，可求cos2a的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin2 a的值，进而利用二倍角公式化简所求即可求解.解： cos2址?-?2?= 1-?= 8 =-旦，解得 m2= 2,?+? 1+?1+?2?字+4C0S2 a=sin2 a= ? ?=攀 sin2 ( a+ ?=1-?(2?+1 ?2?2 1= + = + 222329.已

18、知直线? ?(?1 ?）? ?= ?（?4）与双曲线石-? = ?(? ?的两条渐近线交于 A, B两点，0为坐标原点，若 OAB为直角三角形，则双曲线的离心率e的最大值为（）A. V?B. V?D. V?【分析】利用双曲线是否是等轴双曲线，结合OAB为直角三角形，转化求法双曲线的离心率的表达式，求解最大值.解：当双曲线是等轴双曲线时，e= V?双曲线不是等轴双曲线时，直线I与渐近线中的一条垂直，所以：鼻 ?= ? b2= 4a- 1, e2= ?= ?+?2=-丄+4+?=- （-2） 2+5 4?-1?w 5, a= 时，取得最大值； ew V?双曲线的离心率 e的最大值为：V?故选：D.

19、10. 2020年3月31日某地援鄂医护人员A, B, C, D, E, F6人（其中A是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎.当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为（）A. 36 种B. 48 种C. 56 种D. 72 种【分析】解：根据题意，分 2步进行分析：领导和队长站在两端，由排列数公式计算?-?11? 10可得其排法数目，中间5人分2种情况讨论：若 BC相邻且与D相邻，若BC相邻且不与D相邻，由加法原理可得其排法数目，由分步计数原理计算

20、可得答案.解：根据题意，分 2步进行分析： 领导和队长站在两端，有A21 三棱柱 ABC - A1B1C1 的体积 V= 2 X ?x ?x ?= ?= 2种情况， 中间5人分2种情况讨论：若BC相邻且与D相邻，有A22A33= 12种安排方法，若BC相邻且不与D相邻，有A22A22A32 = 24种安排方法，则中间5人有12+24 = 36种安排方法，则有2X 36= 72种不同的安排方法；故选：D.11. 在直三棱柱 ABC - AiBiCi中，平面ABC是下底面.M是BBi上的点，AB = 3, BC = 4, AC = 5, CC1= 7,过三点A、M、C1作截面，当截面周长最小时，截

21、面将三棱柱分成的 上、下两部分的体积比为()9 101011A .B .C .D .10 91110【分析】由题意画出图形，可得当截面周长最小时的BM值，再由已知可得底面中AB丄BC,分别求出截面上下两部分的体积，作比得答案.解：由 AB = 3, BC = 4, AC = 5，得 AB2+BC2= AC2,. AB 丄 BC .将平面ABB1A1与平面BCC1B1放在一个平面内，连接AC1, 与 BB1的交点即为 M，此时BM = 3,设四棱锥 A - BCC1M 的体积为 W，则？?= 3 x 1 X (?+ ?)X ?X ?= ?32当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积

22、比为12. 如图，在 ABC中，tanC= 4. CD是AB边上的高，若 CD2- BD? AD = 3,则厶ABC的面积为（）A . 4B . 6C . 8D . 12【分析】直接利用三角形的面积公式以及余弦定理，勾股定理化简求解即可.解:?= 1 ?=?t?24=BC2+AC2- AB2=ac2+bc2-( AD+BD ) 2=2 (CD2-BD? AD)=6.故选：B.、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.13抛物线y= 2x2上的点A (1, 2)到焦点F的距离为178 【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的性质求解即可.解：抛物线y= 2x2,的标准方程为：x2= f

23、y.准线方程为：y= - 1,点A (1, 2)到焦点F的距离为A到准线的距离：2+ 1 = 17.8 817故答案为：17.82?14.曲线y= f (x)= xnex在x= 1处的切线与坐标轴围成三角形的面积为2-；贝V n = 2或32-3 【分析】先求出 x= 1处的切线方程，然后分别求出切线与x, y轴交点的横坐标、纵坐2?标，然后表示出三角形的面积，令其等于一；解出n的值.3解：由已知得：f( x) = ( xn+nxn一1) ex,所以 f (1)= e, f( 1) = ( n+1) e,令 x = 0 得 y=- ne;令y= 0得x=?+1所以? = 1 x|?+1| 2?

24、3,所以切线为：y- e=( n+1) e (x - 1)故答案为：2或-3.315.在 ABC 中,1?= ? ? ?贝V ?叨？=I r . 【分析】先根据平面向量的减法运算可知 ?= ? ?再代入原等式，并结合数量积的运算即可得解.解:|?= ? ?I r ? 2 等式求出最小值即可.解：(1)由已知得当n = 1时，Iog2a1 = A1= 1，解得a1 = 2,1 1当 n 2 时，Iog2an= An - An -1= 2 ?(?-+ ?)-扌?(? ?)= n?-an= 2n,当 n= 1 也符合， an= 2n, Sn= 212 )=2n+1 - 2;1-21 111-( 1)

25、?1(2 )由(1 )知 =? Tn=-1= 1 ( -)n ,- Sn 8Tn = 2n+1 -2 -?2? 1-2 28+ 乌?=2+1+ 乂? 102 V?+?-8?. 102 2 2=8 - 10=- 2，当且仅当2n+1=乌?寸取等号，即当n = 1时取得最小值-2.218. 2020年初，一场新冠肺炎疫情突如其来，在党中央强有力的领导下，全国各地的医务工作者迅速驰援湖北，以大无畏的精神冲在了抗击疫情的第一线，迅速控制住疫情但国外疫情严峻，输入性病例逐渐增多，为了巩固我国的抗疫成果，保护国家和人民群众的生命安全，我国三家生物高科技公司各自组成A、B、C三个科研团队进行加急疫苗研究，其

26、研究方向分别是灭活疫苗、核酸疫苗和全病毒疫苗，根据这三家的科技实力和组成的团队成员，专家预测这A、B、C三个团队未来六个月中研究出合格疫苗并用于临床3 21接种的概率分别为3，2，1，且三个团队是否研究出合格疫苗相互独立.4 32(1) 求六个月后 A, B两个团队恰有一个研究出合格疫苗并用于临床接种的概率；(2) 设六个月后研究出合格疫苗并用于临床接种的团队个数为X，求X的分布列和数学 期望.【分析】(1) A , B两个团队恰有一个研究出合格疫苗并用于临床接种分两种情况：A团队研究出但B团队未研究出，B团队研究出但 A团队未研究出，然后根据相互独立事 件的概率求解即可；(2) X的可能取值

27、为0, 1, 2, 3，再根据相互独立事件的概率逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望.解:(1)由题意得，六个月后，A、B两个团队恰有一个研究出合格疫苗并用于临床接种的概率为?=3 x 4+3 x 4 = 12(2) X的可能取值为0, 1, 2, 3,24 , P111121113_ 6 _ 1X -X- + -X-X- + -X-X-=：24 =2342342344(X= 1)1P (X= 2) = 12 1X X +1x2x3+1x丄X 3 =11P (X = 3):=1 Xx 3 =6=12342342342423424 = 4 X的分布列为X0123P111

28、11244244数学期望 e (X)= ?x言+ ?x4+ ?x21+?x廿备19. 在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，AB丄BC, BB仁v?BC, D是CC1的中点.(1) 证明：BiC丄平面ABD ;(2) 若AB = BC, E是AiCi的中点，求二面角 A - BD - E的大小.【分析】（1）设 BC = 2,证明 DCB CBB 1,得/ BDC = Z BCBi,可得/ DBC+ /BCBi= 90，贝U BD丄BiC，由三棱柱 ABC - AiBiCi是直三棱柱，得 BBi丄AB ,进一步 得到AB丄平面BCCiBi，从而有AB丄BiC，进一步得到 BiC丄平面ABD

29、;ABD的一个法向A - BD - E的大(2)设BC = 2,以B为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面量与平面BDE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角小.【解答】I)证明：设?BC=2 ?= ?彩?齐?=v22?v22?两，贝仏 DCB- CBBi ,得/ BDC =Z BCBi ,/ DBC+ / BDC = 90, / DBC + Z BCB i= 90,得 BD 丄 BiC.三棱柱ABC - AiBiCi是直三棱柱， BBi丄平面ABC ,又 AB?平面 ABC , BBi 丄AB ,又 AB 丄 BC , BBin BC= B , AB 丄平面 BCCiBi ,而

30、 BiC?平面 BCCiBi , AB 丄BiC , 又 BD n AB = B, BiC 丄平面 ABD ;(2)解：设BC = 2,建立如图所示空间直角坐标系,由(1)知，E (1,1, 2可，D (0, 2, V?,A (2, 0, 0), Bi (0, 0, ?V? , C (0, 2, 0)由(1)知平面 ABD的一个法向量?= (? _ ? ?V?,? ?=(? ? ?V?) ?=(? ? v?)1 V f4V /设平面BDE的一个法向量为？?=(? ? ?)?-?+?+?/?l_由 J T_ ?,取 z= - V?得?= (? ? - V?)? ? V? ? 6二 cos 0,即

31、卩 m2v 12,X1+X2=-攀 X1X2=叱3 3由已知可得AM _L NF ,所以 kAM ? kNF =- 1，即1,整理可得y2（ y1- 2）+X1 ( X2 - 2)= 0,即卩 y1y2+X1X2 2X1 - 2y2= 0,即 y1y2+x1X2 2X1 - 2 (X2+m)= 0，整理可得 y1y2+x1X2 2 (X1+X2)- 2m = 0,2 ?2 8 而 y1y2=( X1+m)( X2+m)= x1X2+m (X1+X2) +m = -3所以? -8 - 2?-4? - 2m+ 2?2-8 = 0，解得 m= - 8或 m= 2 (舍),3333所以直线1的方程为：y=X-321.已知函数?(?=(1+?)?_? ? (1)证明：函数f (x)在(0, n)上是减函数;(2 )若 ?(?, ? , ?(? ?(?_ ?求 m 的取值范围.【分析】(1)求导，结合基本不等式可得f( x)W 0在(0, n)上恒成立，由此即可得证；(2)当 mW 0 时，由(1) ?(?(2- ?在？? (?-)上成立；当 m0 时，利用导 数可推导存在？?(? 2?，使得?(? ?(2?_ ?)与?(?(2?_ ?)矛盾，综合即可得出结论.?44解: ( 证明：？