【备考2020】2019年湖南省中考数学精编精练9：四边形(解析卷)

1、【备考2020】2019年湖南省中考数学精编精练9:四边形姓名：级：号：一、选择题1. （ 2019年湖南省岳阳市）下列命题是假命题的是（）A. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B. 同角（或等角）的余角相等C. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D. 正方形的对角线相等，且互相垂直平分【考点】命题与定理【分析】由平行四边形的性质得出A是假命题，由同角（或等角）的余角相等，得出B是真命题，由线段垂直平分线的性质和正方形的性质得出C、D是真命题，即可得出答案.解：A平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，假命题，B. 同角（或等角）的余角相等，真命题，C. 线段垂直平分线上的

2、点到线段两端的距离相等，真命题，D. 正方形的对角线相等，且互相垂直平分，真命题，故选：A.【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.2. （2019年湖南省娄底市）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（）A. 平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形【考点】平行四边形的判定，菱形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定，中点四边形【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半判定出四边形EFGH是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得EF丄FG,然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断.解：

3、如图， E、F分别是AB BC的中点， EF/ AC且 EF= AC2同理，GH/ AC且 GH=AC, EF/ GH且 EF= GH四边形EFGH是平行四边形，四边形ABCD是菱形， AC 丄 BD,又根据三角形的中位线定理，EF/ AC FG/ BD EF 丄 FG平行四边形 EFGH是矩形.【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，菱形的性质，以及矩形的判定，连接四边形的中 点得到的四边形的形状主要与原四边形的对角线的关系有关，原四边形的对角线相等，则得到的四边形是菱形，原四边形对角线互相垂直，则得到的四边形是矩形， 连接任意四边形的四条边的中点得到的四边形都是平行四边形.3. （201

4、9年湖南省衡阳市）下列命题是假命题的是（）A. n边形（n 3）的外角和是 360B. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C. 相等的角是对顶角D. 矩形的对角线互相平分且相等【考点】命题与定理【分析】根据多边形的外角和、线段垂直平分线的性质、对顶角和矩形的性质判断即可.解：A n边形（n3）的外角和是360 ，是真命题，B、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题，C、相等的角不一定是对顶角，是假命题，D矩形的对角线互相平分且相等，是真命题，故选：C.【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题 称为假命题，经过推理论证的真命题

5、称为定理.4. （2019年湖南省邵阳市） 如图，在Rt ABC中，/ BAC= 90, / B= 36, AD是斜边BC上的中线,将厶ACD沿 AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E,则/ BED等于（）A. 120B. 108C. 72D. 36【考点】直角三角形斜边上的中线，翻折变换（折叠问题）【分析】根据三角形内角和定理求出/C= 90-/ B= 54.由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD= B CD利用等腰三角形的性质求出/BAD=/ B= 36,/ DAC=/ C= 54，禾U用三角形内角和定理求出/ ADC= 180 -/ DAC-/ C= 72.再根据折叠的性质

6、得出/ADM/ADC=72 ，然后根据三角形外角的性质得出/BED=/ BAD+/ AD& 108 .解：在 Rt ABC中，/ BAC= 90,/ B= 36,/ C= 90-/ B= 54./ AD是斜边BC上的中线，AD= bd= cd / BAD=/ B= 36,/ DAC=/ C= 54, / ADC= 180 -/ DAC- / C= 72.将 ACD沿AD对折，使点C落在点F处， / ADF=/ ADC= 72 , / BED=/ BAD/ ADF= 36 +72= 108 .故选：B.【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，

7、位置变化，对应边和对应角相等也考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质.二、填空题5. （2019年湖南省长沙市）如图，要测量池塘两岸相对的A, B两点间的距离，可以在池塘外选一点C,连接AC, BC分别取 AC, BC的中点D, E,测得DE= 50m贝卩AB的长是m【考点】三角形中位线定理【分析】先判断出 DE是厶ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB= 2DE问题得解.解：点D, E分别是AC, BC的中点,。丘是厶ABC的中位线， AB= 2DE= 2X 50= 100 米.故答案为：100.【点评

8、】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键.6. （2019年湖南省株洲市）如图所示，在 Rt ABC中，/ ACB= 90, CM是斜边 AB上的中线， E F 分别为MB BC的中点，若EF= 1，贝U AB=.【考点】直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理【分析】根据三角形中位线定理求出CM根据直角三角形的性质求出AB解： E、F分别为MB BC的中点， CM= 2EF= 2,/ ACB= 90 , CM是斜边 AB上的中线， AB= 2CM= 4,故答案为：4.【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质， 掌握三角形的中位线

9、平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.7. （2019年湖南省张家界市）如图：正方形ABCD勺边长为1,点E, F分别为BC, CD边的中点，连连接PD,则tan Z APD=【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形【分析】首先证明厶ABEA BCF,再利用角的关系求得Z BPE= 90 ,证明A. P、F、D四点共圆, 得Z AFD=Z APD可得结论.解：连接AF,/ E, F分别是正方形 ABCD边BC, CD的中点,CF= BE,-DF乙在厶 ABEn BCF中，rAB=BC ZABE=ZC,lBE=CF Rt ABE Rt BCF ( SAS ,/ BAE

10、=Z CBF又/ BAE+Z BEA= 90,/ CBF+Z BEA= 90,/ BPE=Z APF= 90 ,/ ADF= 90 ,/ ADF+Z APF= 180 , A. P、F、D四点共圆， Z AFD=Z APDin tan Z APD= tan Z AFD= 2,DF故答案为：2.【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆的性质、三角函数 的定义，解决的关键是证明Z APF= 90.三、解答题8. （2019年湖南省岳阳市）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD CD边上的点，DE= DF,求证:D【考点】全等三角形的判定与性质，菱形的性质【分析】由菱

11、形的性质得出AA CD由SAS证明厶ADFA CDE即可得出结论.证明：四边形 ABCD是菱形， AD= CDAD=CD在CDE中，ZD二ZD ,DF 二 DE ADFA CDE( SAS ,/ 1=Z 2.【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形 全等是解题的关键.9. (2019年湖南省郴州市)如图，?ABCD中，点E是边AD的中点，连接 CE并延长交BA的延长线于点F,连接AC, DF.求证：四边形 ACDF是平行四边形.【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质【分析】利用平行四边形的性质，即可判定FAEA CDE即可得到 CD=

12、 FA,再根据CD/ AF,即可得出四边形 ACDF是平行四边形，解：四边形ABCD是平行四边形， AB/ CD,/ FAE=Z CDET E是AD的中点， AE= DE,又/ FEA=Z CED FAEA CDE( ASA), CD= FA,又 CD/ AF,四边形ACDF是平行四边形.【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键.10. （2019年湖南省湘西州）如图，在正方形ABCD中，点E, F分别在边CD, AD上，且AF= CE(1) 求证： ABFA CBE求四边形BEDF的面积.【考点】全等三角形的判定与性质，

13、正方形的性质【分析】（1）利用SAS即可证明，（2）用正方形面积减去两个全等三角形的面积即可.解：（1）在厶ABF和厶CBE中应二BCZA-ZC-90 ,AF=CE ABFA CBE（ SAS ,（2）由已知可得正方形 ABCD面积为16, ABF面积= CBE面积=丄 X 4X 1 = 2 .2所以四边形BEDF的面积为16 - 2 X 2= 12 .【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，难度较小，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.11. （2019年湖南省娄底市）如图，点E、F、G H分别在矩形 ABCD勺边AB、BC CD DA （不包括端点）上运动，且满足 AE= CG A

14、H= CF.（1）求证： AEHA CGF（2）试判断四边形 EFGH勺形状，并说明理由.（3）请探究四边形 EFGH勺周长一半与矩形 ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由.【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的性质【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论，（2）由（1）中全等三角形的性质得到：EH= GF,同理可得FE= HG即可得四边形 EFGH是平行四边形，(3)由三角形中位线定理得到：四边形EFGH勺周长一半等于矩形 ABCDH条对角线长度.证明：(1)v四边形 ABCD是矩形，./ A=Z C.rAE=CG在厶人丘日与厶CGF中，厶二ZC，lah=cf AEHA C

15、GF( SAS ,(2) 由(1)知， AEHA CGF 贝U EH= GF,同理证得厶 EBFA GDH 贝U EF= GH四边形EFGH是平行四边形，(3) 四边形EFG啲周长一半等于矩形 ABCD一条对角线长度.理由如下：如图，连接AC BD. 四边形ABCD是矩形， AC= BD. E、H分别是边AB, AD的中点，丘日是厶ABD的中位线， EH=_ BD.2同理，FG= 1 BD, EF= HG= 1 AC2 2丄(EH+HG+GF+EF=丄(AC+BD= AC2 2四边形EFGH的周长一半等于矩形 ABCD一条对角线长度.BjrC【点评】考查了矩形的性质， 全等三角形的判定与性质.

16、灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键.12. (2019年湖南省怀化市)已知：如图，在?ABCD中, AE BC, CF丄AD, E, F分别为垂足.(1) 求证： ABEA CDF,(2) 求证：四边形 AECF是矩形.【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的判定【分析】(1)由平行四边形的性质得出/B=Z D, AB= CD, AD/ BC,由已知得出/ AEB=Z AEC=Z CFD=Z AFC= 90。，由 AAS证明 ABEA CDF即可，(2)证出/ EAF=Z AEC=Z AFC= 90。，即可得出结论.(1) 证明：四边形 ABCD是平行四边形，/ B=Z

17、D, AB= CD, AD/ BC,/ AE丄 BC, CF丄 AD,/ AEB=Z AEC=Z CFD=Z AFC= 90 ,fZB=ZD在厶 ABE和 CDF中，ZAEB=ZCFD ,tAB=CD ABEA CDF(AAS ,(2) 证明：T AD/ BC,/ EAF=Z AEB= 90 ,/ EAF=Z AEC=Z AFC= 90 ,四边形AECF是矩形.【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键.13. (2019年湖南省长沙市)如图，正方形 ABCD点E , F分别在AD, CD上 ,且DE= CF, AF

18、与BE相交于点G.(1)求证：BE= AF,(2 )若 AB= 4 , DE= 1,求 AG的长.【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理【分析】(1)由正方形的性质得出/ BAE=Z ADF= 90 , AB= AD= CD得出AE= DF,由SAS证 明厶BAEA ADF即可得出结论，(2)由全等三角形的性质得出/EBA=Z FAD得出/ GAE+Z AEG= 90,因此/ AGE= 90 ,由勾股定理得出BE= !.(1|. = 5,在Rt ABE中，由三角形面积即可得出结果.(1)证明：四边形 ABCD是正方形,/ BAB/ AD90 , AB= AD= CD,/ DE=

19、 CF, AE= DF,rAB=AD在厶 BAE和 ADF中,ZBAE二/ADF ,祂二DF BAEA ADF( SAS , BE= AF,(2)解：由(1 得： BAEA ADF, / EBA=/ FAD / GAE/ AEG= 90,:丄 AG= 90 ,/ AB= 4, DE= 1, AE= 3,匪=丈；匸讼=: = 5,在 Rt ABE 中，ABX AE= 1 BEX AG2 255【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键.14. ( 2019年湖南省株洲市)如图所示，已知正方形OEFG的顶点0

20、为正方形ABCD对角线AC BD的交点，连接CE DG(1) 求证： DOGA COE(2) 若DGL BD正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG相交于点 M AM=,求正方形 OEFG的边长.【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，比例的性质，直角三角形的性质【分析】(1)由正方形 ABCD与正方形 OEFG对角线AC BD，可得/ DOA=Z DOC= 90,/ GOE=90 ，即可证得/ GOD=Z COE因DO= OC GO= EQ则可利用“边角边”即可证两三角形全等(2)过点M作MHL DO交DO于点H ,由于/ MDB= 45,由可得 DH, M

21、H长，从而求得 HQ即可求得MO再通过 MH/ DG易证得 OHMhA ODG则有匚=,求得GO即为正方形 OEFG的边 0D 00长.解：(1 )正方形 ABCD与正方形OEFG对角线 AC BD DO= OC/ DB丄AC,/ DOAfZ DOC= 90 / GOE 90 / GOD/ DOE=/ DOE/ COE= 90/ GOE / COE GO=OEDOGFHA COE中rDO=OC ZGCDZCOEtGD=OE DOG COE( SAS(2)如图，过点M作MHL DO交DO于点H/ AM=, DA= 22 DM=2 / MDE 45 MH= DH= sin45 ? DME- , D

22、O= cos45 ?DA=、Jj4 HO= DO- DH=话:-二-=44在Rt MHC中 ,由勾股定理得/ DGL BD, MHL DO MH/ DG易证 OHMhA ODGV2 Vs 二=4 =：，得 GO= 2 7OD GO V2 GO则正方形OEFG勺边长为2匕E【点评】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目， 有一定的难度.15. (2019年湖南省岳阳市)操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落

23、在点C处.点P为直线EF上一动点 (不与E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点 M和N,以PM PN为邻 边构造平行四边形 PMQN(1) 如图1,求证：BE= BF,(2) 特例感知：如图 2，若DE= 5, CF= 2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形 PMQN勺 周长，(3) 类比探究：若 DE= a, CF= b. 如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含 a、b的式子表示QM与 QN之间的数量关 系，并证明， 如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与 QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)【考点】四边形综合题【分

24、析】(1)证明/ BEM/ BFE即可解决问题(也可以利用全等三角形的性质解决问题即可).(2) 如图2中，连接BP,作EHL BC于H,则四边形 ABHE是矩形.利用面积法证明 PM+P比EH, 利用勾股定理求出 AB即可解决问题.(3) 如图 3 中，连接 BP,作 EHL BC于 H.由 Sebp- Sbfp= Sebf,可得BE?PMF 1 ?BF?PNk 2 2 2?BF?EH由BE= BF,推出PM- PN EH=-护，由此即可解决问题.如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM- QN PN- PM=一 ：.(1)证明：如图1中,ADCr囹1四边形ABCD是矩形，

25、AD/ BC,/ DEi EFB由翻折可知：/ DEM/ BEF,/ BEU / EFB BE= BF.(2)解：如图2中，连接BP,作EHL BC于H,则四边形 ABHE是矩形，EH= AB.A ED/ DE= EB= BF= 5, CF= 2,A BC= 7, AB 2,在 Rt ABE 中，/ A= 90, BP 5, AE= 2,.AB= 一- 二=,/ SaBEF= Sapbe+Spbf, PMIL BE, PNL BF,丄?BF?EHk_ ?BE?PM+ ?BF?PN,2 2 2/ BE= BF, PM+P比 EH=，四边形PMQN!平行四边形，四边形 PMQN勺周长=2 ( PM

26、+PN= 2屈.(3)证明：如图 3中，连接BP,作EH1BC于H./ E EB= BF= a, CF= b, AD= BC= a+b, AE= AD- DE= b, EH= AB=,T Sa ebp_ Sa bfp= Sa ebf,/. 1 BE?PM- ?BF?PN=?BF?EH,2 2 2/ BE= BF, PM- PN= EH= ：,四边形PMQN!平行四边形, QN- QM=( PM- PN)QM- QN= PN- PM= :.如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证:【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，翻折变换，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解直角

27、三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考压轴题.16. (2019年湖南省衡阳市)如图，在等边厶ABC中，AB= 6cm,动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动.动点 Q同时从点C出发以同样的速度沿 BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动.设运动时间为以t (s).过点P作PEL AC于E,连接PQ交AC边于D.以CQ CE为边作平行四边形 CQFE(1 )当t为何值时， BPQ为直角三角形，(2) 是否存在某一时刻t，使点F在/ ABC的平分线上？若存在，求出 t的值，若不存在，请说

28、明理由，(3) 求DE的长，(4) 取线段BC的中点M连接PM将厶BPM沿直线PM翻折，得 B PM,连接AB,当t为何 值时，AB的值最小？并求出最小值.BXfC O【考点】四边形综合题【分析】(1 )当BQ= 2BP时，/ BPQ= 90，由此构建方程即可解决问题.(2) 如图1中，连接BF交AC于M证明EF= 2EM由此构建方程即可解决问题.(3) 证明DE=AC即可解决问题.(4) 如图3中，连接AM AB.根据 ABAM- MB求解即可解决问题.解：(1)v ABC是等边三角形，/ B= 60,当 BQ= 2BP时，/ BPQ= 90 , 6+t = 2 (6 - t),-1 = 2

29、, t = 2时， BPQ是直角三角形.(2)存在.理由：如图1中，连接BF交AC于M團1/ BF平分/ ABC BA= BC, BF丄AC, AW CM= 3cm/ EF/ BQ/ EFMkZ FBC=/ ABC= 30 ,2 EF= 2EM, t = 2? (3 - t),2解得t = 3.(3)如图 2 中,作 PK/ BC交 AC于 K.團2 ABC是等边三角形，B=Z A= 60 ,/ PK/ BC,/ APK=Z B= 60 ,/ A=Z APK=Z AKP= 60 , APK是等边三角形， PA= PK,/ PE丄AK, AE= EK,AP= CQ= PK, / PKD=Z DC

30、Q / PDK=Z QDC PKDA QCD( AAS , DK= DC DE= EK+DK=- (AK+CK =丄人0= 3 (cm)2 2(4) 如图3中，连接AM ABA图3BM= CM= 3, AB= AC, AM! BC, AM=3 :，/ ABAM- MB , AB，3- 3, AB的最小值为3 7- 3.【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，翻折变 换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造 全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.17. (2019年湖南省益阳市)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形 ABCD勺边AB= 4, BC= 6 .若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点 A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点 D始终在y轴的正半轴上随之上下移动.(1) 当/ OAD= 30时，求点C的坐标，(2) 设AD的中点为 M连接OM MC当四边形 OMC的面积为 里时，求OA的长，2(3) 当点A移动到某一位置时， 点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值， 并求此时co