全等三角形--动点问题

1、全等三角形的动点问题 教学重点难点利用熟悉的知识点解决陌生的问题 思路：1 利用图形想到三角形全等 2. 分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度 3. 结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据 4. 分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏 5. 动点一般都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路 6. 动点类问题一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后而的题难 了，可以反过去看看前面问题的结论. 【典型例题】 例1如图1,在AABC中，ZACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD,以AD为一边且在 AD的右侧作正方形ADEF. 解答下列问题： （1）如果AB=

2、AC, ZBAC=90。，点D在射线BC运动时（与点B不重合），如图，线段CF, BD 之间的位置关系为，数量关系为.请利用图2或图3予以证明（选择一个即 可）. C D 1 /II 例2如图，在等腰RtAABC中，ZACB=90 , AC=CB. AC=8, F是AB边上的中点，点D、E分别在 AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE,连接DE、DF、EF. （1）求证：ADF9ACEF. （2）试证明ADFE是等腰直角三角形.（3）在此运动变化的过程中，四边形 CDFE的而积是否保持不变？试说明理由.（4）求ACDE而积的最大值. 变式 如图，在等腰RtAABC中，ZC=90 AC=8,

3、F是AB边上的中点， 点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE.连接DE、DF、 EF.在此运动变化的过程中，下列结论：ADFE是等腰直角三角形； DE长度的最小值为4：四边形CDFE的而积保持不变；ACDE而积的 B 最大值为8其中正确的结论是（） A.B. C. D. 例3正方形ABCD和正方形AEFG有一公共点A,点GE分别在线段AD. AB上（如图（1）所示）， 连接DF、BF. （1）求证：DF=BF （2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG、BE （如图（2）所 示），在旋转过程中，请猜想线段DG、BE始终有什么数量关系和位宜关系并证明你的猜想. DC D

4、 田 (1) 田 (2) 例4.如图，已知aABC中，AB=AC=10cm, BC=8cm,点D为AB的中点. （1）如果点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q任线段CA上由C点向A点 运动. 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，aBPD与aCQP是否全等，请说明理由； 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使aBPD *jaCQP全 等？ （2）若点Q以中的速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿zxABC三边 运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在AABC的哪条边上相遇？ 变式 如图，在等边AABC

5、中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q 点从B点岀发沿BA边向A点以5cm/s速度移动.P、Q两点同时岀发，它们移动的时间为t秒钟. （1）你能用表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来. （2）请问几秒钟后，APBQ为等边三角形？ （3）若P、Q两点分别从C、B两点同时岀发，并且都按顺时针方向沿AABC三边运动，请问经过几秒钟 后点P与点Q第一次在AABC的哪条边上相遇？ 【拓展提髙】 1.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B, C, E任同 一条直线上，连结DC. （1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明

6、：结论中不得含有未标识的字母）： （2）证明：DC丄BE D 1图2 2. 如图，在RtAABC中，ZBAC=90, AC=2AB,点D是AC的中点，将一块锐角为45。的直角三角板如 图放巻，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC.试猎想线段BE和EC的数量及位苣 关系，并证明你的猜想. 3. 已知RtAABC中，AC=BC, ZC=90 , D为AB边的中点，ZEDF=90 , ZEDF绕D点旋转，它的 两边分别交AC、CB （或它们的延长线）于E、F. 当ZEDF绕D点旋转到DE丄AC于E时（如图1）,易证SADE,. + SACE,. =-SAAliC. 2 当ZEDF绕

7、D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立， 请给予证明：若不成立，Sua Sacef Saabc又有怎样的数量关系？请写岀你的猜想，不需证明. 4. 如图，AC为正方形ABCD的一条对角线，点E为DA边延长线上的一点，连接BE,在BE上取一点 F,使BF=BC,过点B做BK丄BE与B,交AC于点K,连接CF,交AB于点H,交BK于点G. （1）求证：BH=BG； (2)求证：BE=BG+AE. 5正方形四条边都相等，四个角都是90。.如图，已知正方形ABCD任直线MN的上方，BC在直线MN 上，点E是直线MN上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AE

8、FG. （1）如图1,当点E在线段BC上（不与点B、C重合）时： 判断AADG与AABE是否全等，并说明理由： 过点F作FH丄MN,垂足为点H,观察并猜测线段BE与线段CH的数屋关系，并说明理由： （2）如图2,当点E在射线CN上（不与点C重合）时： 判断AADG与AABE是否全等，不需说明理由： 过点F作FH丄MN,垂足为点H,已知GD=4.求ZkCFH的面积. G G 6如图1,若aABC和aADE为等边三角形，M N分别为EB、CD的中点，易证：CD=BE, A AMN是 等边三角形. （1）当把 ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE是否依然成立？若成立请证明，若不成立请说明理 由

9、： （2）当厶ADE绕点A旋转到图3位豊时， AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当 AB=2AD时，aADE与 ABC及 AMN的面积之比：若不是，请说明理由. 11/11 7在 ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧做 A ADE,使 AD=AE, ZDAE=ZBAC,连接 CE (1) 如图1,当点D在线段BC上，如果ZBAC=90,则ZBCE= : (2) 设ZBAC=a, ZBCE=p. 如图2,当点D在线段BC移动，则a,卩之间有怎样的数量关系？请说明理由； 当点D在直线BC上移动.则a, 0之间有怎样的数量关系？请直接

10、写出你的结论. 图1图2备用图 &思考与推理 如图，在四边形ABCD中，AB二AD=6cm, CB=CD, AB丄BC, CD丄AD, ZBCD=120 ZPCQ=60 ,两边分別交线段AB、AD于点P、Q,把APBC绕点C顺时针旋转120得到MDC.请 在图中找出一对全等的三角形并加以证明（APBC与除外）. 探究与应用 在上边的条件下，若ZPCQ绕顶点C在ZBCD内转动，两边始终与线段AB、AD相较于 点P. Q,试探究在转动过程中AAPQ的周长是否变化，若不变，求它的周长：若变化，请说明理由. .4 9问题情境：如图1,在直角三角形ABC中，ZBAC=90, AD丄BC于点D,可知：ZB

11、AD=ZC （不需要 证明）； 特例探究：如图2, ZMAN=90,射线AE在这个角的内部，点B、C在ZMAN的边AM. AN上，且 AB=AC, CF丄AE 于点 F, BD丄AE 于点 D证明：AABDACAF； 归纳证明：如图3,点B, C在ZMAN的边AM. AN上，点E, F在ZMAN内部的射线AD上，Z1、 Z2 分别是AABE、ACAF 的外角.已知 AB=AC, Z1=Z2=ZBAC.求证：AABEACAF： 拓展应用：如图4,在ZABC中，AB=AC, ABBC点D在边BC上，CD=2BD,点E、F在线段AD 图 图 PlJAACF与ABDE的而积之和为. 图 上，Z1=Z2

12、=ZBAC若ZkABC的而积为15,10.如图，已知AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90, BC=2, AD是BC边上的髙.作正方形 DEFG,使点A、C分别在DG和DE上，且DE=BC,且连接AE、BG. （1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请宜接写出你得到的结论： （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一左角度后（旋转角度大于0。，或小于90。），DG、DE分 别交AB、AC于点M和N （如图），则（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不 成立，请说明理由. 11 如下图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米. （1）如果点P在线段B

13、C以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D 点运动 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，ABPE与ACQP是否全等，请说明理由： 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使ABPE与ACQP全 等？ （2）若点Q以中的运动速度从点C岀发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形 ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？ 12. （1）操作发现：如图，D是等边ZkABC边BA h一动点（点D与点B不重合），连接DC,以DC为 边在BC上方作等边ADCF,连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结 论. （2）类比猜想：如图，当动点D运动至等边AABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜