4.1不定积分概念、性质、公式.

1、4.1原函数与不定积分的概念1、原函数的概念引例：已知物体的运动方程为S = s(,则物体运动的即时速度 为V(Z)= 5(/)；如果已知物体的运动方程为V = v(t)，则物体运动 的位移如何计算呢？( ？ y = v(z)定义 如果在区间I内的每一点处，有F(x)=于(兀)或dF(x) =则称F(x)是/(x)在区间/内的一个原函数例 (sinx) =cosx sin xMcos x 的原函数. (lnx) = (x 0)1亠 *In x是 在区间(0,+oo)内的原函数.x定理1若函数/(X)在区间/上连续，则/(兀)在/上 存在原函数.初等函数在定义区间上连续初等函数在定艾区间上有原函

2、数问题：(1)原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系?例 (sinx) =cosx (sinx+C) =cosxC为任意常数.关于原函数的说明：(1) 若F(x)为f(x)的一个原函数，则有 F(x) + C都是于(兀)的原函数.(2) 设F(x)与G(x)均是f(x)的一个原函数 则F(x)-G(x) = C (C为任意常数)证 F(x)-G(x) =Fx)-Gx) =f( f( = nF(x)-G(x) = C (C为任意常数)Vl返回A2、不定积分概念:定义2. /(x)在区间/上的原函数全体称为/(X)在/ 上的不定积分，记作J/(x)dx,其中CJ积分号被积函数被积表达式C

3、任意常数+XF(、积分变量不定积分的几何意义：/(X)的原函数的图形称为/(X)的积分曲线.j/(x)dx的图形 /(x)的所有积分曲线组成例求下列不定积分 Jx2dx解 v(lx3y=x23( cosx) = sinx(2) Jsinxdx/. x2dx = x3 + C J3. sinxdx = cosx + C注意：在求J Rx）dx时，切记要“+C”例 设曲线通过点（1, 2）,且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为y = f（x根据题意知 叟=2卩dx即/（工）是的一个原函数.J2xdx = 宀/（X）= 宀C,由曲线通过点（1, 2） =（7

4、= 1, 所求曲线方程为y = x2+l.由不定积分的定义，可知ddxJf 心)dr = F(x) + C, JjF(x) = F(x) + C.f(x)dx= f(x djf(x)dx = f(x)dx,结论:微分运算与求不定积分的运算是互逆的.基本积分公式实例启示“ + 1丿(A * -1)能否根据求导公式得出积分公式?结论既然积分运算和微分运算是互逆的, 因此可根据求导公式得出积分公式.:(1) Jkdx=kx + C (k：W数)(2)= ； + C (p-1);化说明:x基本积分公式(4) jexdx = ex +C;(5) axdx =+ C;JIna(6) j cos xdx =

5、 sinx 4-C;(7)J sin xdx = 一 cos x + C;r dxcos2 x=J sec2 xdx =tan x 4-C;=j* esc2 xdx = cot x + C;A + lIn I x I+Cx 0, = J= lnx + C, 工 v o, in(-x)y =(一兀y =-xXzz J= ln(-x) + C9(10) Jsecxtanxdr =secx + C;(11) j esc x cot xdx =-cscx + C; r 1(12) x =arctanx + C;1 + xr 1(13) . dx = arcsin 无 + C;J Vl-x2以上公式是求

6、不定积分的基础,必须熟记,要记住右端的结果，还要熟悉左端被积函数 的形式。不定积分的性质(1) f /(x) g(x)dx =J/(x)JxJ g(x)dx; jf(x)dxjg(x)dx=f f(x)dx f g(x)dx= f(x) g(x)等式成立（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）(2) fkf(x)dx =kjf(x)dx (氐是常数，氐工0)例求积分解(1)Mdx Jx /7dxx_2+,12dx =+ C =丄+ C2+1x(2) JxVxdx = Jx2dx=|x2+C口例求积分f(Vx-l)(x +解 J (仮-1 )(x + -)dx訂(X仮+ 1-X-)dxdxA/X

7、=J xVxdx + Jdx-J xdx _22I1=x2 + x x22x2 +C52注意：在分项积分后，不必每一个积分结果都“+C” V 一返回1 4- v J- *2 例求积分JxdZ寸.解J加I黑导=arctan x + In I x I +C.1 4. 2/例求积分J 匕X2(l + X2)r 1 + 2x ,r 1 4- 4-解4(1 +工2严=匚2(1 +工2严+ arctanx + CVl返回A例求积分J dxl + cos2x解 J dx = f 厂 J dxJ 1 + cos 2x J 1-f2cos x 1=Z f dx= -tanx + C 2J cos x 2说明:以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.解：等式两边对兀求导，得xA 迈 AxB_(A+B)-2Ax2Vi, .Ja + 3 = oA = k-2A = l b = 例若e X是/(x)的原函数，则Jx2/(lnx)d x =提示：f) = -xy =-ex f(nx) = -e-nx =-X小结1、原函数的概念 Fx) = f(x)(1) 若F(x)为f(x)的一个原函数，则有 F(x) + C都是/(兀)的原函数.(2) 设F(x)与G(x)均是f(x)的一个原函数F(x)-G(x) = C2、不定积分概念:j f(x)dx = F(x) + C仙(如 = /(x)