2005真题及解析

1、2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1)设 y=(1+sinx)x，贝y dy=.3(1 + x)2曲线y = 的斜渐近线方程为.vx1 xdxo2厂0 (2 x2) 1 x21(4)微分方程xy+2y =xln x满足y(1)=的解为.9 当 X-； 0 时，(x) =kx2 与：(x) - . 1 xarcsin x - cosx 是等价无穷小，则 k=.(6)设1/23均为3维列向量，记矩阵A = (： 1, ： 2, ： 3), B = (：1：2：3,：12：2 43 , ：1 3：293),如果

2、A =1,那么B =.二、选择题：7-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内(7)设函数f(x) =limn 1 x3nn卜-，则 f (x)在(-：)内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设F(x)是连续函数f (x)的一个原函数， 则必有()(A) F (x)是偶函数二f (x)是奇函数.(C)F(x)是周期函数二f(x)是周期函数M = N表示 M的充分必要条件是 N(B) F (x)是奇函数=f (x)是偶函数.(D) F (x)是单调函数=f (x)是单

3、调函数(9)设函数y =y(x)由参数方程 2X=t2 +2t,y = l n(1 +t)确定，则曲线y = y(x)在x = 3处的法线与x轴交点的横坐标是()1(A)In 2 3.8(C)-81 n2 3.1(B) In 2 3.8(D) 8ln 2 3.(10)设区域D =(x, y)x2 + y2兰4, x HO,y HO , f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则(A) ab 二.(B)竽.(C) (a b)二.(D)ji2xHy(11)设函数u(x, y)二(x - y)- y)亠i ；(t)dt,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有 ()(A).2- 2:u: u-

4、2 - 1 - 2x；y(B)；：2u；：2u一 2 - 一 2x；y(C)；：2u:x :y；：2u(D)；：2u；：2u；:y：X2 (12)设函数 f(X)二 一,则() e -1(A) x=0, x=1都是f(x)的第一类间断点.(B) x=0, x=1都是f (x)的第二类间断点.(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点(13) 设1, 2是矩阵 A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1,2U 1，A(1 2 )线性无关的充分必要条件是()(A)0.(B)2=0.(C) h =0.

5、(D) 2=0.(14) 设A为n(n -2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A*,B*分别为A, B的伴随矩阵，贝U()(A)交换A*的第1列与第2列得B* .(B)交换A*的第1行与第2行得B* .(C)交换A*的第1列与第2列得- B* .(D)交换A*的第1行与第2行得- B* .三、解答题：15- 23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分11分)x设函数f (x)连续，且L(xt)f (t)dt f (0)0,求极限 limf (x -t)dt0(16)(本题满分11分)1如图，G和C2分别是y (1

6、 ex)和y二ex 的图象，过点(0,1)的曲线C3是一单调增函数的图象 过C2上任一点M (x, y)分别作垂直于x轴和y轴 的直线lx和ly 记C1,C2与lx所围图形的面积为 S,(x) ； C2,C3与ly所围图形的面积为 S2(y).如 果总有S,x)二S2(y)，求曲线C3的方程x二(y).(17)(本题满分11分)如图，曲线C的方程为y = f(x)，点32 是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2, 4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积92科分 (x x) f (x)dx.(18)(本题满分12分)用变量代换x =co

7、st(0 : t ：二)化简微分方程(1 - x2)y - xy y = 0，并求其满足x.=1,yx.=2的特解.(19)(本题满分12分)已知函数f(x)在0, 1上连续，在(0,1)内可导，且f (0) =0, f (1) = 1.证明:(I) 存在；(0,1),使得 f)=1 ;(II) 存在两个不同的点,(0,1)，使得f( )f)=1.(20)(本题满分10分)已知函数z=f(x, y)的全微分dz =2xdx 2ydy，并且f(1,1) = 2.求f (x, y)在椭圆域 D =( x, y) x22牛1上的最大值和最小值(21)(本题满分9分)计算二重积分D316 (k为常数)

8、，kx2 十 y2 1dcr，其中 D =( x, y) 0 兰 x 兰 1,0 兰 y 兰1(22)(本题满分9分)确定常数a,使向量组1二(1,1, a)T ,2二(1, a,1)T , ： - (a,1,1)T可由向量组+ =(1,1,a)T2 =(-2,a,4)T,飞=(-2,a,a)T线性表示，但向量组 “乜、不能由向量组：j, 2, 3线性表示.(23)(本题满分9分)1 2已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c), a,b,c不全为零，矩阵B= 243 6且AB =0,求线性方程组 AX =0的通解.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【详解】先求出函

9、数的导数，再求函数在某点的微分方法1利用恒等变形得y =(1 sinx)x = exln(1 sinx)，于是卜 x In(1 -sin x)y ecosxIn(1 sinx) x，1+s in x从而dy = y (ir)dx =ndx.x=ji方法2：两边取对数，In y二xln(1 sin x)，对x求导，得y=ln(1 sin x)xcosx1 sin xcosx 于是 y = (1 sin x)x ln(1 sin x) x，1+s in x故dy = y(江)dx =兀 dx.(2)曲线3(1 亠 x)1 2的斜渐近线方程为x【详解】由求斜渐近线公式y二ax b (其中a二lim丄

10、，b = liF xlim f (x) - ax)，得:x L :321x 八：x xa =讪便=lim (1 X) x_W xbpmf(x)3.(1 + x)?axlimxtH3-x3x 飞，d cost1 cos2t二-arctan(cost)|2于是所求斜渐近线方程为(3)【详解】通过还原变换求定积分n方法 1 令 x 二 si nt (0 : t ：)，则方法 2：令-、1 -x0 (2 - x2)、1 一 x20 (2 - sin t) cost 0 2 -sin t 二 t，有 x2 =1t2,所以有 xdx 二-tdt，其中 0 : t : 1.【答案】1 xdx0 (2 _x2

11、) J -x21 -dt0fT二 arcta ntxlnxx.39【详解】求方程 3 - P(x)y =Q(x)的解，有公式P(x)dxQ(x)e dx C(其中C是常数).dx-P(x)dxy =e2将原方程等价化为y y = In x，于是利用公式得方程的通解x-x x 50dx2dxy 二e 2 lim lnx ex dx C1 211 C2 x ln xdx C= xlnx x2 ,(其中 C 是常数)x39 x1 11由y(1) 得C = 0，故所求解为yxl nxx.939(5)【详解】由题设,P(x)/+xarcsin xJcosxx arcsi nx + 1cosxkx2lim

12、lim2= lim x0 ： (x) xpkxxT kx2(. 1 x arcs in x. cos x)二丄 lim2k x刃2kxarcs in x 1-cosx 1arcs in x1-cosx又因为1cox;l i mX0x所以由题设：(x)1 “1x 0 : (x)2k 2limarcs inx limX ：x()吒Xr 0 时-：i(x) ：(x)，所以arcs in x 二 u lim = 1 u e sinu存1，【答案】【详解】1111方法 1 因为1 *2 *3)=(123)1，(口1+2口2+4。3)=(。1, Jj十3。2 +9C（3）= （,0（2, 口3）3,9J1

13、 1 1故 B = （% +a2 +a3 % 坨 a2 +4 5 耳 + 3 g2 + 9 =（常,0（2 3）1 2 3 .1 49_记A=（：1,：2,：3），两边取行列式，于是有1B =|A 111 12 3 =1 疋 2 =2.方法2:利用行列式性质4 9(在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变)B =-.：:3：:1 2二2 .去巾宀 3二2 9二32 413 42=些 +0（2 +3,2 +3口3 ,2口2 +8口3 = = = = % +口2 +3,2 +30（3,20（31 42=2 %,。1

14、43=2 % 叫 7卫2 +3,0（3=2 S ao a,心3厶 12 2，3又因为人=些，2,0(3 =1，故B =2A =2.二、选择题【答案】C【详解】分段讨论，并应用夹逼准则，当 |x|：1 时，有乞 n 1 |x|3n 乞 n 2，命 n：取极限，得 lim n 1=1 ,limn2=1， n 厂n ：由夹逼准则得f(x) =lim n订严 -1 ；当 |X|=1 时，f(x) =lim n11 =lim2 =1 nC，当 |x| 1 时，IX I3 二 n |x| 2)一 仁 1 2： 2.设有数 k1,k2，使得 & ： 1 k2 A( ： 2) = 0，则kr1 k2r1 k2

15、 -(k1 k211 k2-0.因2，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故：12线性无关，则ki + k2 人1 = 0,k?畫2 = 0.1 九当c =花学0时，方程只有零解，则ki=0,k2= 0,此时G1, A（Oti+G2）线性0入2无关；反过来，若:-1， A（ 1亠：2 ）线性无关，则必然有2=0（否则，宀与A（1匕2）=、1线性相关），故应选（B）.方法2:将向量组的表出关系表示成矩阵形式12分别是特征值1, 2对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有A冷- 冷，A2 - 22= A（ 匕2） - 仁（1九Ja20為丿因2，因不同特征值对应的特征向量必线性无关,知：1/

16、2线性无关.若1，由于 |：冷，A（ 1 ：.勺）= 冷，12H2A（：1： 2）线性无关，则 r ：1,A（：1 *2）=2，则/*1 1） 11站112 = r（%,。2 ） min 2 r （% ,口2 ）,r兰rI0儿丿11。-2 Jj1。-22，102，从而0=2，从而广1-2，又：，12线性无关，则/1 /-11人r（12 ）=r0-2 几丿I02 /=2，rgAq +企）产r （：1/2=2从而:1，AC、：匕）线性无关的充要条件是二兔2 =0.故应选（B）.方法3:利用矩阵的秩分别是特征值 1, 2对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有A_J -九人一:辺-2-：辺=A

17、（_y 卜工2）- 仁:訂“心二2.因.2，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故1 = 2线性无关，又A（r *2）= 1 * 22，故-1， A（r 叱辽）线性无关=r（: 1, A（: i : 2） = 2将：勺-1咅加到第2列又因为：対，、冷川二2二2=宀匕二2则 r （宀，计、冷.2-2） = r （-； 1,人2丄2） = 2 ：= 2=0 （右，2 0 ,与 r（、； 1,人2；2） = 2 矛盾）方法4:利用线性齐次方程组冷2分别是特征值1, 2对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有A冷- 冷，A2 - 22= A( 匕2) - 仁i：U-1/-2线性无关,由1 =

18、2，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故1,A（1卜二2）线性无关：1, 122线性无关/ 、0妇丿X2丿=0，只有零解,：1,，11 一22 X =0 只有零解，又：j,匸 1 * 22J(12 )I0-2t=0只有零解1,2线性无关时12 丫 =0只有零解，故丫二/ 、X10 -2 丿“2丿=0的系数矩阵是个可逆矩阵,Y 二1（=妇鼻0，故应选（B）0打方法5:由1 = 2 ,1,2线性无关特征向量的定义，有：2分别是特征值1, 2对应的特征向量，根据特征值、A - v：,A： - 22= A（m h.二2）-二:匸边二2向量组I ：冷，爲2和向量组II ： ： 1, A(1壯22)=

19、2 显然向量组II可以由向量组I线性表出；当2=0时，不论的取值如何，向量组 I可以由向量组II线性表出 ；1） （，1用1 川,鼻2； 2 ）=/ 2/ 2亠-丄Ad)，从而I , II是等价向量组=当，2 =0时,r :対，二2= r 宀，2= 2B、（Ei2A）aE ；,2又A4=A，BB，故A E baE12，又因B = A，故 A*E12 = -B(14)【答案】(C)【详解】方法1:由题设，存在初等矩阵Ei2(交换n阶单位矩阵的第 1行与第2行所得)，使得E12A =B，(A进行行变换，故A左乘初等矩阵)，于是又初等矩阵都是可逆的，故巳2=电 ,12 E匚12又巳2 = E = -

20、1 (行列式的两行互换，行列式反号),E12 E12，故* *即A E12 =B，可见应选(C).方法2：交换A的第一行与第二行得 B，即B =E12A.又因为 A是可逆阵，巳2 = -E = 1，故 B| =|E12A =|E12 A= AHO,1 1 1所以B可逆，且B =(巳2人)二A E12. * *B = A E 12 = A E12三、解答题(15)【详解】 作积分变量代换，命 X-t=U，则x0x0 f (x -t)dt = x f(u)(-du)二 0 f(u)du ,于是x0(X-t)f(t)dtXX0 f(X-t)dtXXx0 f(t)dt- 0tf(t)dtXX0 f(u

21、)du整理x0 f(t)dtXo f (u)du - xf (x)洛必达法则上下同除limx 0Xo f(u)du xf(x)1 xX 0f(t)dt1 f(x)-XXn f(t)dtlim fx 0 x 0X而W xX0f(t)df)l t-m0l ifmx x； 0)f(0)所以由极限的四则运算法则得,1 XX0f(t)dt1 X叽；0 f(t)dtf(0)f (0) =0 11 Xf(x)fdtf(0)f(0)lim f (x) lim 1 Xf(t)dt0x 0(16)【详解】由题设图形知，C3在C1的左侧，根据平面图形的面积公式得,1 + 13(x)二.09 二(1 d)dt 匕 -

22、x-1)，yS2(y) = 1 (ln t -(t)dt，由 SNx)二 S2(y)，得1y2(ex -x-1) = 1 (lnt -(t)dt，注意到M (x, y)是y = ex的点，1y于是-(y Tn y T) = J (In t (t)dt11两边对y求导得丄(1 -丄)=ln y -(y)，2 y整理上面关系式得函数关系为：X二(y) =ln y -2y(17)【详解】由直线l1过(0,0)和(2,4)两点知直线l1的斜率为2.由直线l1是曲线C在点(0,0)的切线，由导数的几何意义知f(0) = 2.同理可得 (3) =-2.另外由点(3,2)是曲线C的一个拐点知f “(3) =

23、 0.由分部积分公式，3232233L(x2 +x)f (x)dx= (X2 +x)df (x) =(X2 +x) f ”(x) 0J。f ”(x)(2x + 1)dx= (32 +3)f “(3) _(02 +0)f “(0) _ 0 f “(x)(2x + 1)dx333L (2x +1)df lx) = -(2x +1) f Xx) 0 + 2f x)dx3=(2x3+1)f (3) +(2 x0+1)(0) +2 J。f (x)dx=16 2f (3) - f (0)H 20.y二鱼生一丄矽,ydt dxsi nt dtdy dt r cost dy dt dx sin2t dt丄雪(

24、),sint dt sin t代入原方程,(1cos21)cost dysin2t dt1 d2y sin t dt211 dy卜药向一石即y化简得2? y =0 ,其特征方程为dt22r +1=0,特征根A#-i,通解为 y =Gcost C2sint(18)【详解】dx由题设-cost(0二)，有-sint，由复合函数求导的链式法则得所以 y =G cost C2sin t = C1x C2 一1 -x2，将初始条件 y x=1,代入得，1 =G x0 + C2 J1_02 =C2，即 C2=1.yJCk C/、1-x2 ) = C 2汉0将 yx=0 = 2 代入得 2 = C1 + C

25、1，即 C1 = 2.2“1 一02将G = 2,C2 =1代入通解公式得满足条件的特解为y = 2x1 - x2, -仆：x ： 1.(19)【详解】(I)令 F(x) = f (x) -1 x，则 F(x)在0，1上连续，且 F(0) =1 ： 0, F(1) = 1 0,于是由闭区间连续函数的介值定理知，存在(0,1),使得F)=0, 即卩f)= 1：(II)在0,和,1上对f (x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点f(1)-f()1-于是f ( )f ()f ( ) 1 - f( ) 1 -=r(20)【详解】.:zZZ由 dz=2xdx2ydy知2x,2y2x两边积分得；

26、:x(0, ),( ,1)，使得 f ( ) = f()：(0),f()-022Z-z = f (x, y) = x c(y).将 z(x, y) = x c( y)代入 2y 得 c (y) = 2y .所以2 2 2c(y) = y c.所以z = x -y - c.再由x=1,y=1时z = 2知，c = 2.于是所讨论的函 数为 z = x2 - y2 2.2求z在x2 1,2, 3), B = ( ：1, ：2, ：3)由于：1, ：2, ：3 不能由 1, 2, 3 线性表出，故r(A) ：3，(若r(A)=3，则任何三维向量都可以由宀宀，3线性表出)，从而把第2、行加到第1行2+

27、a提取第1行的公因子(2 a)(2 a)2行-1行3行 -1行(2 a)a -1a -1按第3列展开(2+a) (1)卡沃仆0a -1a-102一(2 a)(a -1) -0无解)，故a = 1符为方程组=故1,2,3：1 栢=?1 =1,1,1，则 1 = 2 =3i 0 上 2 * 0 上 3，2, 3线性表出(因合题意当a = -2时，由于_1B、A= 1-2-2-2 :-2 :-2 :-2-1行,13行 - 1行1 3 1 100-21 _3(其中(-1)1指数中的1和3分别是1所在的行数和列数从而得a =1或a当a =1时,因r(B) =2 =r(B、2)=3，系数矩阵的秩和增广矩阵

28、的秩不相等，故方程组BX -无解，故2不能由1, 2, 3线性表出，这和题设矛盾，故 a - -2不合题意因此a = 1 方法2：对矩阵A =123、，2,3)作初等行变换，有：1，2，3 )=11-2-2a12行_1行，3行_1行耳当 a - -2 时，A -2-2:11a 1a+2a+2:0a -104 +2a3a:01-a 1一 a-2-2:11a1a+2a+2:0a 100a 4:0+3(1-a)1-a-2-2 :11 -2|114aa000-3j0100,不存在非零常数k1,k2, k3，31、1、ss-30+ k20+ k300丿0-6使得：2不能由当a =4时,Lt线性表示，因此

29、a 一2 ；100-2-240-3非零常数k1,k2,k3 ,使得4、50=k10+ k26+ k361一360-：%不能由，：2, ：3线性表.因此a = 4.而当a卞-2且a = 4时，秩r G_,1 H：-2 ? ；3)二3，此时向量组-S,用2, 3可由向量组11aB = (。1,02,。3 必，卩2,爲)=1a1la11：1, ：2, ：3线性表示又1-2-21aaa4a1 12行-1行，|/ 一 / 一0 a -13行一 1行x a：0 1 -aa1 -a1-a21 -20 a+2 a+20 4 2a 3a11a:1-223行 0 a-11 -a: 0a + 2a + 2,2 亠0

30、02aa : 0 6+3a 4a+2由题设向量组=,：2, ：3不能由向量组一:訂，_：2,二3线性表示，则方程组1：-1 2 ：3 X十或?1 ?2 ：3 乂二為或12 -3 *3无解，故系数矩阵的秩=增广矩阵的秩，故r(Bp- n： ： 2 ： 3 .又当 a -2 且 a = 4 时，r (B) = 3，则必有 a-1=0 或 2_a-a2 = 0，即 a=1或 a = -2.综上所述，满足题设条件的 a只能是：a =1.方法3：记A二冷，：宀,B= s辽，一：3 ，对矩阵 A B作初等行变换，得1-2-21aaa4a11 a(A：B)= a 1,鼻 2,肚3： 01,32,33)= 1 a 1a 11维向量都可以由2行-1行，3行1001a -11 -a1 -20 a 204 2a-2 Ia+23a11a:13行+ 2 行 0a11 a: 0亠 2 亠 亠卫02 a a : 01-a2_2a 26 3a由于-1, 2, ：3不能由1,23线性表出，故-2a + 24a 2r(A) 1 = 2 7 3 二：1 * 0 二2 * 0 二 3，1 ,2,3 可由：1, ： 2, ： 3线性表出，但由于r A=1=r