考点36、导数中的证明与探索性问题(原卷版).doc

1、考点36、导数中的证明与探索性问题 【知识框图】 【自主热身，归纳总结】 1、(2017-江苏)已知函数f(x) = ? + av2 + bx + (a O.b e R)有极值，且导函数厂(x)的极值点是/ 的零 点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) 3at 2、(2017镇江期末)已知函数fx) = xnx(x) =a(jt 1 )(z为常数). (1) 若函数)=心)与函数y=g(x)在x=l处有相同的切线，求实数人的值: (2) 若 且xMl,证明：./(x)Wg(x)； 3、(2017南京、盐城二模)已知函数几丫)=3似一1,其中c为自然对数的底数mWR. (1) 若=c,函

2、数 g(x)=(2c)x 求函数/心)=/U)-g的单调区间； 灾) xW加 若函数F(x)=S)的值域为R求实数m的取值范馬 曲) (2) 若存在实数.门卫曰0,2,使得/)=.心2),且站一刈工1,求证：c-lW“Wc2-c 4、(2017 扬州期末)已知函数/(x)=g(Y)力(x),其中函数 g(x)=e/i(x)4-ax+a. (1) 求函数g(x)在(l,g(l)处的切线方程； (2) 当0“0). (1) 当a=l时,求证：对于任意x0,都有f(x)0成立： (2) 若函数y=f(x)恰好在x=xi和x=X2两处取得极值，求证：4z2na+2. 【变式2】(2018常州期末)已知

3、函数f(x)=( x + a)了其中a为常数. 若a=O求函数f(x)的极值； (2) 若函数f(x)在(0.a)上单调递增,求实数a的取值范用； (3) 若a= 1,设函数f(x)在(0,1)上的极值点为Xo,求iiE： f(x0)3时,记函数.心)的导函数f (兀)的两个零点是xi和q(x】X2),求证： 、 【变式 4】(2018 南京、盐城一模)设函数 f(x)= Inx,g(x)=ax4-c(a,b.cGR). (1) 当c=O时,若函数_/U)与g的图像在x=l处有相同的切线，求”的值； (2) 当b=3-a时，若对任意x0G(l,+oo)和任意“丘(0,3),总存在不相等的正实数

4、小卫,使得3)=孔切 =/(),求c的最小值； (3) 当“=1时,设函数y=_/(x)与y=g(x)的图像交于A(x),8(*2,)吩(小5)两点.求i正：xX2X2处取得极大值或极小值，则称/为函数y=f(x)的极值 点 设函数 f(x)=x3tx2-l-l(tGR). (1) 若函数_Ax)在(0.1)上无极值点，求/的取值范围； (2) 求证：对任意实数f,函数./U)的图像总存在两条切线相互平行： (3) 当t=3时，函数7U)的图像存在的两条平行切线之间的距离为4,求满足此条件的平行线共有几组. 【变式1】(2019苏州三市、苏北四市二调)已知函数f(x)=2/nx+|x2ax,a

5、GR. (1) 当“=3时，求函数夬x)的极值： (2) 设函数.心)在a=x0处的切线方程为尸g(x),若函数 =心)一g(x)是(O.+ 8)上的单调增函数求丸的 值： (3) 是否存在一条直线与函数y=Ax)的图像相切于两个不同的点？并说明理由. 【变式2】(2018苏州暑假测试)已知函数f(x)=(ax2+x)eJt中e是自然对数的底数aWR. (1) 若./V)是函数用)的导函数，当“0时,解关于a-的不等式/(x)e (2) 若.心)在一 1,1上是单调递增函数，求“的取值范用； (3) 当a=O时,求整数k的所有值,使方程Av)=x+2在U+1上有解. 【变式3】(2017苏北四市期末)已知函数心)=立一eg?=lnx“WR. (1) 解关于xCvWR)的不等式./U)WO： (2) ilE 明： (3) 是否存在常数“血使得J(x)ax+bx)对任意的x0恒成立？若存在，求岀的值；若不存在, 请说明理由. /( 1 【变式4】(2017南京、盐城一模)设函数j(x)=nxx)=ax+-一3(t/ER). 1 (1) 当“=2时,解关于x的方程g(er)=O(其中c为自然对数的底数)： (2) 求函数0(x)=/U)+g的单调增区间： (3) 当g