高考中的创新题型的解题策略

1、2008高考考前数学专题讲座高考中的创新题型的解题策略主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙一、复习策略数学的创新题是相对于传统命题方式而言的，这类题目没有明确的条件或结论，或解题方向不明，自由度大，具有相当大的不确定性，需要通过对问题的观察、分析、类比、归纳等处理过程方能解决，其难度大，要求高，是训练和考查学生的数学思维能力，分析问题和解决问题能力的好题型，数学创新题以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，为高层次思维创造了条件，是挖掘、提练数学思想方法，充分展示应用数学思维方法的良好载体，所以在高考中所占的比重会越来越大。在高考中的创新题型一般分为三类：第一类是定义信息型创新题；第二

2、类是情景创新题，第三类是类比型创新题，第四类是跨学科型创新题。二、典例剖析题型一：定义信息型创新定义信息型创新题是近几年出现的新题型，因此此类型的背景新颖、构思巧妙，且又能有效地区别学生的思维品质和学习潜力，所以备受师生的青睐，解答这类问题通常分为三大步骤：（1）对新定义进行信息提取，确定归纳的方向；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法；（3）对定义中提取的知识进行转换，有效的输出，其中对定义信息的提取和化归是解题的关键，也是解题的难点。例1（06年广东卷）对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则（）AB CD思路分析：按定义求出p，q的值解

3、：由得，所以，故选B例2.(06年上海)如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”已知常数p0，q0，给出下列命题：若pq0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；若pq0，且pq0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个；若pq0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个上述命题中，正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3思路分析：（p，q）的个数就是到直线l1的距离为p的直线与到直线l2的距离为q的直线的交点的个数，作出满足条件的直线即可解：选（D）正确，此点为点O；正确，注意到p

4、，q为常数，由p，q中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为q（或p）；正确，四个交点为与直线l1相距为p的两条平行线和与直线l2相距为q的两条平行线的交点点评：概念型创新题特点是首先给出一个定义，然后根据定义提出一系列问题解决此类问题，先要认真理解题目给出的定义，把握定义的本质，在此基础上按定义处理问题 例3（07年福建卷）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等如果集合A中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意，都有；（2）对称性：对于，若，则有；（3）传递性：对于，若，则有则称“”是集合的一

5、个等价关系例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）请你再列出三个等价关系：_解：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、 “非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.例4（06年福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”：AB=|x1x2|y1y2|给出下列三个命题：若点C在线段AB上，则ACCB=AB;在ABC中，若C=90，则AC2CB2=AB2；在ABC中，ACCBAB其中真命题为_.解：对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”：AB=|x1x2|y1y2|，若点C在线段AB上

6、，设C点坐标为(x0，y0)，x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则=在中，=命题成立，而命题在中，若则明显不成立则应填.例5（07北京）已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，其中是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n若对于任意的，总有，则称集合A具有性质P（I）检验集合与是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；（II）对任何具有性质P的集合A，证明：；（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论（I）解：集合不具有性质P集合具有性质P，其相应的集合S和T是，（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对共有个因为，所以；又因为当时，时，所以当

7、时，从而，集合T中元素的个数最多为，即（III）解：m=n，证明如下：（1）对于，根据定义，且，从而如果与是S的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立故与也是T的不同元素可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即，（2）对于，根据定义，且，从而如果与是T的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，故与也是S的不同元素可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即，由（1）（2）可知，例6设、R，常数定义运算“”：（1）若求动点轨迹C的方程；（2）若，不过原点的直线l与x轴、y轴的交点分别为T、S，并且与(1)中轨迹C交于不同的两点P、Q ，试求的

8、取值范围；（3）设是平面上的任一点，定义、若在（1）中轨迹C上存在不同的两点A1、A2，使得成立，求实数a的取值范围解答：（1）设，又由，可得动点轨迹C的方程为：（2）由题得，设直线，依题意，则都在直线l上，则由题，.由消去得，代入得，又知，所以.即的取值范围是（3）由，设，依题意则有，且，又，即且，故方程在有两个不等的实数解平方整理有，在有两个不等的实数解又，得故实数的取值范围是 题型二：情境创新题这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体可以较好的考查学生的学习能力，阅读理解能力，数学思维能力等由于突出体现了“考思维能力与创新意识”

9、这一特色，所以，在近几年的高考中，备受命题者的青睐例7(06陕西卷)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文(加密)，接收方由密文明文(解密)，已知加密规则为:明文a，b，c，d对应密文a2b，2bc，2c3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（）A4，6，1，7B7，6，1，4C6，4，1，7D1，6，4，7思路分析：本题的本质是一种对应，根据对应法则求出a，b，c，d的值解：当接收方收到密文14，9，23，28时，则，解得，解密得到的明文为C例8某娱乐中心有如下摸奖活动：拿8个白球和8个黑球放在一盒中

10、，规定：凡摸奖者，每人每次交费1元，每次从盒中摸出5个球，中奖情况为：摸出5个白球中20元，摸出4个白球1个黑球中2元，摸出3个白球2个黑球中价值为0.5元的纪念品1件，其他无任何奖励（1）分别计算中奖20元、2元的概率；（2）若有1560人次摸奖，不计其他支出，用概率估计该中心收入多少钱？思路分析：本题是等可能事件的概率问题，用等可能事件的概率公式求解解：（1）由已知中奖20元的概率P1=；中奖2元的概率P2=；中奖0.5元的概率P3=（2）由（1）知体彩中心收费为1560元，付出1560201560215600.5=1080元，收入=15601080=480元故知中奖20元、2元的概率分别

11、为: 、;估计该中心收入480元点评：概率问题是高考命题的主干知识，涉及到的问题情景是常考常新的，多数是与生活实际和生产实际相关联的例9（06年北京卷）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段、的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（）A.B. C.D.解：依题意，有x150x355x35，x1x3，同理，x230x120x110，x1x2，同理，x330x235x25，x3x2，故选C.例10这是一个计算机程序的操作说明：（1）初始值为；（2）（将当前的值赋予新的）

12、；（3）（将当前的值赋予新的）；（4）（将当前的值赋予新的）；（5）（将当前的值赋予新的）；（6）如果，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行；（7）打印；（8）程序终止由语句（7）打印出的数值为_，_ 请写出计算过程：点拨与提示：我们不难看出，该问题是一个循环、迭代的过程为了更好的理解题意，我们不妨按照这个程序操作几次： nxyz判断初始值0110z7000，返回（2）一轮操作1325z7000，返回（2）二轮操作25425z7000，返回（2）三轮操作37881z7000，返回（2）就此操作下去，并不难得出答案，这也是本题的一种计算方法从另一个角度考虑，本题中我们比较难以理解的是这样的

13、语句：“；”，虽然题目中已经给出很好的解释，但是，按照我们通常的认识，应该用不同的符号来分别表达新值与旧值，如何从数学上较好的体现新值与旧值之间的不同，以及它们之间的联系呢？事实上注意到在整个计算的过程中，一方面，n的值似乎只起到一个计算第几轮的作用，另一方面，随着n的变化，的值随之变化从这一个角度，不难想到，数列是一种较好的表示方法答案：题型三：类比归纳型创新题类比归纳题型可锻炼学生的创造性思维，培养学生的创新精神和创造力，又因为其思维含量高、知识覆盖面广，综合性强、难度大，而且命题形式丰富多彩，因而备受高考命题者的青睐。“由特殊到一般”是解决这类题型的思维主线，主要类型有：（1）研究命题本

14、身，对命题进行拓展，我们所熟悉的“观察归纳猜想证明”是解决这类问题的常用方法，对命题拓展时要注意它们外在的形式特征，抓住规律性的东西。（2）解决问题的方法，对命题进行论证，对于给出的一般性结论，我们可先研究其简单的情形，通过类比归纳，探索出解决问题的方法。（3）穷举归纳，完善命题，可能的情形如果不是太多，即可通过全部列出的方法解决问题。例11对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题可以得到命题_，这个命题的真假性是_ .解：“如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角的平面角相等或互补”.当两棱不平行不成立，所以，这

15、个命题是错误的. 例12在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4堆最底层（第一层）分别按如图所示方式固定摆放，从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)=_；f(n)=_.（答案用n表示）.解析：f(3)=1（12）（123）=10，.例13已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.

16、 试对双曲线C：=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.解：类似的性质为若MN是双曲线=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（m，n），其中=1又设点P的坐标为（x，y），由kPM=，kPN=，得kPMkPN=，将y2=x2b2，n2=m2b2，代入得kPMkPN=.点评：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力，它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求.例14（2000上海）规定，其中x

17、R，m是正整数，且=1，这是组合数（n、m是正整数，且mn的一种推广）.（1）求的值；（2）组合数的两个性质：.是否都能推广到（xR，m是正整数）的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由.（3）已知组合数是正整数，证明：当xZ，m是正整数时，Z.（1）解：.（2）解：性质不能推广.例如当x=时，有定义，但无意义；性质能推广，它的推广形式是，xR，m是正整数，事实上当m=1时，有，当m2时，.（3）证明：当xm时，组合数Z.当0xm时，=0Z.当x0时，xm10，Z.题型四：学科间综合创新问题学科间综合创新题注重了数学的现实性与时代性，关注生活、关注热点，命题呈现题意新颖、题型创新的特点，跨学科的题目通常与物理、化学、生物等学科交叉。解决这一类题目的关键是从题目中构造数学模型，利用数学知识来解决。通常用到的数学知识有函数、数列、不等式、概率等。例15一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米 / 秒2的加速度匀加速开走，那么（）A人可在7米内追上汽车 B人可在10米内追上汽车C人追不上汽车，其间距离最近为5米D人追不上汽车，其间距离最近为7米思路分析：本题是一道加速行程问题，