初中几何最值问题

1、初中几何最值问题 例题精讲 一、三点共线 1构造三角形 【例1】在锐角VABC中，AB=4, BC=5, / ACB=45将ABC绕点B按逆时针方向旋转， 得到AiBCi .点 E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在 AABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的 对应点是点Pi，求线段EPi长度的最大值与最小值. 【巩固】以平面上一点0为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作AAOB 和 ACOD，其中/ ABO= / DCO =30 如图，若 BO=3J3，点N在线段0D上，且N0=2 .点P是线段AB上的一个动点， 在将AOB绕点0旋转的过程中，线段 PN长度的最小值为 ，最大值为.

2、 A P 0 N B D 0 N 备用图 【例2】如图，MON 90 矩形ABCD的顶点A. B分别在边OM , ON上，当B在边ON上运动时，A 随之在边OM上运动，矩形 ABCD的形状保持不变，其中 AB=2 , BC=1，运动过程中，点 D到点 O的最大距离为 【巩固】已知： AOB 中，AB OB 2 , COD 中，CD OC 3,Z ABO / DCO .连接 AD、BC , 点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点 若A、O、C三点在同一直线 上，且/ABO 2, 固定 AOB，将 COD绕点O旋转，则PM的最大值为 【巩固】在平面直角坐标系 xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的

3、正半轴上，点 M为线段AB的中点.点 D、E分别在x轴、y轴的负半轴上，且 DE AB 10 .以DE为边在第三象限内作正方形 DGFE，请求出线段MG长度的最大值，并直接写出此时直线MG所对应的函数的解析式. 11 【例3】如图，已知A( ,%), B(22)为反比例函数y 图像上的两点，动点 P(x,O)在x正半轴上运 2x 动，当线段 AP与线段BP之差达到最大时，点 P的坐标是 2、轴对称 【例1】求.x 3 24. x21的最小值 【例2】AB CD是半径为5的e O的两条弦， AB 8，CD 6，MN为直径， AB MN于点 E,CD MN于点F , P为EF上任意一点，贝U PA

4、+PC的最小值为 【巩固】设半径为1的半圆的圆心为O,直径为AB,C、D是半圆上两点，若弧 AC的度数为96 弧BD 的度数为36动点P在直径AB上，贝U CP+PD的最小值是 【巩固】设正三角形 ABC的边长是2, M是AB边上的中点，P是边BC上任意一点，则 PA+PM的最 大值为，最小值为 【例3】如图，已知等边ABC的边长为1 ,D、E、F分别是AB、BC AC边上的点(均不与点A、B、C重 合)，记 DEF的周长为p若D、E、F分别是AB BC AC边上任意点，则p的取值范围是 【例4】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2 + 2x+ 3与x轴交于A. B两点，与y轴交于点C

5、, 点D是抛物线的顶点. (1) 求直线AC的解析式及B. D两点的坐标; M的坐标. (2) 请在直线 AC上找一点M，使 BDM的周长最小，求出点 / 卜y 3 卜 0 1 图1 【例5】如图，直线y 3 *x 2分别交x轴、y轴于C、A两点，将射线 3 线AN, D为AM上的动点，B为AN上的动点，点 C在/ MAN AM绕点A顺时针旋转 45。得到射 的内部. (1) (2) 求厶BCD周长的最小值; 当AM / x轴，且四边形 ABCD为梯形时，求 BCD的面积; (3) N 备用图 备用图 【例6】在直角坐标系中， A 1, 2 , B 4, 1 , C m,0 , D n, n为

6、四边形的 4个顶点，当四边形 ABCD的周长最短时, 【巩固】如图1,抛物线y= ax2 + bx+ c (a0的顶点为C (1, 4),交x轴于A、B两点，交y轴于点D, 其中点B的坐标为(3, 0)。 (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,若直线 G、H的坐标；若不存在，请说明 PQ为抛物线的对称轴，点 G为直线PQ上的一动点，贝U x轴上师范存在一点 H，使D、G、H、F 四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点 理由。 _ _ 2 【例7】已知，如图1, 二次函数y ax 2ax 3a a 0的图像的顶点

7、为 H，与x轴交于A、B两点(B在 A的右侧)，点H、B关于直线I : y _x 3对称. 3 (1 )求A、B两点的坐标，并证明点 A在直线I上； (2 )求二次函数的解析式； (3) 过点B作BK / AH交直线I于点K , M、N分别为直线 AH和直线I上的两个动点，连结 HN、NM、MK，求 HN NM MK 的最小值. 【巩固】如图，在平面直角坐标系 xOy中，二次函数yx2 bx c的图象与x轴交于A (-1,0)、B (3,0) 2 两点，顶点为C . (1) 求此二次函数解析式； (2) 点D为点C关于x轴的对称点，过点 A作直线l : y fx -3交BD于点E,过点B作直线

8、 33 BK / AD交直线l于K点问：在四边形 ABKD的内部是否存在点 P,使得它到四边形 ABKD四 边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 在(2)的条件下，若 M、N分别为直线AD和直线I上的两个动点，连结 DN、NM、MK , 求 DN NM (备用图) 【例8】在平面直角坐标系中，矩形 OACB的顶点0在坐标原点，顶点 A、B分别在x轴、 y轴的正半轴上， 0A 3，0B 4，D为边0B的中点 CDEF的周长最小时，求点 E、F的坐标 (H)若E、F为边0A上的两个动点，且 EF 2，当四边形 【巩固】已知点 A (3, 4)，点B的坐标为(-1, 1

9、)时，在x轴上另取两点E, F，且EF=1.线段EF在 x轴上平移，线段 EF平移至何处时，四边形 ABEF的周长最小？求出此时点 E的坐标. 11 2 【例9】已知直线y X 1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y _ x? bx C与直线交于A、E 22 两点，与X轴交于B、C两点，且B点坐标为(1, 0). (1 )求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM MC |的值最大，求出点 M的坐标。 _3 【巩固】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y -X 6与X轴、y轴的交点分别为 A、B，将/ 4 OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于

10、点C. (1)直接写出点C的坐标，并求过 A、B、C三点的抛物线的解析式； (2)设抛物线的对称轴与直线 范围. BC的交点为T, Q为线段BT上一点, 直接写出|QA QO的取值 3、旋转 【例1】如图，已知在 ABC中，BC=a, AC=b，以AB为边作等边三角形 ABD.当/ACB变化 且点D与点C 位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的/ ACB的度数. 【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(0,2),点D在x轴的正半轴上，ODB 30 , OE BOD的中线，过B、E两点的抛物线y ax23x c与x轴相交于A、F两点(A在F的 6 左侧) (1) 求抛物线的

11、解析式； (2) 点P为三角形ABO内的一个动点，设 m PA PB PO，请直接写出m的最小值，以及m取 得最小值时，线段 AP的长 【巩固】已知矩形 ABCD, 和H的位置，使得 AD=10, AB=6，在矩形 AP DP PH最小 ABCD内有一点 B H C 【巩固】直角梯形 ABCD中，B C 90，在梯形内求作一点 0使OQ BC于Q且OA+OD+OQ 的值最小 、垂线段最短 【例1】已知AB 10,p是线段ab上任意一点，在 AB的同侧分别以 APC和BPD，则线段CD长度的最小值是 AP和BP为边作两个等边三角形 【例2】如图，在锐角VABC中，AB 4J2, BAC 45 B

12、AC的 平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则 BM MN的最小值是 . 【巩固】矩形ABCD中，AB 20, BC 10.在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小, 求这个最小值 【例3】如图，在 ABC中，AB=15 , AC=12, BC=9，经过点C且与边AB相切的动圆与 CB、CA分别相 交于点E、F，则线段EF长度的最小值是 【例4】已知在VABC的BC边上取一点D，设VABD和VACD的外接圆的圆心分别是 O和O，求：使两圆 半径为最小值时点 D的位置 C 【巩固】点M在VABC的AC边上，分别作VABM和VCBM的外接圆。问当 公共部分的面积最小？

13、M点在什么位置时，两外接圆 【例5】在已知VABC内，作内接矩形 DEMN，使一边DE在最大边BC上，另外两个顶点 M、N分别在边 AC，AB上。试确定矩形 DEMN的位置，使对角线 DM长最短 A 【巩固】点P在锐角VABC的边上运动，试确定点 P的位置，使PA+PB+PC最小，并证明你的结论 【例6】如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A B两点，D为抛物线的顶点， 0为 坐标原点若 OA、0B( OA OB)的长分别是方程x2 4x 30的两根，且 DAB 45 (1) 求抛物线对应的二次函数解析式； (2) 过点A作AC AD交抛物线于点 C，求点C的坐标； (3)在(

14、2)的条件下，过点 A任作直线I交线段CD于点P,求C、 D到直线I的距离分别为 d-i d2，试求d!+d2的最大值. *y D c 【例7】在直角坐标系中，点A坐标为（-3, -2），圆A的半径为1 , P为x轴上一动点，PQ切圆A于点Q, 则当PQ最小时，P点的坐标为 【巩固】如图，在平面直角坐标系中，已知 OAB是等腰三角形（0B为底边），顶点 A的坐标是（2 ,4）, 点B在x轴上，点Q的坐标是 6 ,0 ，AD x轴于点D，点C是AD的中点，点P是直线BC上的一动点 （1）求点C的坐标 （2） 以点P为圆心、2为半径作圆，得到动圆 eP，过点Q作eP的两条切线，切点分布为 E、F，

15、问： 是否存在以O、E、P、F为顶点的四边形的最小面积为S ?若存在，请求出 S的值；若不存在， 请说明理由. 三、与圆相关的最值 1、过圆内任一点的弦中, 最长的弦是直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的弦 【例1】如图，O O的半径为5,点P到圆心O的距离为.、10，如果过点P作弦，那 么长度为整数值的弦的条数为 2、设A是OO内一点，在连接 A与圆上各点的线段中，圆心所在线段最短，圆心在其反向延长线上的线段 最长; 最短 【例1】 在直线MN的同侧有定点 A及定圆圆0,试在 MN上求一点P,在圆0上求一点 Q,使AP PQ最 【例2】 点P在图形M上，点Q在图形N上，记dmax M , N

16、为线段PQ长度的最大值, dmin M , N 为线 A是OO外一点，在连接 A与圆上各点的线段中，圆心所在线段最长，圆心在其延长线上的线段 d max M , N d min M , N 2 段PQ长度的最小值，图形 M、N的平均距离Ed M , N 1 /3一 (1) 在平面直角坐标系 xOy中，e 0是以0为圆心，2为半径的圆，且 A -，石 ,B 2,2 . 3 , 求Ed A,e 0及Ed B,e 0 ；(直接写出答案即可). (2) 半径为1的eC的圆心与坐标原点 0重合，直线y 在(2)的条件下，如果 eC的圆心C从原点沿x轴向右移动，eC的半径不变，且 5 x Ed G,e C

17、 2，求圆心C的横坐标. -3与x轴交于点D，与y轴交 33 于点F ,记线段DF为图形G，求Ed G,e C . 3、过圆上点作割线的垂线段，当圆心在这垂线段上时，该点是圆上所有点中到这割线的距离最长的点 1 【例1】已知：AB是e O中一条长为4的弦，P是e O上一动点，cos APB .问是否存在以 A、P、B 3 为顶点的面积最大的三角形 ，试说明理由；若存在，求出这个三角形的面积. 4、过圆上的一点作与圆相离的直线的垂线段，当圆心在这条垂线段上时，这点是圆上所有点与该直线距离 最长的点；当圆心在这条线段的反向延长线时，这点事圆上所有点与该直线距离最短的点 【例1】如图，AB是半圆的直

18、径，线段 CA丄AB于点A,线段DB上AB丄点B, AB=2, AC=1, BD=3, P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是 A O B 5、一条弧所对的圆内角大于它所对的圆周角，而这圆周角则大于该弧所对的圆外角 【例1】B为 MON的边0M上的两点，试在 ON上求作一点C,使 ACB最大 【例2】如图所示，直线 CD与线段AB为直径的圆相切于点 D，并交BA的延长线于点 C，且AB 2， AD 1，P点在切线CD上移动当 APB的度数最大时，则 ABP的度数为 四、转化类 【例1】如图，正方形 ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点（可与 B点或C点重合），分别过B

19、C、 D作射线AP的垂线，垂足分别是 B 为. C、D,贝U BB +CC +DD的最大值为 ，最小值 【巩固】在VABC中, A 120 , BC 6，若VABC的内切圆半径为r，则r的最大值为 【例2】已知抛物线y ax2 bx c经过A 4,3、B 2 ,0两点，当x 3和x3时，这条抛物线上对应 的纵坐标相等.经过点 C 0 , 2的直线I与x轴平行，O为坐标原点. (1)求直线AB和这条抛物线的解析式; A,判断 (2)以A为圆心，AO为半径的圆记为圆 直线I与圆A的位置关系，并说明理由； (3) 设直线AB上的点D的横坐标为 1,P m ,n 是抛物线y ax2 bx c上的动点，

20、当APDO的周 长最小时，求四边形 CODP的面积. 【例3】在平面直角坐标系 xOy中，O O的半径为2,且A (4, 0) , B (4, 4)，点P在O O上运动。 (1)求2BP+AP的最小值。 4 (2)若点M是函数y (x0,xM2)的图象上一点, x ME丄x轴于点E, MF丄y轴于点F，记M的横坐 2t 标为t (t0,t工2，请用含t的表达式表示PE - PF的最小值。 t2 I TB 1 -r- 1 1 1 1 1 I 1 : 1 1 1 1 1 ! i 11 1| 11 11 1 1 11 ii II i r 1 i i Z i i、 i _ 亠 t/ T i 1 / I 1 i 1 1 I i O f :A ； i A 1 1 1 / : p IT I i 7 i I i