【100所名校】2019届福建省三明市第一中学高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

1、2019届福建省三明市第一中学 (II )若?丰?，求实数？?勺取值范围 (II)求数列茅的前？项和? 18 .已知？ = v3cos2?+ sin?cos? ? (1)求函数?的最小正周期及单调递减区间； (2)在?中?角？?？所对的边分别是？?？若？_?- n = V, ?= 2，且?面积为 2 6/ 2 v3，求？ 19 .如图，AB为圆0的直径，点E、F在圆0上，AB EF，矩形ABCD所在平面和圆 0所 在平面垂直，已知 AB= 2, EF = 1. (I) 求证：平面 DAF丄平面CBF ; (II) 若BC= 1,求四棱锥F ABCD的体积. ? ? 20 .已知椭圆?:?+ ?

2、2= K? ? )的左焦点为F,上顶点为 A，直线AF与直线?+ ? 3v2 = 垂直，垂足为B,且点A是线段BF的中点. (I)求椭圆C的方程； (II )若M, N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线 MP与 直线?= 4交于点Q,且?= 9,求点P的坐标. ? 21 .已知函数?(?= In?+ ? ? (1) 讨论函数？?(?的单调性； 2? 1 (2) 当？? 时，证明？?(?戸一二. 22 .选修4-4:坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系 ?中?圆？?勺参数方程为 ?:?=1 +S?(?为参数).以原点？?为极点, ? 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位

3、长度建立极坐标系 (I)求圆？?勺普通方程及其极坐标方程; (II)设直线?的极坐标方程为？?sin(?$ ?) = 2,射线?=匸与圆？的交点为？与直线?的交 3 /6 点为Q,求线段PQ的长. 23 .选修4-5 :不等式选讲 已知不等式|2?+引+ |2?- 1| log22 = log 33 log32 0 ,且函 数在0,+s )单调递减，故?0) ?log32) ?-log 23).所以选 A. 【点睛】 本小题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，以及对数比较大小等知识，属于中档题考查 奇偶性方面，若函数为奇函数，则满足 ？?-?) = -?(?，若函数为偶函数，则满足 ?= ?-

4、?)奇 函数在？轴两侧的单调性相同，偶函数在？?由两侧的单调性相反 4. C 【解析】 【分析】 将？?用?,?来表示，求得？的值，进而求得?的值 【详解】 由于数列是等比数列，所以有？=斗孵=兰暮)= 14，解得？?= -3或？?= 2，当？?= -3 时，？ = ? = 2 ?(-3 )3 = -54 ;当？?= 2时，？ = ? = 2 ?23 = 16.故选 C. 【点睛】 本小题考查利用基本元的思想求解等比数列的公比，考查等比数列的通项公式及前？项和公式. 要注意有两个解，属于基础题 5. A 【解析】 【分析】 根据空间中直线与平面的位置关系，对四个命题逐一进行判断，由此得出正确的

5、选项 【详解】 对于，直线？可能在平面？内，故错误.对于，？?两条直线可以相交，故错误对于，直 线？可能在平面？内，故错误对于，？?两条直线可以异面故没有正确的命题，所以选A. 【点睛】 本小题主要考查空间直线和直线平行、直线和平面平行的位置关系的判断可以举出反例，证 明命题是错误命题.属于基础题. 6. D 【解析】 【分析】 画出可行域，通过平移直线2?+ 3?= 0，求得？的取值范围，由此判断正确选项. 【详解】 好教育云平台 名校精编卷答案第1页(共14页)好教育云平台 名校精编卷答案第3页(共14页) 画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点？1,5)处取得最大值为17,在点？1

6、,1)处取 ?= 1,所以？?= ?= ?= 2,即三角形？?为?等边三角形，内角为 ,由正弦定理得2?= 3 好教育云平台 名校精编卷答案第5页(共14页)好教育云平台 名校精编卷答案第4页(共14页) ? sin? 一n ?= J3，故球的表面积为4 n? = 4 n3 =耳故选d. 【点睛】 本小题主要考查线性规划求目标函数的取值范围画出可行域后，可将目标函数2? 3?+ 2?寸 应的基准直线2?+ 3?= 0平移到可行域边界的位置，注意是纵截距的边界位置，由此求得最大值 或者最小值要注意的是，如果对应的不等式没有等号，则可行域的边界为虚线，不能取到边界值 7. A 【解析】 【分析】

7、椭圆焦点三角形的面积公式为？?= ?tan 2，直接代入公式可求得面积 【详解】 由于椭圆焦点三角形的面积公式为？?= ?tan?故所求面积为16tan30 =耳空，故选A. 2 3 【点睛】 ? 本小题主要考查椭圆焦点三角形的面积，椭圆焦点三角形的面积公式为？?= ?tanp将题目所 给数据代入公式，可求得面积属于基础题. 8. D 【解析】 【分析】 画出圆锥的轴截面对应的三角形？?由于圆锥的顶点和底面圆周都在球0的球面上，故球 心为三角形?外心，球的半径为三角形 ？?接圆半径通过正弦定理求得三角形 ？?接圆半 径，进而求得球的表面积 【详解】 画出圆锥的轴截面对应的三角形?下图所示，由于

8、圆锥的顶点和底面圆周都在球0的球 面上，故球心为三角形 ?外心，球的半径为三角形？?接圆半径依题意？?= v3, ?= 【点睛】 本小题主要考查求解几何体外接球的表面积此类问题的关键在于找到球心的位置本题是通过 对圆锥轴截面三角形的分析得到球心的位置属于中档题 9. D 【解析】 【分析】 三角函数在对称轴的位置取得最大值或者最小值，即？ n) = sin (? n + -3) = 1,对选项逐一排 3 除，可得到正确选项 【详解】 由于三角函数在对称轴的位置取得最大值或者最小值，即? n) = sin (?冗+专=1,显然，当 3 1冗冗冗 ?= 6时，sin (6 + 3) = sin?

9、= 1符合题意，其它选项不符合 故选D. 【点睛】 本小题主要考查三角函数的对称轴，三角函数在对称轴的位置取得最大值或者最小值属于基 础题 10. B 【解析】 【分析】 二元二次方程是圆的方程，要满足 ？+?- 4? 0.由于过？可以做圆的两条切线，故 ？点在 圆外将？点的坐标代入圆的方程，变为关于 ？的一元二次不等式，解这个不等式可求得 ？的取值范 围 【详解】 由于过？可以做圆的两条切线，故 ？点在圆外将？点的坐标代入圆的方程得， 1 + 4 + ?+ 4 + ? 0,即？+?+ 9 0，由于其判别式为负数，故恒成立 另外二元二次方程是圆的方程，要满 足? + ? - 4? 0，即?+

10、22 - 4? 0,即? 0.而判断一个点和一个圆 的位置关系，可将点的坐标代入圆的方程，根据所得的结果来进行判断 11. A 【解析】 【分析】 根据椭圆的对称性可知，/ ?=?/ ?=?n,由此可求得？两点的坐标，将坐标代入椭圆的 4 方程，化简后可求得椭圆的离心率 【详解】 根据椭圆的对称性可知，/?=?/?=?n,故？点的坐标为（？,？），代入椭圆方程得4+ _?= ? 2I 启 1, ?2 = 3，故椭圆离心率为？?= “ - （? = 21- 3 =亍.故选A. 【点睛】 本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的对称性椭圆是中心对称图形和轴对称图形.要 求椭圆的离心率只需要得到

11、？?或者？?的一个方程，化简后可以得到离心率.这个属于方程的思 想，？?是三个参数，而椭圆中？= ?+ ?是固定的，所以再加上一个条件，就可以求得任意两 个参数的比值，也可以求得离心率 12. C 【解析】 【分析】 In?In?1 令?= 0,得到？?=茹，令?（?=讦，利用导数求得函数在区间?,?上的单调区间，求得 最值和端点的函数值，由此求得？的取值范围 【详解】 函数的定义域为（0,+8 )，令?= 0，得到?=專令?(?= , ?(? = 1-21 n? ? ,当？ 1 1 1 1 ?时，? (? 0,即在?,?上单调递增当? ?,?时,? (? 0,即在?,?上单调递减 1 1 *

12、 1 * * 1 所以函数在？?= ?处取得极大值也即是最大值 ？（?？）=可?而？（?？）=石刃?（?=予，且？（?？） 0和? 0时，代入 詁? + ? ?+2? |? 8|? + ? ? |? 1 而+帀8 + 本小题主要考查已知？?求？?的方法，考查利用错位相减求和法求数列的前 ?项和.属于中档题. ? 2/Z1?空=9当g 0时代入丄+兰=竺?+也= 4|?82|?8|? 上+耳- 4|? 1+ 2 2 ?旦=?故最小 84|?8 18.( 1) ?+?吕?(？? ； ( 2) ?= 2霭或2V7 【解析】 【分析】 ?+ ? 2v? + ? 2?也可 【点睛】 本小题主要考查基本不

13、等式求最值.基本不等式的公式是 （1 ）由降幕公式和倍角公式及辅助角公式，可求得？?？= sin （2?+巧+兰，再求最小正周期 3 2 ?+? 2 ?+?乡 以是？?姿（石-） 盲-.本小题所要求的式子中，没有办法直接利用基本不等式来求最小值，需要 ? ? 1 及单调递减区间。（2）由？?-）=匕，可求得sin?=三，再由面积公式?；?=?- ?sin,?求得 ?= 4，由角A的余弦定理求的边？?勺值。 对已知条件进行变换，然后利用1的代换”，将所求式子变为可以用基本不等式的形式来求得最小 【详解】 17 .( I) ? = 3?- 1, ? ?. (1 )T ?=丰(1 + cos2? +

14、 sin2?= sin (2?+ 才) (II) ?= 16- 3?+6 2? ?= = n 【解析】 令 2?冗 + - 2?+ - 2?冗+ 号得 ?n+ 12 ? 2 ?7? 故?的单调递减区间为?石J?；!? （? 比数列的形式，故用错位相减法求其前？项和. ?、习 一 (2) ?2 - -) = sin?+ = V3 【详解】 sin ?=弓 3 c ? (I)T ?= 2?+ ? ,(?) 1v3 ?=? _ ?sin=?= 2 2 2 V3 3?31 当 ?2时，?= ?- ?-1 = 3?+ - 2(?- 1)2+ 2(?- 1) = 3?- 1 又当？?= 1时，?=?= 2

15、，适合上式 又cos?= 土 2 ? = ?+?- 2?cos?12或 28 ?= 2 v3 或 2 v7 【点睛】 本题既考查了三角公式的应用，又考查了三角函数的周期性与单调性，还考查了解三角形相关 问题，解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角函数，选择合适正、余弦定理和面积公式。 19.( I)见解析；(II) 【解析】 【分析】 (I)通过证明？?L ?/?,?2_ ?,?证得？?空面?由此证得平面 ？?2平面? II)矩 形？?所在平面和圆？?所在平面垂直，点？到边?的距离即为四棱锥 FABCD的高，然后利用锥体 体积公式求得四棱锥的体积 【详解】 (I) 等边三角形 0AF中，点F

16、到边0A的距离为弓 又矩形ABCD所在平面和圆0所在平面垂直 点F到边0A的距离即为四棱锥 F-ABCD的高 四棱锥F ABCD 的高?=專 又 BC= 1 矩形的 ABCD 的面积 Sabcd = ?= 2 X 1 = 2 1v3v3 ?-? g X 2 X2 = 3 【点睛】 本小题考查空间两个平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法 要在一个平面内找到另一个平面的垂线来证明.属于中档题. ? ? 20.( I)匸 +三=1 . (II) ?(1肓) 要证明两个平面垂直，则需 【解析】 【分析】 (I)写出？?坐标，利用直线?与直线? ? 3v2 = 0垂直，得到？?= ?:求出？点的坐标代

17、入 ?+ ? 3 v2 = 0,可得到？?的一个关系式，由此求得 ？?和？的值，进而求得椭圆方程.(II)设出? 点的坐标，由此写出直线 ?的方程，从而求得？庶的坐标，代入？?？?？? ? 9，化简可求得？点的 / AB为圆0的直径，点F在圆0上 AF 丄 BF 又矩形ABCD所在平面和圆 0所在平面垂直且它们的交线为AB, CB丄AB CB丄圆0所在平面 AF 丄 BC 又BC、 BF为平面CBF上两相交直线 AF丄平面CBF 又?面? 平面DAF丄平面CBF . (II)连接0E / AB = 2, EF = 1 , AB EF 0A= 0E= 1，即四边形 0EFA为菱形 【详解】 (l

18、)T椭圆的左焦点 ？(-?,0)，上顶点？?(0,?)直线AF与直线？?+ ? 3v2 = 0垂直 直线 AF的斜率？?= -?= 1，即？?= ? 又点A是线段BF的中点 点？勺坐标为？?(?) 又点？莊直线？?+? 3 v2 = 0上 ? 2?- 3 v2 = 0 由得：？?= ?= ? = 4 椭圆？的方程为-? + = = 1 . 42 AF = 0A = 0F = 1 (II )设?(?),(? 0,? 0) 好教育云平台 名校精编卷答案第9页(共14页)好教育云平台 名校精编卷答案第11页(共14页) ?2 = 2 - ?2 ?(2,0) 6? 2 + ?0+2 -?02 +8?)

19、+20 ?+2 (2)结合(1)的结论，将原不等式转化为 可 ? 由(I)易得顶点M、 ? 直线MP的方程是：？?= 晶(?+ 2) ? 丄,?= (?+ 2)6? 由 ?+2 ()得：？(4,辰) 又点P在椭圆上，故字+尊=1 4 2 ?=(? + 2, ?) ?(2,丽)=2(?)+ 2) -? = 1 或-2(舍) - ?=亍,(? 0) 点P的坐标为？?(1,f) 【点睛】 本小题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查两直线垂直的条件，考查向量数量积的运 算属于中档题在解题过程中，首先阅读清楚题意，题目所叙述的坐标、所叙述的直线是怎么得到 的，向量的数量积对应的坐标都有哪一些，应该怎么

20、得到，这些在读题的时候需要分析清楚 21 . (1)见解析. (2)证明见解析 【解析】 【试题分析】(1)先求函数的定义域，然后求导通分，对？分成两类，讨论函数的单调区间 1 1 ln?+ ?- 1 0，构造函数?(?)= In?+ ?- 1，利用导 数求得？?的最小值为0，由此证得原不等式成立 【试题解析】 (1) 函数?(?的定义域为(0,+8)，且?(?)= ?-歹=牙 当? 0, ?(?在(0,+8)上单调递增； 当？? 0时，若？? ?时，则？?(?) 0,函数?(?在(?,+8)上单调递增；若0 ? ?时，则 ?(?) 0 时，？?(?Qin = ?(?= In?+ 1. 要证？

21、(?戸号，只需证In?+ 1 专, 即只需证In?+ *?- 1 0 构造函数?(?= In?+ ?- 1，则?(?)= ?-旃=宣. 所以?(?在(0,1)单调递减，在(1, +8)单调递增. 所以？?(?min = ?(1)= 0. 1 所以In?+ -?- 1 0恒成立， 所以？?(?戸笃1. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，考查构造函数的思 想，考查分类讨论的数学思想.在求导后，一般要进行通分和因式分解，而分式的分母一般都不用 考虑，另外要注意在定义域内研究单调性.通过构造函数法证明不等式恒成立问题过程中，要注意 变形要是等价变形. 22. ( I)普通方程为：? + (?- 1)2 = 1，极坐标方程为：？?= 2sin? (II) |?= 1 【解析】 【分析】 (I)利用cos2?+ sin2?= 1消去参数，求得圆的普通方程，将？?= ?cos?= ?sin?代入, 求得对应的极坐标方程.(II)分别将？?=代入直线和圆的极坐标方程，然后两式相减，可求得 6 的长. 【详解】 ?= ? (I)T圆？的参数方程为?= +?为参数) 消去参数？得普通方程为：？+ (?- 1)2 = 1 又?= ?cos?= ?si n? (?cos?)+ (?s in ? 1)2 = 1 化简得圆？的极坐标方程为：？?= 2s