函数的定义域与值域知识点与题型归纳

1、. 高考明方向了解构成函数的要素 ，会求一些简单函数的定义域和值域 . 备考知考情定义域是函数的灵魂 ，高考中考查的定义域 多以选择、填空形式出现 ，难度不大 ；有时也在解答题的某一小问当中进行考查 ；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起 ，三种题型都有，难度中等 .一、知识梳理 名师一号 P13知识点一 常见基本初等函数的定义域注意：1、研究函数问题必须遵循“定义域优先 ”的原则！2、定义域必须写成集合或区间的形式！.专业资料 .(1) 分式函数中分母 不等于零(2) 偶次根式 函数被开方式 大于或等于 0(3) 一次函数 、二次函数的定义域均为 R(4) y a

2、x(a0 且 a 1) ，ysin x， ycos x 的定义域均为 R(5) y log ax(a 0 且 a 1)的定义域为 (0 ，)(6) 函数 f (x )x 0 的定义域为 x |x0(7) 实际问题中的函数定义域 ，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约 .（补充）三角函数中的 正切函数 ytan x 定义域为x|xR,x k,k2Z如果函数是由几个部分的数学式子构成的 ，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合知识点二基本初等函数的值域注意：.专业资料 .值域必须写成集合或区间的形式！(1) y kx b(k 0)的值域是 R.(2) y ax

3、2bx c(a 0)的值域是 ：4ac b 2；当 a0 时，值域为 y| y4a4ac b 2当 a0 时，值域为 y| y4ak(3) y (k 0)的值域是 y|y 0 x(4) y ax(a0 且 a 1)的值域是 y|y 0(5) y log ax(a 0 且 a 1)的值域是 R.（补充）三角函数中正弦函数 ysin x，余弦函数 ycos x 的值域均为1,1正切函数 ytan x 值域为 R名师一号 P15知识点二函数的最值.专业资料 .注意：名师一号 P16 问题探究 问题 3 函数最值与函数值域有何关系 ？函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素 ；任何一个

4、函数 ，其值域必定存在 ，但其最值不一定存在 1、温故知新 P11知识辨析 1（2）函数 yx的值域为, 11 ,（）2 x122答案：正确.专业资料 .2、温故知新 P11 第 4 题函数 y2x 121 x2, x,2）2, x的值域为 （,23A.,B.,0C.,3D. 2,02答案：D注意：牢记基本函数的值域3、温故知新 P11 第 6 题函数yfx的值域是1,3，则函数Fx12 fx3 的值域是 （）A.5, 1B.2,0C.6,2D.1,3答案：A注意：图像左右平移没有改变函数的值域.专业资料 .二、例题分析 ：（一)函数的定义域1据解析式求定义域例 1.（ 1 ）名师一号 P13

5、对点自测 1(2014山东 )函数 f x1的定义域log2 x21为 ()1A. 0，B(2 ，)21(2 ，12 ，)C. 0，) D.0，22解 析 要 使 函 数 有 意义 ，应 有 (log 2x)2 1 ， 且 x0 ，即 log 2x1 或 log 2x2 或 0 x .2所以函数 f( x) 的定义域为0，1) (2 ，2例 1. （ 2 ）名师一号 P14高频考点 例 1（1）1的定义域为 ()函数 f(x) 1 2xx3A(3,0B(3,1C(， 3)(3,0D (， 3)(3,11 2x 0 ，解析：由题意得解得30 ，注意：.专业资料 .名师一号 P14高频考点例 1规

6、律方法 （1）求函数的定义域 ，其实质就是 以函数解析式所含运算有意义为准则 ，列出不等式或不等式组 ，然后求出它们的解集函数的定义域一定要用集合或区间表示例 2. (补充)若函数 f ( x)lg(ax22x1) 的定义域为 R则实数 a 的取值范围是；答案：变式：1,f ( x)lg(ax22ax1)?练习：(补充 ).专业资料 .kx 7的定义域为 R若函数 f ( x)4kxkx23则实数 k 的取值范围是；答案： 0,342求复合函数的定义域例 3.（1 ）名师一号 P14高频考点例 1（2）(2015 北京模拟 )已知函数 y f (x)的定义域为则函数 y f(2x)ln( x

7、1) 的定义域为 ()0,4，A 1,2B (1,2C1,8D (1,8解析：由已知函数 yf (x )的定义域为 0,4 则使函数 y f(2x)ln( x 1) 有意义，需.专业资料 .0 2x 4 ，解得 10 ，例 3. （ 2 ）名师一号 P13对点自测 2已知函数 f (x ) 1，则函数 f (f(x) 的定义域是x 1()xx B xxA |1 |2Cx|x1 且 x 2D x|x 1或 x2.专业资料 .x 1 ，解析1解得 x且 x12. 1 0，x 1注意：名师一号 P14（ P13 问题探究高频考点例 1规律方法（2）问题 1类型二）已知 f(x) 的定义域是 a， b

8、 ，求 f g(x) 的定义域 ，是指满足 ag (x ) b 的 x 的取值范围 ，而已知 f g(x ) 的定义域是 a， b ，指的是 x a，b 例 4 (补充 )已知 f ( x2 1)的定义域是 0,1 ，求 f ( x) 的定义域 。答案： 1,2.专业资料 .注意： 名师一号 P13 问题探究 问题 1 类型三若已知 f g x 的定义域为 a,b ，求 f ( x) 的定义域相当于当 xa, b 时，求 g x 的值域（即 f ( x) 的定义域 ）练习：(补充 )已知 f ( x) 的定义域是0,1 ，求函数 g( x)f ( x2 ) 的定义域。2已知 g( x)f (

9、x ) 的定义域是1,1 ，求函数 f ( x) 的定义域。如:f ( x)x 1x 的定义域是0,1 ,g( x)f ( x2 )x2 1x2 的定义域1,1练习：(补充 )1、设函数 f ( x)ln 1x ，1 x.专业资料 .求函数g( x)fxf1的定义域 。2x1x1答案：2得2,1 1,2111x2、设函数 f ( x22x3)的定义域为0,3 ，求函数f x 的定义域 。答案： x0,3 得 x22x 34,03实际问题中函数定义域的确定注意：实际问题中函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义（二）求函数值域.专业资料 .注意：求函数的值域 先求定义域

10、 ！(1) 确定函数值域的原则当函数 yf (x)用表格给出时 ，函数的值域是指表格中y 的值的集合 当函数 yf (x )的图象给出时 ，函数的值域是指图象在 y 轴上的投影对应的 y 的值的集合 当函数 yf (x)用解析式给出时 ，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定当函数由实际问题给出时 ，函数的值域应结合问题的实际意义确定(2) 基本初等函数的值域(3) 求函数值域的方法求函数的值域是高中数学的难点 ，它没有固定的方法和模式 常用的方法有 ：名师一号 P14 问题探究 问题 2 怎样求解函数的值域 ？求函数值域的基本方法.专业资料 .(1) 观察法：一些简单函数 ，通过观察法

11、求值域 (2) 配方法：“二次函数类 ”用配方法求值域 (3) 换元法：形如 y ax b cx d(a、 b、 c、 d 均为常数，且 a0)的函数常用换元法求值域 ，形如 yax a bx 2 的函数用三角函数代换求值域cx d(4) 分离常数法 ：形如 y (a 0)的函数可用此法求ax b值域(5) 单调性法 ：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域(6) 数形结合法 ：画出函数的图象 ，找出坐标的范围或分析条件的几何意义 ，在图上找其变化范围 名师一号 P17 高频考点例 3规律方法(3) 、（ 4）基本不等式 、导数法.专业资料 .例

12、1. 名师一号 P14求函数 y432x高频考点例 2（1）2x的值域答案 :2,4小结 : 求函数值域的基本方法1配方法 ： 名师一号 P14问题探究问题（2） 配方法是求 “二次型函数 ”值域的基本方法 ，形如 F( x)af 2( x) bf (x )c 的函数的值域问题 ，均可使用配方法，要特别注意自变量的范围 ；二次函数在给定区间上的最值有两类：（ 1）求闭区间 m,n 上的最值 ；（ 2）求区间定 （动），对称轴动 （定）的最值- 二次函数专题例 2. （1）(补充).专业资料 .求函数 y log2 x21 , 1log2 x 5, x的值域4 2答案 :7,11例 2. （2）

13、名师一号 P14 高频考点例 2（2）求函数 y 2x 12 x的值域1t 2方法 1：令12 xt (t 0) ，则 x .215y 1t 2 t t 2 .241二次函数对称轴为t，2.专业资料 .15在0 ，)上，y t 2 是减函数 24故 ymax 01522 1，4故函数有最大值1 ，无最小值 ，其值域为 ( ，1 方法2y 2x 与 y1x均为定义域上的增：2函数，故 y x x是定义域为x112x 上的增函2 |211数，故 ymax 2 1 21，无最小值 22故函数的值域为 ( ，1 变式：求函数 y2 x12 x 的值域.专业资料 .分析 :令 t12x , t0答案:,

14、54形如 yax b cx d (a、b 、c、d 均为常数 ，且 a0) 的函数令 tcxd ，使之变形为二次函数例 2. （3）(补充)求函数 yx1x2 的值域分析 :令 xsin t,t22答案:1,2.专业资料 .练习：求函数 y3x3x2 的值域3分析 :令答案 :x3sin t,t221,2小结 : 求函数值域的基本方法2换元法：名师一号 P14 问题探究 问题（ 3）运用代数或三角代换 ，将所给函数化成值域容易确定的另一函数 ，从而求得原函数的值域 例如：形如 yax b cx d (a、b 、c、d 均为常数 ，且 a0) 的函数令 tcxd ，使之变形为二次函数对于含a2x

15、2 结构的函数 ，可以利用三角代换 ，.专业资料 .令 xa cos ,0, ，或令 xa sin ,2转化为三角函数2强调：换元后要确定新元的取值范围！例 3. （1）名师一号 P14高频考点例 2 （3）求函数 yx4 的值域x例 3. （2）(补充)求函数 y3x2x 0 的值域xx 1.专业资料 .y.3x.3x0x2x11x2x1x1x1x11x3301x1x答案：3,0变式 1：求函数 y3 xx2x1的值域答案：3,1变式 2：求函数 y3 x123xx 1 的值域x3.专业资料 .答案：3,0小结 : 求函数值域的基本方法3. 不等式法 ：名师一号 P17 高频考点例 3规律方

16、法(3)利用基本不等式： a b2 ab ( a、 b R ) 求函数的值域用不等式法求值域时 ，要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等 ”例 4.x25（1）( 补充 ) 求函数 y的值域x24答案： 5,2.专业资料 .例 4.（2）求函数 y2 x1 2x 的值域（前面换元法已讲解 ）答案：,1小结 : 求函数值域的基本方法4. 利用函数单调性 : 名师一号 P14 问题探究 问题（ 5）根据函数在定义域 (或定义域的某个子集 )上的单调性求出函数的值域 (补充 )注意双勾函数f ( x)xk k 0 的单调性 !x函数在区间0,k 单调递减 ;函数在区间k ,单调递增 .例 5

17、. （1）温故知新 P11知识辨析 1（2）.专业资料 .函数 yx的值域为, 11 ,（）2 x122答案：正确例 5. （2）( 补充 ) 求函数 fx12 x 的值域 .x2值域y y2小结 : 求函数值域的基本方法5. 分离常数法 : 名师一号 P14 问题探究 问题（5 ）形如 ycxd a 0 的函数的值域可使用此法axb.专业资料 .练习：1、3、f1x12xx52 、 f x2x2 x1fx24x5x3x4x2答案：1、 y y12 、1,12x5x1x53、 f x4x1xx 4且x 1x4y y1且y65例 6.名师一号 P14高频考点例 2（4 ）3x求函数 y的值域3x

18、1法一：换元 + 分离常数法法二：利用函数有界性.专业资料 .3xy由 y 3x1 ，得 3 x1 y.y3 x0， 0，0y 1.1 y原函数的值域为 (0,1) ，无最值 12x的值域变式 1：(补充 ) 求函数 f x2x1答案：1,1法一：换元 + 分离常数法法二：利用函数有界性变式 2：(补充 ) 求函数 f x1sin x 的值域1sin x答案：0,法一：换元 + 分离常数法.专业资料 .法二：利用函数有界性小结 : 求函数值域的基本方法6 函数有界性法 ： (补充 )直接求函数的值域困难时 ，可以利用已学过的函数的有界性 ，来确定所求函数的值域 ，最常用的就是三角函数、指数函数

19、的有界性 。例 7. （1）计时双基练 P215 第 9 题定义运算 :xxxy0,yxy0例如 :y,34 3,24 4,则函数 f x x22x x2的最大值为答案 :4名师一号 P15特色专题典例.专业资料 .已知函数f (x) x2 2( a 2)x a2 ， g (x) x 2 2( a 2)x a2 8. 设 H 1(x)max f(x) ，g (x) ， H 2 (x) min f (x) ， g(x)(max p ， q 表示p ， q中的较大值，min p ，q 表示 p ，q 中的较小值 )记 H 1 (x)的最小值为A ， H2 (x)的最大值为 B，则 A B()A a

20、2 2a 16 B a2 2a 16 C 16 D16【规范解答 】 f (x)的图象的顶点坐标为 (a 2 ， 4a 4) ， g ( x) 的图象的顶点坐标为 (a 2 ， 4a 12) ，并且 f (x ) 与 g( x) 的图象的顶点都在对方的图象上 ，如图所示，H 1 (x)的最小值是 A 4a 4， H 2(x)的最大值是 B 4a12 ，所以 A B( 4a4) (4a12) 16.专业资料 .【名师点评 】本题应是一道难度较高的题目，是对学生思维能力的一个考验 ，但通过数形结合很容易求解，同学们应该认真体会数形结合这种思想在特定情景下的神奇练习：( 补充 )定义运算 aba(a

21、 b)，b(a b)求函数 f (x) (2 x 1)( x21)的值域答案：,1.专业资料 .小结 : 求函数值域的基本方法7 数形结合法：名师一号 P14问题探究问题（ 6）当一个函数图象可作时 ，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义 ，借助于几何方法求出函数的值域 (补充 )如两点间距离 、直线斜率等等例 7.（2）(补充) 求函数4sin x1 的值域y42cos x4 sin x11sin xy424 可视作单位圆外一点2 cosx2cos x 2P2,1与圆 x2y21上的点 cosx,sin x所连线4段斜率的 2倍,设过点 P2, 1的点的直线方程为4.专业资料

22、 .1k x2 即 kxy 2k1y04142k435令1解得 kk2或 k1214答案：3,52 6cos x1的值域练习：求函数 yx 0,sin x2答案： 0,43cos x1,的值域变式：求函数 yxsin x222答案： 0,12例 7. （3）(补充).专业资料 .求函数 yx26x 13x 24x 5 的值域2222PA PByx 30 2x 20 1其中 P x,0 , A 3,2, B2, 1答案： 34,变式：求函数 yx 26x13x24x5 的值域答案：26,262222yx 30 2x 201PA PB其中 P x,0, A3,2 ,B2,1.专业资料 .注意：求两

23、点距离之 和时，要将函数式变形 ，使两定点在 x 轴的两侧；求两点距离之 差时，要将函数式变形 ，使两定点在 x 轴的同侧。例 8.（1）(补充 )求函数 fxxsin xx,的值域 .2答案：1,2例 8.（2）(补充 ).专业资料 .求函数fx3x lnxx1 ,1的值域 .41答案： 3,3小结 : 求函数值域的基本方法8求导法 ： 名师一号 P42名师一号 P44当一个函数在定义域上可导时定值域注意: (补充)知识点三问题探究问题（3），可根据其导数求最值确(1) 准确熟练记忆求导公式与法则(2) 一般地，如果在区间a, b 上的函数 yf ( x)的图象是一条 连续不断 的曲线 ,那

24、么它必有最大值和最小值 .一般地 ，求函数 yf ( x) 在 a,b 上的最大值与最小值.专业资料 .的步骤为：(1) 求 y f ( x) 在区间 a,b 内极值 .(2) 将函数 yf ( x) 的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个最小值 .一般地，如果在区间 a,b 上的函数 yf ( x)极值存在且唯一 ,那么它必是相应的最值（即极大值为最大值 ，极小值为最小值 ）.练习 ：求函数 fxln 1 x1 x2 在 0,2上的值4域 .f x11 x ,1 x2令 11 x 0 得 x2x 2 01x2x 2 (舍去 )或 x当 0

25、x 1时, f 当 1 x 2 时 , f1x 0 , f xx 0 , f x单调递增单调递减.专业资料 .f 11为极大值 , 极大值存在且唯一 ,最大值ln 24又 f 00, f2 ln3 10所以值域为0,ln 214例 9. ( 补充 )求 yx 2x3 的值域x2x111答案： 1,另法 :分离常数法小结 : 求函数值域的基本方法9判别式法 ： (补充 ).专业资料 .形如 ya1 x2b1 xc1 ( a1 , a2 不同时为 0) 的函数可用判别a x2b xc222式法求其值域 .在由0 且 a( y)0 ，求出 y 的值后 ，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值注

26、意 :只适用于定义域为R 且分子、分母没有公因式的情形！注意：b2 型，可直接用不等式性质 . yxk3如求 y的值域（答案： 0, 3）2x22 ybx和 ymxn型，先化简，x 2 m x nx2mx n再用基本不等式或双钩函数如例 3：求 y3x的值域x2x1例 3 变式 2：求函数 y3x 1x1 的值域x23x 3x2m x n型，通常用判别式法也有的可通过分 yx2mxn.专业资料 .离常数法解决如例 9：求yx2x3 的值域x2x1 yx 2m xn型，与类型 类似 ，可用判别式法或mx n基本不等式（三）函数值域的简单综合例 10. 名师一号 P17高频考点例 3（ 1）如果函

27、数 f( x)对任意的实数 x ，都有 f (1 x ) f ( x)，且1当 x 时，f (x ) log 2(3 x 1) ，那么函数 f (x)在 2,0 2上的最大值与最小值之和为()A2B3C4D1解析：根据 f(1 x) f(x)，.专业资料 .1可知函数 f(x)的图象关于直线x 对称 21又函数 f (x)在， 上单调递增 ，21故 f( x) 在 ， 上单调递减 ，2则函数 f (x)在 2,0 上的最大值与最小值之和为 f (2) f(0) f (1 2) f(1 0) f (3) f(1) log 2 8log 22 4.给定函数的值域 ，求参数的取值 （范围）例 11.

28、 （1 ）名师一号 P17 高频考点例 3（2）即 P14 变式思考 2（ 3 ）函数 f (x)11，最小值是在区间 a，b上的最大值是x 11，则 ab _.3.专业资料 .解析：知 f( x) 在a，fa1 ，1f b ，3b 上为减函数 ，11，a1即11 ，b 13a2，b 4.ab 6.例 11.（2 ）名师一号 P14高频考点 例 3已知二次函数f (x ) ax 2 bx (a 、b 是常数 ，且a 满足条件 ： f(2)，且方程 f x x 有两个相等实0)0( ).专业资料 .根(1) 求 f (x)的解析式 ；(2) 是否存在实数 m 、n(m n)，使 f(x)的定义域

29、和值域分别为 m ， n 和2 m, 2n ？如存在，求出 m 、n 的值；如不存在 ，说明理由 解析：(1) 方程 f( x) x ，即 ax2 bx x ，亦即 ax2 (b 1) x 0，由方程有两个相等的实根，得 (b 1) 24a 0 0，b 1. 由 f(2) 0，得 4a 2b 0.1由、 得，a ，b 1，2.专业资料 .1故 f( x) x 2 x. 2(2) 假设存在实数 m 、n 满足条件 ，由(1) 知，1111f (x)x2 x(x 1) 2 ，222211则 2n ，即 n .2411f(x)(x 1) 2 的对称轴为 x 1，221当 n 时， f (x)在 m

30、，n 上为增函数 4于是有ffm2m ，n 2n，即.专业资料 .1 m 2 m 2m ，21 n 2n 2n ，2m 2或m 0，1又m n ，n 2或 n 0.4m 2，n 0.故存在实数 m 2 ，n 0，使 f( x) 的定义域为 m ，n ，值域为 2 m, 2n 注意：名师一号 P14 高频考点 对既给出定义域又给出解析式的函数例 3规律方法，可直接在定义.专业资料 .域上用相应方法求函数值域 若函数解析式中含有参数 ，要注意参数对函数值域的影响，即要考虑分类讨论 可借助函数图象确定函数的值域或最值练习：已知函数fxax22a1 x3 a0在 区 间3 ,2 上的最大值为 1，求实数 a 的值 。2解析：充分利用二次函数在闭区间上的最值必在对称轴或区间端点取得这一结论求解解：函数fxax22a1 x3 a0的最大值必.专业资料 .x13或 x22或对称轴 x01 2a 处取得22a（ 1）令 f31021 ,解得 a