二次函数恒成立问题

1、精品文档二次不等式恒成立问题一、恒成立问题的基本类型：类型 1 ：设 f (x) = ax2 +bx +c(a = 0),(1) f (x) a0在xw r上恒成立 u a 0ha 0;(2) f (x) 0在xw r上恒成立 u a 0且 0时，f(x) 0在x w a, f上恒成立 二 4 2a 或 一 2a 一 或 2a/() 0 0j(p)a0 qf(a)0f (x) 0在x w a,盯上恒成立u 3 口f(p) 0(2)当a0在xwc(, p上恒成立 之,j /(p)0.-a:：.a ：f(x) 0 b0j(p) a对一切 x w i 恒成立 u f (x)min a f ( x)

2、o类型4:f (x) ag(x)对一切xw i恒成立u f (x)的图象在g(x)的图象的上方或f (x)min g(x)max(x i)二、恒成立问题常见的解题策略：策略一：利用二次函数的判别式2对于一兀一次函数 f(x)=ax +bx+c a 0(a 0, x = r)有：(1) f (x) 0在x w r上恒成立 u a 0h 0;(2) f (x) 0 在 xw r 上恒成立 u a 0 且& 0的解集是r,求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数项所以要讨论m-1是否是0。(1)当m-1=0时，元不等式化为 20恒成立，满足题意；(2)

3、 m1 #0时，只需 02，所以，me 1,9) =(m-1) -8(m-1) m对任意x都成立二f(x)min之m；(2) f (x) m对任意x都成立u m之f(x)max。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例2.已知f (x) =x2+ax+3_a,若x wq,2, f (x)之2恒成立，求 a的取值范围.解析本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题，只要对于任意xwn,2, f(x)min之2.若2可-2,2, f(x)至2 恒成立 u vx-2,2, f(x)min 至2 u 2 2f (x)min =f(-2) =7-3a_

4、2f-2 -a 2，即a的取值范围为-5,2+245.f(x)mn =f(2)=7+a 之2策略三：利用零点分布 例3.已知f (x) =x2 +ax+3a,若x可-2,2, f(x)占0恒成立,求a的取值范围.解析 本题可以考虑f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即 a w 0或42 *2 或f (-2) 0f (2) -0-22 ，即a的取值范围为-7 , 2.f (-2) _0f (2) _01欢立下载,可以考虑函数的零点分布情况，要点评对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就行

5、了 .变式：设f (x) = x2 2mx+2 ,当x w 1,+=c)时，f (x)之m恒成立，求实数 m的取值范围。解：设 f(x) =x2 2mx+2 -m ,则当 x1,)时，f (x)之 0 恒成立当 a = 4(m -1)(m +2) 0即2 m 1时，f(x) a0显然成立;当上0时，如图，f (x)占0恒成立的充要条件为:-0f (_1)之0 解得3 m m m -2。综上可得实数m的取值范围为3,1)。2mn.：,一 一 t精品文档策略四：分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求

6、最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1) f(x) g(a)(a为参数)恒成立= g(a)0恒成立，2x ：. 2x a即对 xw1,), f(x)=3经二 0 恒成立， x考虑到不等式的分母 xw1,),只需x2+2x + a0在x w 1,十比)时恒成立而得22x +2x+a0在xw1,+8)时恒成立，只要 a -x -2x在x w 1,收)时恒成立。而易求得二次2函数h(x) = x -2x在1,)上的最大值为 3,所以a3。变式：已知函数 f (x) = ax - v4x - x2, x w (0,4时f(x) 0恒成立，求实数 a的取值范围。4x - x2解： 将问题转化为

7、a 对x(0,4恒成立。x人 ,、4x-x2,、令 g(x)=,贝u a g(x) minx.、 4x t4由 g(x) = = j一 1 可知 g(x)在(0,4上为减函数，故 g(x)min = g(4) =0xx，am(x2 1)对满足2 mm m2的所有m都成立，求x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为:m(x2 1) (2x 1) 0,；人2r f (-2) 0 r令f(m) =m(x2 1)(2x1),则2wme2时，f (m) c 0恒成立，所以只需 即j(2)012(x2 1) (2x 1) 0国曰 ,一1+77 1+73、j,所以x的范围是

8、 xw (-)2(x -1) -(2x -1) 0何成立u,m) f (x) 0阡(m) 0f(n) 0恒成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于 x的一元二次不等式，但若把 a看成主元，则问题可转化为一次不等式- 一2(x -2)a +x -4x+40在a w 1,1上恒成立的问题。解：令 f (a) = (x2)a+x24x+4 ,则原问题转化为 f(a)0 恒成立(a = -1,1 ) 当x = 2时，可得f (a) = 0 ,不合题意。,f (1) 0 .，、当x#2时，应有,解之得x3/(-1)0故x的取值范围为(*,1)11(3,也)。策略六：消元转化例6.已知f(x)是定义

9、在-1,1上的奇函数，且f(1)=1,若m,n 可一1,1, m +n #0时 f (m) :f(n) 0 ,若 f (x) t2 -2at +1 对于所有的 x w 1,1,a w -1,1恒成立，求实数 m nt的取值范围.解析 本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义在-1,1上的增函数，故f(x)在-1,1上的最大值为f(1)=1,则f(x) mt2 2at+1对于所有的xwt,1,a e1,1恒成立u 1国22at+1对于所有的aw1,1恒成立,即2ta-t20对于所有的a = -1,1，一，、入gg(-1)0的解集为(口,收),求实

10、数a的取值范围；(2)若关于x的不等式x2 ax -a工-3的解集不是空集，求实数a的取值范围.解：(1)设f(x)=x2 axa.则关于x的不等式x2 ax-a 0的解集为(*,)= f(x)04a a2在(_笛,止恒成立u 口所(x )0 ,即m(x )= 0,解得-4 a 0(2)设f (x )=x2 ax a .则关于x的不等式x2 -ax-a e-3的解集不是空集u f(x)e-3在4a - a2,、(一毛收)上能成立 u fmin (x ) -3,即 fmin (x )= 一3,斛得 a -6或 a 之 2 .2 .若函数y=jmx2 +6mx + m+8在r上包成立，求m的取值范

11、围。分析：该题就转化为被开方数 mx2+6mx+m+8之0在r上包成立问题，并且注意对二次项系 数的讨论。略解：要使y = jmx2 +6mx + m + 8在r上恒成立，即mx2+6mx + m+ 8占0在r上 包成立。1 m=0时，8之0 ，m = 0成立m 0m # 0 时，42,0 m 0在区间(-1,1)上包成立；而f (x )0在区间(-1,1止恒成立又等价于t 3x2 -2x在区间(-1,1)上包成立；设 g(x )=3x2 -2x, x w(-1,1 )进而 t g(x)在区间(-1,1 )上恒成立等价于 t 之 gmax(x ) x w (-1,1 )5欢血下载精品文档考虑到

12、g(x )=3x2 2x, xw (1,1 )在-i,1 j上是减函数，在i1,1 j上是增函数,则gmax(x ) = g( 1 )=5.于是，t的取值范围是t至5.4 .已知函数f (x ) = x3 +3ax -1, g (x )= f x )-ax -5 ,其中f (x )是f (x)的导函数.对满足一1 wa w1的一切a的值，都有g（x）0,求实数x的取值范围；解法1.由题意g （x ）=3x2-ax +3a-5 ,这一问表面上是一个给出参数 a的范围，解不等式 g（x）0的问题，实际上，把以x为变量的函数g（x）,改为以a为变量的函数，就转化为不 等式的包成立的问题，即令中（a

13、）=（3 x ）a +3x2 5, （-1 a 1）,贝取寸 一1 m a m1,恒有 g（x）0,即平（a）0, 从而转化为对-1 a 1 ,中（a）0包成立，又由中（a ）是a的一次函数，因而是一个单调函数， 它的最值在定义域的端点得到.为此只需*产0即修一20,解得二x1/xwf-2,jw,对满足-1a1-1 ：二03x2 x-8 0.3. 3的一切a的值,都有g（x）0.解法2.考虑不等式g(x )=3x2 -ax + 3a-50.由1 0 ,于是，不等式的解为a - .a2 -36a 60 a .a2 -36a 60:x :66但是，这个结果是不正确的，因为没有考虑a的条件，还应进一

14、步完善.为此，设g （a ）=a - a2 -36a 606, a a2 -36a 60,h a =6不等式化为 g(a)xh(a ),-1 a 1 恒成立,1pg(aax xh(ain ,-1a1.2由于g (a户a,a 36a 60在1 wa m1上是增函数，则g (a舄=g(1)=二， 6max3a +ya2 -36a 60 . 2h(a 尸在 teae1 上是减函数，贝u h(a )tlin =h(1 )=1.所以，一x1.6mn3故xw 12,1位寸，对满足1 a e1的一切a的值，都有g(x)0. 35 .若对任意的实数x, sin2 x+2kcosx-2k-2 0恒成立，求k的取

15、值范围。解法一：原不等式化为 cos2x -2kcosx 2k 1 02c t=cosx,贝u t w1,即 f(t)=t22kt+2k+1=(tk) k2+2k + 1 在tw 1,1上恒大于 0。1若k0,即f(1)0, k1,k不存在2若-1 k 0 ,即 f (k) = k2 +2k +1 a0 , 1-72k1 +v2 二 1-v2 k 1 ,要使 f(t) 0,即 f(1)0, k1由，可知，,k1-v2o解法二：f (t) =t2 -2kt+2k+1 0 ,在-1,1上包成立。.：=k2 -2k -1 0 f 0, k _ 1 .2f (-1) ： 0k 1或 k ： -1由，可

16、知，k 1 - .206 .已知函数f (x) =x2+ax+120对于一切xw(0,1成立，求a的取值范围。27 .已知函数f (x) =x2-4x im对于x w (0,1恒成立，求m的取值范围。1 1 .8.右不等式9x -6ax+a -2a-6之0在-w x三内恒成立，求a的取值范围。339 .已知函数y = lgx2 +(a-1)x+a2的定义域为r,求实数a的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式 x2+(a-1)x+a2 0对xw r恒成立，即有 =(a -1)2 -4a2 0解得 a 1 0 所以实数 a 的取值范围为(-00,1)u (1 ,y)。 3310 .已知函数f (x)=lg x+a-2 j,若对任意xw匕,)恒有f (x)0,试确定a的取值范围。 x解：根据题意得：x+a -2 1在xw 12,收)上包成立，即：a a-x2+3x在xw2,2 )上包成立, x7欢血下载精品文档#欢立下载设 f (x )= -x2 +3x，贝u f (x 尸-x-32+ 4 当 x = 2 时，f(x)max=2 所以 a211