直线与椭圆的位置关系

1、第 5 课直线与椭圆的位置关系一、基础训练题：x2 y2221.椭圆 a2+b2=1(ab0)过点（1，3）,且 a=3b,则 a, b的值为( )a.3 或 1b.3,1 或 1,3c. 3, 1d. 1, 32. (0, 2),方程 sinx2+cosy2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆 ,则 的取值范围为()a. (0,4)b. (0, 4)c. (4 , 2d. 4 ,2)3.如果椭圆的两个焦点为 f1(-1,0),f2(1,0),p是椭圆上的一点,且|pf1|,|f1f2|,|pf2|成等差数列,那么,椭圆的方程为()x2y2x2y2a. 3 +4=1b.4 +3 =1x2y2x2y

2、2c. 16+ 9=1d. 16+12 =1224.若椭圆 x2 + y2=1(ab0) 中的基本量b, c 是方程abx2-7x+12=0 的两根 ,则该椭圆方程为()a. x2 + y2=1b.x2 + y2 =125 1616 25x2y2c. 25+ 9 =1d. 以上答案都不对x2 y25.设 p 是椭圆 5 +25=1 上的一点 , f1,f2 是椭圆的两个焦点 ,若 pf1pf2,则|pf1|与|pf2|的差的绝对值是 ()a. 10b.25c. 4 5d. 2 15226.已知点 p(3,4)在椭圆 x2+y2=1(ab0)上 ,则以 p 为顶ab点的椭圆的内接矩形 pabc

3、的面积为()a.48b.12c.24d.与 a, b 有关例 1 已知直线 l: y=x+ m 和椭圆 4x2+y2=4 .当 m 为何值时 ,直线与椭圆相交 ?相切 ?相离 ?210当 m 为何值时 , 直线 l 被椭圆截得的弦长为3 ?x2 y29例 2 椭圆25+ 9 =1 上不同三点 a(x1,y1),b(4,5),c(x2,y2)与焦点 f2(4,0)的距离成等差数列 .求证 x1 +x2=8;若线段 ac 的垂直平分线与x 轴交于 t 点，求 bt的斜率 .由题意， a f2+c f 2=2b f2 ,a-ex1+ a-ex2=2( a-exb ),即x1+ x2=2xb ， x1

4、+ x2=8.y1+y2设 ac 的中点为m( x0,y0),则 m(4,2 ),又 a( x1,y1), c(x2,y2)在椭圆上， b2x12+a2y12= a2b2222222b x2+a y2= a b两式相减，得 b2(x12-x22) +a2(y12-y22)=0,kac = y1-y2 =4b22ktm=-a2y20,x1-x2a y04ba2y0直线 tm 的方程为 y-y0=- 4b2 (x-4),4b2yb -0yb令 y=0,得 t( a2 +4, 0),kbt = 4b2=4b2,a2 +4-4a295将 a=5,b=3,yb =5 代入得 kbt =4 .例 3x2y

5、2c3已知椭圆a2+ b2=1(ab0) 中 ,a=2, 其中c2=a2-b2,它与直线 x+y+1=0 交于 p,q两点 ,且 opoq, 求椭圆方程 .22上有一点，为例 4 椭圆 x2y2a +b=1(ab0)p oppa,(o坐标原点 )，a为椭圆长轴的端点（如图所示） ，试求椭圆离心率 e 的取值范围 .ypoax解： a( a,0),设 p(acos ,bsin ),根据对称性，不妨设p在第一象限，则0 2, op pa， kop kpa=-1,bsinbsinacos a(cos -1)=-1b2cos (1-cos )cos1即a2=sin2=1+cos=1-1+cos,0 2

6、11 0cos 1,2 1+cos2, 2a22,即a222,a2ba -c22e( 2 ,1) .注意参数的取值范围！例 5 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心33率 e 2 ,已知点 p(0,2)到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程 .并求椭圆上到点p 的距离等于7的点的坐标 .x2 y2设椭圆方程为 a2+b2 =1(ab0)3由 e 2 得 a=2b, 设椭圆上的点为 m (acos ,bsin ),则 pm 2=4b2 cos2 +b2 sin2 -3 bsin +491=-3 b2(sin +2b)2+4b2 +3-1 -1 时,即 b12b222-1-1时 即

7、 1时， sin 1 时，2b0)和直线 y=相切 ,则 a, b, k ,m 一定满足()a. b2k2a2+ m2b. m2k2a2+b2c. m2=k2a2+b2d. b2=k2a2+ m2x2y23.已知椭圆9 +4 =1 和圆 (x-a)2+(y-b)2=9 有公共点 ,则实数 a 的取值范围为()a. (-6,6)b. (0, 5c. (-5, 5)d.(0,64.椭圆的中心在原点 ,一个焦点为f1(0,50),椭圆截直线 l: y=3x-2 所得弦的中点的横坐标为1,则椭圆的方2程为( )a.x2+ y2 =1b.x2 + y2 =175252575c.x2+ y2 =1d.x2

8、 +y2 =11005050 100x2y25.椭圆12+3 =1 的焦点 f1 和 f2,点 p 在椭圆上 ,如果线段pf1 的中点在 y 轴上 ,那么 |p f1|p f2|的值为()a.7 1b. 51c. 92d. 83x26.椭圆 c 的方程为2 +y2=1,直线 l 的方程为 y=2x+m,则当 m时, l与c 相交 ;当 m时, l 与c 相切 ;当m时 , l与c 相离 .x2 y27.过点p(1,1)作椭圆4 + 2 =1的弦 ,若此弦被p 点平分 ,则此弦所在的直线的斜率为.8.直线x-y+1=0x2 y2被椭圆 16+ 4 =1 截得的弦长为.9.椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+ y=1 相交于 a,b