相似三角形C1

1、相似三角形c类1一 .选择题（共3小题）1. （2014?泸州）如图，在直角梯形 abcd 中，dc/ab, / dab=90 , ac bc , ac=bc , / abc 的平分线分别交ad、ac于点e, f,则”的值是（） ef 北-1|b. 2+v2c. v2+1d.近2. （2003?海淀区模拟）如图， 4abc中，d为bc边上一点，且 bd : dc=1 : 2, e为ad中点，则saabe ：sa abf=()a. 2: 1b.1:c. 1: 3cdbdc第2题第3题第1题3. （2001?咸宁）如图，在 4abc p,贝u ap : pd 等于（）中,ad是bc边上的中线，e在

2、ac边上，且 ae: ec=1 : 2, be交ad于a. 1: 1二.填空题（共10小题）4. （2011?镇江模拟）如图，点于点h,点o是线段agb. 1 : 2c. 2: 3d. 4: 3d、e分别在 abc的边ab , ac上,de / bc,点g在边bc上，ag交de的中点，若ad : db=3 : 1,则ao:oh=第4题c第5题第6题ab 2 ae5. （2010?雅安）如图，已知点 。是4abc中bc边上的中点，且 =,则丁= nu j6. （2009?瑞安市模拟）某校举行数学家 摇篮杯”会徽设计大赛，小明设计的会徽如图所示， 正4def和正4gmn 是由正4abc旋转2次得到

3、，其中阴影部分的面积是空白部分面积的3倍，若正4abc的边长是6cm,则正4gec的边长是 cm. 27. （2013?武威校级模拟）已知两个相似的菱形的相似比为2: 3,面积之差为5cm ,则这两个麦形的面积分别是.8. （2008?枣庄）将边长分别为 2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积 为.9. （2012?金堂县一模）如图，如果以正方形 abcd的对角线ac为边作第二个正方形 acef ,再以对角线 ae 为边作第三个正方形 aegh ,如此下去，已知正方形 abcd的面积si为1,按上述方法所作的正方形的 面积依次为s2, s3,，sn （n为正整数），那么

4、第9个正方形的面积 s9=.第8题第9题第10题10. （2011?齐齐哈尔）如图， 4abc是边长为1的等边三角形.取 bc边中点e,作ed/ab , ef/ ac,得到 四边形edaf ,它的面积记作取be中点e1，作e1d1/fb, er/ef,得到四边形 e1d1ff1,它的面积记作s2 .照此规律作下去，则 s2011=.11. （2009?湖州模拟）一般地，任意三角形都是自相似图形 ”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把def （图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连

5、接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2），依此规则操作下去.n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（ n为正整 数），设此时小三角形的面积为sn.请写出一个反映sn-1, sn, sn+1 （n1）之间关系的等式 12. （2011?东莞）如图（1）,将一个正六边形各边延长,构成一个正六角星形 afbdce ,它的面积为1, baabc18各边中点，连接成正六角星形 的面积为.和4def各边中点，连接成正六角星形a1f1b1d1c1e1,如图（2）中阴影部分，取 a1b1c1和d1e1f1a2f2b2d2c2e2,如图（3）中阴影部分，如此下去二则正六角星形a4f4b4d4c4

6、e413. （2010?长沙模拟）如图，依次连接一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形， 按此方法继续下去， 则第n个正方形的面积是 三.解答题（共12小题）1. （2014?卢湾区三模）数学课上，张老师出示了问题 1:如图1,四边形abcd是正方形，bc=1 ,对角线交 点记作。，点e是边bc延长线上一点.连接 oe交cd边于f,设ce=x, cf=y，求y关于x的函数解析 式及其定义域.（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线-过点。作omlbc,垂足为m求解.你认为这个想法可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；（2）如

7、果将问题1中的条件 四边形abcd是正方形，bc=1”改为 四边形abcd是平行四边形，bc=3 , cd=2 , 其余条件不变（如图2）,请直接写出条件改变后的函数解析式；（3）如果将问题1中的条件 四边形abcd是正方形，bc=1 ”进一步改为： 四边形abcd是梯形，ad / bc ,bc=a, cd=b , ad=c （其中a, b, c为常量）”其余条件不变（如图 3）,请你写出条件再次改变后y关于x的函数解析式以及相应的推导过程.b c e图12. （2013?章丘市校级模拟）4abc中，ab=1 , ac=2 , d是bc中点，ae平分/ bac交bc于e,且df / ae .求

8、cf的长.3. （2012?衡阳）如图，a、b两点的坐标分别是（8, 0）、（0, 6）,点p由点b出发沿ba方向向点a作匀速 直线运动，速度为每秒3个单位长度，点q由a出发沿ao （o为坐标原点）方向向点o作匀速直线运动， 速度为每秒2个单位长度，连接 pq,若设运动时间为t （0vtv里）秒.解答如下问题：3（1）当t为何值时，pq/ bo?（2）设4aqp的面积为s,求s与t之间的函数关系式，并求出s的最大值；若我们规定：点p、q的坐标分别为（xi,y1），（x2,y2）,则新坐标（x2-xi,y2-y”称为 向量pq”的坐标.当s取最大值时，求 向量pq”的坐标.4. (2012?浙江

9、模拟)如图，在直角梯形 oabc中，oa/bc, a、b两点的坐标分别为 a (13, 0), b (11, 12).动点p、q分别从o、b两点出发，点p以每秒2个单位的速度沿 x轴向终点a运动，点q以每秒1 个单位的速度沿 bc方向运动；当点 p停止运动时，点 q也同时停止运动.线段 pq和ob相交于点d, 过点d作de/x轴，交ab于点e,射线qe交x轴于点f.设动点p、q运动时间为t (单位：秒).(1)当t为何值时，四边形 pabq是平行四边形.(2) 4pqf的面积是否发生变化？若变化，请求出 4pqf的面积s关于时间t的函数关系式；若不变，请求 出4pqf的面积. pqf?(3)随

10、着p、q两点的运动，4pqf的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等腰5. (2012?西城区校级模拟)已知：正方形abcd , gf / be,求证：ef?ae=be?ec.6. (2011?闵行区二模)如图，在矩形 abcd中，点e在边ad上，连接be, / abe=30 , be=de ,连接bd .点 m为线段de上的任意一点，过点 m作mn / bd ,与be相交于点n .(1)如果诙求边ad的长；(2)如图1,在(1)的条件下，如果点 m为线段de的中点，连接 cn.过点m作mf xcn,垂足为点f, 求线段mf的长；图2(3)试判断be、mn、md这三条线段的长度之间有怎样的数量

11、关系？请证明你的结论.bd交于点p.7. (2010?武汉)已知：线段 oalob,点c为ob中点，d为线段oa上一点.连接 ac,(1)如图1 ,当oa=ob，且d为oa中点时，求”的值；pc(2)如图2,当oa=ob ,且理时，求tan/bpc的值.a0-4(3)如图3,当ad ： ao ： ob=1 : n： 26时，直接写出tan/ bpc的值.8. (2010?武汉模拟)4abc中，d、e分别为bc、ac边上的动点，bd=mcd , ae=nec , ad与be相交于 点o.(1)如图 1,当 m=2, n=1 时，返,4aoe =；bes四边形cdoe(2)当m=1.5时，求证：鱼

12、二5ae0d-3ce(3)如图2,若co的延长线交agb于点f,当m、n之间满足关系式 时，af=2bf .(直接填 写结果，不要求证明)9. (2006?自贡)在梯形(1)求证：ce=ca;(2)在上述条件下，若abcd 中，ab / cd, ad=bc ,延长 ab 至u e,使 be=cd ,连接 ce.aflce 于点 f,且 af 平分/ dae , cd: ae=3 : 8,求 cos/acf 的值.10. （1997?湖南）如图， de/bc, df/ac, ad=4 cm, bd=8 cm, de=5 cm,求线段 bf 的长.参考答案与试题解析一 .选择题（共5小题）1. （

13、2014?泸州）如图，在直角梯形 abcd 中，dc/ab, / dab=90 , ac bc , ac=bc , / abc 的平分线分别交ad、ac于点e, f,则竺的值是（）efdca.&-1b. 2+-72c.诋+1d.四考点：平行线分线段成比例；角平分线的性质；等腰直角三角形.专题：计算题.分析： 作fgxab于点g,由ae / fg,得出竺二凶，求出rta bgf rta bcf ,再由ab=jbc求解.ef ga解答：解：作fgxab于点g, . / dab=90 , ae / fg, . bf=bg *5ef ga acxbc, ./ acb=90 ,又. be是/ abc的平

14、分线， fg=fc ,在 rtbgf 和 rtabcf 中，bf=bficf=gf rta bgfrtabcf （hl）, cb=gb , ac=bc , ./ cba=45 ,ab= v2bc, .至-=五+1.ef ga 近耽-bc v2 - 1故选：c.dc於 4 gk点评：本题主要考查了平行线分线段成比例，全等三角形及角平分线的知识，解题的关键是找出线段之间的关系，cb=gb , ab=&bc再利用比例式求解.2. (2003?海淀区模拟)如图， 4abc中，d为bc边上一点，且 bd : dc=1 : 2, e为ad中点，则saabe ： sa abf=()3. dca. 2: 1b

15、, 1: 2c. 1: 3d. 2: 3考点：平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质.专题：压轴题.分析：过e作eg / ac,过点e, b分另1j作ac的垂线em ,bn分别于m,n,然后根据平行可得 degs dac , 得出比例关系，再把已知中的比例关系进行转化从而得到答案.解答： 解：过e作eg/ac,过点e, b分别作ac的垂线em , bn分别于m, n eg / ac . dega dac ,. eg db_ dg_ 1 . =ac-ab dc 2ac=2eg. eg二 bg= 2 =fc bc 3. bd_1- =一bc 3. em,1- =一bn 3- aef与abf同底

16、，因而面积的比是 1,设4aef的面积是a,则4abf的面积是3a, aabe的面积是2asaabe ： saabf=2 ： 3.故选 d .点评：此题主要考查相似三角形的判定定理和性质的综合运用能力.3. (2001?安徽)如图，ab是。的直径，li, 12是。的两条切线，且li/ab /以 若p是pa、pb上一点,si直线pa、pb交12于点c、d,设。的面积为scd1, apcd的面积为s2,则三士二()s23考点：平行线分线段成比例；三角形的面积.专题：压轴题.分析：要求面积比，就要先分别求出它们的面积，根据面积公式计算即可.解答：解：设圆的半径是 a,则 &=必2, ab=2a ,根

17、据 ab / cd,则典=lcd 2因而 cd=2ab=4a ,cd边上的高等于圆的直径，因而 pcd 的面积为 s2=l x cd ?2a=4a2,2因而 eijlale.s2 4 a2 4故选c.点评：正确利用圆的半径表示出圆面积以及三角形的面积是解决本题的关键.4. （2001?咸宁）如图，在 abc中，ad是bc边上的中线，e在ac边上，且 ae : ec=1 : 2, be交ad于p,则ap : pd等于（）a . 1 : 1b. 1 : 2c. 2: 3d- 4： 3考点：平行线分线段成比例；三角形中位线定理. 专题：压轴题.分析：首先过点d作df/ be,由ad是bc边上的中线，

18、根据平行线分线段成比例定理，即可得 ef=fc ,又 由ae: ec=1 : 2,即可得ae=ef=fc ,然后根据平行线分线段成比例定理，即可求得ap : pd的值.解答：解：过点d作df / be ,交ac于f, ad是bc边上的中线， 即 bd=cd ,ef=cf ,ae : ec=1 : 2, ae=ef=fc , ae : ef=1 : 1, ap: pd=ae : ef=1 : 1. 故选a .b d c点评：此题考查了平行线分线段成比例定理.此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用，注意比例线段的对应关系.5. （1999?青岛）如图，ad是4abc的角平分

19、线，。过点a且和bc相切于点d,和ab、ac分别交于点e,f,如果 bd=ae ,且 be=a, cf=b,贝u af 的长为（）考点：平行线分线段成比例；平行线的判定；弦切角定理；切割线定理.d.专题：计算题；压轴题.分析:如图，连接 de ,由于 cb是圆的切线，所以/ bde= z bad ,而/ def= / dac= / bad,由此得到/ bde= / def ,接着得到ef / cb ,利用平行线分线段成比例得到 ab : ac=ae : af ,而根据ad 是4abc的角平分线可以得到 ab : ac=bd : dc,推出ae : af=bd : dc,已知bd=ae ,可推

20、出af=cd ,再利用切割线定理知道 cd2=cf?ca ,而ca=cf+af=cf+cd ,由此得到关于 af的一 元二次方程，解方程即可求出 af的长度.解答:解：如图，连接 de,. cb是圆的切线,/ bde= / bad ,而 / def=z dac= / bad , ./ bde= / def,ef / cb,ab : ac=ae : af ,.ad是abc的角平分线, .ab : ac=bd : dc,ae : af=bd : dc,而 bd=ae ,af=cd ,又bc相切于点d,cd2=cf?ca ,而 ca=cf+af=cf+cd , af2=cf（cf+af）,而 cf=

21、b,af2=b2+af b,af2-af b- b2=0, .，af=jl+v1 （负值舍去）2匕故选：c.点评：此题比较复杂，把平行线分线段成比例放在圆的背景中，首先利用切线的性质来构造平行线，再利用平 行线分线段成比例解决问题.二.填空题（共13小题）6. （2011?湘潭）如图，已知： 4abc 中，de/ bc, ad=3 , db=6 , ae=2 ,贝u ec= 4考点：平行线分线段成比例.专题：计算题；压轴题.分析：4abc中，de/bc,应用平行线分线段成比例的性质，可解答.解答：解：, abc 中，de/bc,- ad ae bd ec ad=3 , db=6 , ae=2

22、,3 2一 ?6 ecec=4.故答案为：4.点评：本题主要考查平行线分线段分线段成比例定理的理解及运用；找准对应关系，避免错选其他答案.7. （2011?镇江模拟）如图，点 d、e分别在4abc的边ab , ac上，de / bc,点g在边bc上，ag交de 于点h,点o是线段ag的中点，若 ad : db=3 : 1 ,则ao : oh= 2: 1 .考点：平行线分线段成比例.专题：压轴题.分析：根据平行线分线段成比例定理求出生l史l推出ao=3ag, oh=og - hg=1ag - jlag,代入求出即ag hg224可.解答： 解：de/bc, ad: db=3 : 1,. ad=a

23、h= 3 =3 ad=ah=3ab ag 1+3 4 bd hg 1oh=og - hg=1ag - iag , 24,点o是线段ag的中点，oa=og=1ag , 2.ao: oh=（工ag）: （ag-_1ag） =2: 1,224故答案为：2: 1.点评：本题考查学生对平行线分线段成比例定理的灵活运用，关键是检查学生能否熟练地运用平行线分线段定理进行推理.8. （2010?雅安）如图，已知点 。是4abc中bc边上的中点，且 毁上,则典二_ad 3 ac 4考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质.专题：计算题；压轴题.分析：过b作bf平行于ac,交de于点f,由两直线平行内错角

24、相等得到两对内错角相等，再由 。为bc 的中点，得到bo=co,利用aas可得出三角形bof与三角形coe全等，根据全等三角形对应边 相等可得出bf=ec,再由bf平行于ae,利用平行线等分线段定理列出比例式，根据已知 ab与 ad的比值求出bd与ad的比值，即可得到 bf与ae的比值，将bf等量代换为ec,可得出ec 与ae的比值，根据比例的性质即可求出ae与ac的比值.解答： 解：过b作bf / ac ,交de于点f, bf / ac ,/ fbo= zc, z bfo= / ceo ,又。为bc的中点，bo=co , 在obf和4oce中， zfb0= zc nbfo/ceq , lbo

25、=co obfaoce （aas）, bf=ce ,.ab 2 , bd 1.=一,二一,ad 3 ad 3又 bf / ae ,里二”二,ad ae 3- 1 =- =一）ae 3贝广,=一=.-=二.ac ce+ae 4故答案为：j.4点评：此题考查了平行线分线段成比例性质，全等三角形的判定与性质，以及比例的性质，其中根据题意作出 辅助线bf /ac是解本题的关键.9. （2009?瑞安市模拟）某校举行数学家 摇篮杯”会徽设计大赛，小明设计的会徽如图所示， 正4def和正4gmn 是由正4abc旋转2次得到，其中阴影部分的面积是空白部分面积的3倍，若正4abc的边长是6cm,则正4gec的

26、边长是 3匹 _cm.考点：平行线分线段成比例；等边三角形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质.专题：压轴题.分析：根据旋转的性质，4cge和4acb相似，根据相似三角形的性质即可解答.解答： 解：. abc、acge是等边三角形，b=zgec=60 ,ge / ab , 阴影部分的面积是空白部分面积的3倍， 四边形ageb是等腰梯形，且它的面积等于4gce的面积， . gec的面积是4abc面积的2有 sagec： saabc=ge2： ab 2=1 ： 2,ge=3“cm.点评：本题利用了旋转的性质，等边三角形的性质和判定及平行线截线段对应成比例求解.10. （2008?枣庄）将边长

27、分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为 上 4考点：平行线分线段成比例；正方形的性质.专题：压轴题.分析：因为阴影部分的面积 =s正方形bcqw - s梯形vbcf ,根据已知求得梯形的面积即不难求得阴影部分的面积了.解答:解：: vb / ed,三个正方形的边长分别为2、3、5, .vb: de=ab : ad ,即 vb : 5=2: (2+3+5) =1: 5,vb=1 , cf / ed, .cf: de=ac : ad ,即 cf: 5=5: 10.cf=2.5,s 梯形 vbfc=/ ( bv+cf )?bc=-4xeab cd阴影部分的面积=s正方

28、形bcqw - s梯形vbcf =故答案为：点评：本题利用平行线分线段成比例的性质，正方形的性质求解.in 2立q11. （2002?湛江）如图，d、e分别是 abc的边ab、ac上的点，de/ bc,若二不,则三.ud jll考点：平行线分线段成比例.专题：压轴题.分析：根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案.解答：解：de / bc.皿 犯2ec-db 3点评：此题考查了平行线分线段成比例定理的运用.12. （2009?湖州模拟）一般地，任意三角形都是自相似图形 ”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把 def （图乙）第一次

29、顺次连接各边中点所进行的分害u, 称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2），依此规则操作下去.n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（ n为正整 数），设此时小三角形的面积为sn.请写出一个反映 sn-1, sn, sn+1 （n1）之间关系的等式 _sn2=sn_ 专题：计算题；压轴题.?sn+1图1 （1阶）图2 u阶）图3 （3阶）考点：相似图形.专题：压轴题；规律型.分析：阶三角形有4个，把这4个三角形再分，每个分成 4个，即共有42个三角形，即2阶三角形有42个三角形，进而可以得到 n阶三角形有4n个三角形

30、.解答：解：设4def的面积是a贝u sn 1 =7, sn=-,尸1 4nsn+1 =34nh根据（） 4n2因而sn-1, sn, sn+1二者之间关系式是 sn =sn 1?sn+1.三者之间关系式是 sn2=sn 1?sn+1 .点评：这是一个猜想规律的问题，解题的关键是根据规律，能判断出n阶分割后小三角形的个数. 213. （2013?武威校级模拟）已知两个相似的菱形的相似比为2: 3,面积之差为5cm ,则这两个麦形的面积分别是 4cm2, 9cm2 .考点：相似多边形的性质.2分析：分别设两个菱形的面积为 xcm2、（x+5） cm2,然后根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方

31、列式求 解即可.解答：解：设两个菱形的面积为 xcm2、（x+5） cm2,;两个相似的菱形的相似比为2： 3,-= （-） 2,k+53解得x=4 ,x+5=9 ,.这两个菱形的面积分别是4cm2, 9cm2.故答案为：4cm2, 9cm2.点评：本题主要考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平方，熟练掌握性质并列出比例式是求解的关键.14. （2012?金堂县一模）如图，如果以正方形 abcd的对角线ac为边作第二个正方形 acef ,再以对角线 ae 为边作第三个正方形 aegh ,如此下去，已知正方形 abcd的面积si为1,按上述方法所作的正方形的 面积依次为s2, s3,，sn （

32、n为正整数），那么第9个正方形的面积 s9= 256 .h a b考点：相似多边形的性质；正方形的性质.专题：压轴题；规律型.分析：根据正方形的性质可知，当面积为1时，边长为1,对角线长为 我，以我为边的对角线长为 2,依次可推出第4个正方形边长2近，第5个边长为4,第6个边长为4%,第7边长个为8,第8边长 个为8瓶,知道边长可求出面积.解答：解：以正方形的对角线为边长就是在原来边长的基础上都乘以花就是下一个正方形的边长.因为第一个边长为1,所以第9个正方形的边长为16,s9=16m6=256.故答案为：256.点评：本题考查的是相似多边形的性质及正方形的性质，要求学生能够根据勾股定理得到前

33、后正方形的边长之间的关系，进一步得到面积之间的关系，从而找到规律.15. （2011?齐齐哈尔）如图， 4abc是边长为1的等边三角形.取 bc边中点e,作ed / ab , ef / ac,得到 四边形edaf ,它的面积记作 s;取be中点e1,作e1d1/fb, e1f1/ef,得到四边形 e1d1ff1,它的 面积记作s2.照此规律作下去，则s2011=_2（4）（表示为（1）4”?证亦可）842c考点：相似多边形的性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理.专题：压轴题；规律型.分析：先根据 abc是等边三角形可求出 abc的高，再根据三角形中位线定理可求出si的值，进而可得出s2的值

34、，找出规律即可得出 s2011的值.解答：解：. abc是边长为1的等边三角形， .abc 的高=ab?sin/a=1*二=二.de、ef aabc 的中位线,af=-,2，si二&避二遑2 2 2 s同理可得，s2=y5鼻;8 4际=亚（工）n8 4s20ii=? ） 2口1。（表示为己）423?泥亦可）.s 42故答案为：s20ii=w1? （-1） 2010 （表示为（4）423?丘亦可）.842点评：本题考查的是相似多边形的性质，涉及到等边三角形的性质、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数 值及三角形中位线定理，熟知以上知识是解答此题的关键.16. （20ii?东莞）如图（d,将一个正

35、六边形各边延长， 构成一个正六角星形 afbdce ,它的面积为i, baabc 和4def各边中点，连接成正六角星形aifibidiciei,如图（2）中阴影部分，取 aibici和 dieifi各边中点，连接成正六角星形 a2f2b2d2c2e2,如图（3）中阴影部分，如此下去,则正六角星形a4f4b4d4c4e4 的面积为 _l .256考点：相似多边形的性质；三角形中位线定理.专题：压轴题；规律型.分析：先分别求出第一个正六角星形afbdce与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答.解答：解：.ai、fi、bi、di、ci、ei分别是abc和adef

36、各边中点，正六角星形 afbdce s正六角星形 aifibidiciei,且相似比为2: i,正六角星形afbdce的面积为i, ，正六角星形 aifibidiciei的面积为4同理可得，第三个六角形的面积为：二;43 64第四个六角形的面积为:出二，16 4 4 256故答案为：.256点评：本题考查的是相似多边形的性质及三角形中位线定理，解答此题的关键是熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方.17. （20ii?青岛）如图，以边长为 i的正方形abcd的边ab为对角线作第二个正方形 aebo i,再以be为对 角线作第三个正方形 efbo2,如此作下去，则所作的第n个正方形的面积 sn=

37、_.考点：相似多边形的性质；正方形的性质.专题：压轴题；规律型.分析：由正方形abcd的边长为i,根据正方形的性质，即可求得aoi,eo2的值，则可求得s2,s3,s4的值，即可求得规律所作的第 n个正方形的面积 sn=t. 2n-1 解答：解：二.正方形 abcd的边长为i,ab=i , ac= v2,i20 . ae=ao 1=匚2，则：ao2=，ab=， s2=-22s3= -4s4=-,sn个正方形的面积sn=2n-1故答案为:点评：此题考查了正方形的性质.解题的关键是找到规律：所作的第n个正方形的面积 sn=1. 2n-118. （2010?长沙模拟）如图，依次连接一个边长为1的正方

38、形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连接第n个正方形的面积是21一二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去，则第42专题分析:解答:利用对角线乘积的一半求解, 即可求解.所以后一个正方形的面积等于前一个正方形的面积的一半,依此类推解：第1个正方形的边长是1,所以面积是1,第2个正方形的对角线是第一个正方形的边长，是1,所以面积是第3个正方形的对角线是第 2个正方形的边长，所以面积是ia_ i-z=.2 2 22依此类推，后一个正方形的面积是前一个正方形的面积的一半,第n个正方形的面积是故答案为：一.2n-1点评：本题是对图形变化规律的考查，根据正方形的面积等于边长的平方，或者

39、是对角线乘积的一半得出后个正方形的面积等于前一个正方形的面积的一半是解题的关键，也是解答本题的难点.三.解答题（共12小题）19. （2014?卢湾区三模）数学课上，张老师出示了问题1:如图1,四边形abcd是正方形，bc=1 ,对角线交点记作。，点e是边bc延长线上一点.连接 oe交cd边于f,设ce=x , 式及其定义域.cf=y ,求y关于x的函数解析（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线-过点吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；。作om，bc,垂足为m求解.你认为这个想法可行（2）如果将问题1中的条件 四边形abcd是正方形，bc=1”改为 四边形abcd是平行四边形，bc=3

40、 , cd=2 , 其余条件不变（如图2）,请直接写出条件改变后的函数解析式;考点：相似多边形的性质；三角形中位线定理；正方形的性质.压轴题；规律型.观察可得，后一个正方形的对角线是前一个正方形的边长，根据正方形的面积等于边长的平方，也可以（3）如果将问题1中的条件 四边形abcd是正方形，bc=1 ”进一步改为：四边形abcd是梯形，ad / bc ,bc=a, cd=b , ad=c （其中a, b, c为常量）”其余条件不变（如图 3）,请你写出条件再次改变后y关于x的函数解析式以及相应的推导过程.考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质；正方形的性质.分析：（1）由四边形 abcd是

41、正方形，可得 ob=od,又由omlbc,易证得om / dc,由平行线分线段成 比例定理即可求得 y关于x的函数解析式；（2）作om / cd交bc于点m ,利用（1）中的方法，即可求得 y关于x的函数解析式；（3）首先作on / cd交bc于点n,由平行线分线段成比例定理即可求得y关于x的函数解析式.解答：解：（1）如图：四边形abcd是正方形，ob=od .omxbc, ./ omb= / dcb=90 ,om / dc .om=1dc= cm=1bc=1. 2222 om / dc ,，包乌om em解得.定义域为x0.* 2i+l(x0).（3）如右图:ad / bc,bobc ab

42、0= a bd a+c过点o作on / cd,交bc于点n ,j： j0）.（a+c） x+acd5c3a点评：此题考查了平行线分线段成比例定理.此题的图形变化比较多，难度较大，解题的关键是注意识图，准 确应用数形结合思想解题.20. （2013?章丘市校级模拟）4abc中，ab=1 ,ac=2 , d是bc中点，ae平分/ bac交bc于e,且df / ae .求cf的长.考点：平行线分线段成比例.专题：应用题；压轴题.分析:解答:可彳ehxab , egxac,则有eh=eg ,由df/ae ,得出对应线段成比例，进而通过线段之间的转化 即可求出cf的长.解：分别过 e作ehxab于h,

43、eg，ac于g,因ae平分/ bac ,所以有 eh=eg .从而有又由df / ae ,得cf cd jec 1 re+ec = 1 （吗） ca=ce = 2ce = 2瓦-克 ce 4仔d 4所以cf=w义ca=w义=4442u 上点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的问题，能够熟练运用其性质求解一些简单的计算问题.21. （2012?衡阳）如图，a、b两点的坐标分别是（8, 0）、（0, 6）,点p由点b出发沿ba方向向点a作匀速 直线运动，速度为每秒3个单位长度，点q由a出发沿ao （o为坐标原点）方向向点o作匀速直线运动， 速度为每秒2个单位长度，连接 pq,若设运动时间为t （

44、0vtv里）秒.解答如下问题：3（1）当t为何值时，pq/ bo?（2）设4aqp的面积为s,求s与t之间的函数关系式，并求出 s的最大值；若我们规定：点p、q的坐标分别为（xi,yi）,（x2,y2）,则新坐标（x2-xi,y2-yi）称为 向量pq”的坐标.当s取最大值时，求向量pq”的坐标.考点：平行线分线段成比例；二次函数的最值；勾股定理；三角形中位线定理.专题：分析：代数几何综合题；压轴题；动点型.（1）如图 所示，当pq/ bo时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式 期望，求出t的值;ab a0（2） 求s关系式的要点是求得 4aqp的高，如图 所示，过点p作过点p作pd，x轴于点d,构 ap pn造平行线pd/bo,由线段比例关系