解析函数的罗朗展式与孤立奇点

1、复变函数教案第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点河北民族师范学院数计系第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点上一章主要介绍了函数在解析点的邻域(圆 )内，可以展开成通常的幂级数,但在奇点的领域内则不能，例如函数在点，现在我们考虑挖去了奇点的 圆 环，并讨论在圆环内解析函数的级数展开。这样将得到推广的幂级数 laurent（罗朗）级数。它既可以是函数在孤立奇点去心领域内的laurent 展式，反过来，以它为工具就便于研究解析函数在孤立奇点去心领域内的性质。taylor 级数与 laurent 级数都是研究解析函数的有力工具。第一节解析函数的罗朗展式教学课题 ：第一节解析函数的洛朗展式教学目的 ： 1、

2、了解双边幂级数在其收敛圆环内的性质；2、充分掌握洛朗级数与泰勒级数的关系；3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数教学重点 ：掌握洛朗级数的展开方法教学难点 ：掌握洛朗级数的展开方法教学方法 ：启发式、讨论式教学手段 ：多媒体与板书相结合教材分析 ：洛朗级数是推广了的幂级数，它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开，也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。教学过程 ：1、双边幂级数在本节中， 我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。首先考虑级数01 (zz0 ) n2 ( zz0 ) 2.n ( zz0 ) n.104复变函数教案第五

3、章解析函数的罗朗展式与孤立奇点河北民族师范学院数计系1其中 z0 ,0 , 1 ,., n ,.是复常数。此级数可以看成变量 的幂级数；设这幂级数的收敛半 z z01径是 r。如果 0r，那么不难看出， 此级数在 | zz0 |内绝对收敛并且内闭一致收敛，r在 | z z0|1内发散。同样，如果r，那么此级数在 | z z0 |0 内绝对收敛并且内闭一r致收敛；如果 r= 0，那么此级数在每一点发散。在上列情形下，此级数在z z0 没有意义。于是根据定理2.3，按照不同情形，此级数分别在| z z0 |1r1 (0 r)及 | zz0 |0 内收敛于一个解析函数。r2、解析函数的洛朗展式:更一

4、般地，考虑级数n ( zz0 )n ,n这里 z0, n(n 0, 1, 2,.)是复常数。当级数n ( zz0 )n 及n (zz0 )n ,n 0n1都收敛时，我们说原级数n ( zz0 ) n 收敛，并且它的和等于上式中两个级数的和函数相加。n设上式中第一个级数在| zz0 |r2 内绝对收敛并且内闭一致收敛，第二个级数在| zz0 |r1内绝对收敛并且内闭一致收敛。于是两级数的和函数分别| zz0 |r2 及 | zz0 |r1 在内解析。又设 r1r2 ，那么这两个级数都在圆环d : r1| zz0 |r2 内绝对收敛并且内闭一致收敛，于是我们说级数n ( z z0 )n 在这个圆环

5、内绝对收敛并且内闭一致收敛；显然它的和函数是一个解n析函数。我们称级数n (z z0 ) n 为洛朗级数 。因此，洛朗级数的和函数是圆环d 内的解析n函数，我们也有定理 5.1 （洛朗定理） 设函数 f(z)在圆环： d : r1| zz0 |r2 (0r1r2)105复变函数教案第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点河北民族师范学院数计系内解析，那么在d 内f ( z)n ( z z0 )n ,n其中，n1f ()d , (n0,1,2,.)2 i (z0 )n 1是圆 | z z0 | ,是一个满足 r1r2 的任何数。证明： 设 z 是圆环d内任一点，在d内作圆环 d : r 1| zz0

6、| r2 ，使得 zd ，这里r1 r1 r2 r2 。用 1及2 分别表示圆 | zz0 |r1 及 | zz0 |r2 。由于 f ( ) 在闭圆环 d 上解析，根据柯西定理，有f ( z)1f ( ) d12 i2z2 i1f () d，z其中积分分别是沿1及 2 关于它们所围成圆盘的正向取的。当 2 时，级数1111zz(z z )zz z00001z0(zz0 )nn 0 (z ) n 10一致收敛；而当1 时，级数11(z0 ) nz( zz0 )(1z0)n 0 ( z z0 )n 1z0z一致收敛。把这两个式子代入前面的式子，然后逐项积分，我们就看到f(z)有展式f ( z)n

7、 ( zz0 )n ,n其中，106复变函数教案第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点河北民族师范学院数计系1f ( )n 1 d ,( n 0,1,2,.) n1f ( )d , (n 1,2,.)nz0 )z0 )n 12 i2 (2 i 1 (由柯西定理，上面两式中的积分可以换成沿圆的积分，于是定理的结论成立。注解 1、由于函数f(z)的解析区域不是单连通区域，所以公式n1f ( )n 1 d , (n 0,1,2,.) 不能写成：nf (n ) ( z0 ).2 i(z0 )n!注解 2、我们称n ( zz0 )n 为 f(z)的解析部分，而称n (zz0 )n 为其主要部分。n 0n1注

8、解 3、我们称n ( zz0 ) n , 为 f(z)的洛朗展式 。n定理 5.2设洛朗级数n ( zz0 )n 在圆环nd : r1 | z z0 | r2 (0 r1r2)中内闭一致收敛于和函数g(z)，那么此展式就是g(z)在 d内的洛朗展式：g (z)n ( z z0 )n.n证 明 ： 现在 把 系 数 用 g(z) 计 算出 来 。 在 d内 任 取一 圆:| zz0| ( r1r2 ) ， 用 乘1( z z0 )k 1 以定理中展式的两边，然后沿求积分。由于所讨论的级数在上一致收敛，2i在求积分时，对有关级数可以逐项积分，于是我们有1g( z) k 1 dzk 1( z z0

9、)n k 1 dzk2i( z z0 )2i(k 0,1,2,.)这里因为上式中求和记号后各项只有在n=k 时不为零，因此定理的结论成立。注解： 此定理表明，洛朗级数的系数可以用它的和函数来计算，同时，这也表明，g(z)在 d内不可能有其他形式的洛朗展式，因此我们有下面的解析函数洛朗展式的唯一性定理：推论 5.1在定理 5.1 的假设下， f(z)在 d 的洛朗展式式唯一的。例 1、 求函数1分别在圆环 1|z|2 及 2 | z |内的洛朗级数展式。(z 1)( z2)107复变函数教案第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点河北民族师范学院数计系解：如果 1|z|2，那么 | z |1,| 1

10、| 1, 利用当 |1 时的幂级数展式2z12.n.11我们得11111zn1( z 1)( z 2)z 2 z 12(1z1)n 0 2n 1n 1 zn ;)z(12z如果 2 | z |，那么 | 2|1,| 1 |1, 同样，我们有zz111( z 1)( z 2)z 2z 1112n 112n 1 121n 1 znn 1 znn 2 zn.)z(1 )z(1zz例 2、sin z及 sin z 在 0| z |内的洛朗级数展式是：z2zsin z1zz3.(1) n z2 n 1z2z3!5!( 2n.1)!sin z1z2z4.(1)n z2nz3!5!( 2n.1)!1例 3、

11、 e z 在0| z |内的洛朗级数展式是：111111ez1. 。z2! z2n! zn例 4、求函数1在圆环 1|z|3 内的洛朗级数展式。( z21)( z 3)解：由于 1|z|3，那么 | 1 |1,| z |1, 利用当 | 1时的幂级数展式z3112.n.1我们得(z211 ( 1z 3 )1 ( 1z1 z23) ，1)( z 3) 8 z 3 z218 z 3 z21108复变函数教案第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点河北民族师范学院数计系111zn1111而z 33(1z)3n 0 3n ;z212(11z2n 0 z2 n;3z2 )z所以，有11(zn132 ).2n

12、1n 0 z2n 12n(z 1)(z 3) 8n 0 3n 0 z109复变函数教案第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点河北民族师范学院数计系第二节解析函数的孤立奇点教学课题 ：第二节解析函数的孤立奇点教学目的 ： 1、掌握孤立奇点的三种类型；2、理解孤立奇点的三种类型的判定定理；3、归纳奇点的所有情况；4、充分理解关于本性奇点的两大定理。教学重点 ：孤立奇点的三种类型教学难点 ：孤立奇点的三种类型的判定定理教学方法 ：启发式、讨论式教学手段 ：多媒体与板书相结合教材分析 ：孤立奇点是解析函数中最简单最重要的一种类型，以解析函数的洛朗级数为工具，研究解析函数在孤立奇点去心邻域内一个解析函数的性

13、质。教学过程 ：1、解析函数的孤立奇点：设函数 f(z)在去掉圆心的圆盘d : 0| zz0 |r(0r) 内确定并且解析， 那么我们称z0 为 f(z)的孤立奇点。在d 内， f(z)有洛朗展式f (z)n ( z z0 )n ,n其中1f ()d , (n 0, 1, 2,.)nc (z0 )n 12 ic 是圆 | z z0 | (0r) 。n ( zz0 )n , 为 f(z)的正则部分，n (z z0 ) n , 为n 0n 1f(z) 的主要部分。110复变函数教案第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点河北民族师范学院数计系sin zsin z1例如， 0 是,ez 的孤立奇点。,z2

14、z一般地，对于上述函数f(z)，按照它的洛朗展式含负数幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：2、可去奇点如果当时 n=-1,-2,-3, ， n 0 ，那么我们说 z0是 f(z)的可去奇点， 或者说 f(z)在 z0 有可去奇点。这是因为令f ( z0 )0 ，就得到在整个圆盘 | zz0 | r 内的解析函数 f(z)。1例如， 0 分别是 sin z , sin z , ez 的可去奇点、单极点及本性奇点。2zz定理 5.3 函数 f(z)在 d : 0| zz0 | r(0r) 内解析，那么 z 0是 f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限，lim f ( z)

15、0 ，其中0是一个复数。zz0证明：（必要性）由假设，在 0| zz0 |r 内， f( z)有洛朗级数展式：f (z)01( zz ).n( zz ) n.00因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是r，所以它的和函数在| zz0 |r 内解析，于是显然存在着 lim f (z)0 。z z0（充分性） 设在 0 | zz0 |r 内， f(z)的洛朗级数展式是f (z)nn (zz0 )n ,由假设，存在着两个正数m 及0 ( r) ，使得在 0| zz0|0 内，| f ( z) |m ,那么取，使得 00 ，我们有| n |12m(n0, 1,2,.)mn 1n2当 n=-1,-2,-3,

16、 时，在上式中令趋近于0，就得到n0(n1, 2, 3,.) 。于是 z0 是 f(z)的可去奇点。111复变函数教案第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点河北民族师范学院数计系推论 5.3设函数 f(z)在 d : 0 | zz0 |r(0r) 内解析，那么z0 是 f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数0 (r) ，使得 f(z) 在 0| z z0|0 内有界。3.席瓦尔兹 (schwarz) 引理如果函数 f (z) 在单位圆z 1内解析，并且满足条件f (0)0, f ( z)1, ( z1) 则在单位圆 z1内恒有 f ( z)z 且有 f (0)1如果上述等式成立或在

17、圆z 1内一点 z00 出前一式等号成立则当且仅当f ( z) eiz, ( z1) 。4.极点下面研究极点的特征。如果只有有限个（至少一个）整数n，使得n 0 ，那么我们说 z0 是 f(z) 的极点。设对于正整数 m，m0 ，而当 nm n 1，我们也称 z0 是 f(z)的单极点或 m 重极点。设函数 f(z)在 0| zz0 |r 内解析， z0 是 f( z)的 m(1) 阶极点，那么在0 | zz0 | r 内，f(z) 有洛朗展式：f ( z)mm 1.11 ( zz0 ) .n (zn( z z0 )m( z z0 ) m 10z0 ) .z z0在这里m0 。于是在 0 |

18、zz0 |r 内f ( z)mm 1.101 ( zz0 ) .n (z z0 )n.( z z0 )m(z z0 )m 1z z0在这里(z) 是一个在 | zz0 | r 内解析的函数，并且( z0 )0 。反之，如果函数f(z) 在0 | zz0 |r 内可以表示成为上面的形状，而(z) 是一个在 | zz0 | r 内解析的函数，并且( z0 )0 ，那么可以推出z0 是 f(z)的 m 阶极点。定理 5.4设函数 f( z)在 d : 0 | z z0 | r( 0r) 内解析，那么 z0 是 f(z)的极点的必要与充分条件是： lim f ( z)。z z0112复变函数教案第五章

19、解析函数的罗朗展式与孤立奇点河北民族师范学院数计系证明： 必要性是显然的，我们只证明充分性。在定理的假设下，存在着某个正数0 (r) ，使得在 0| zz0|0 内， f (z)0 ，于是 f ( z)1在 0| z z0 |0 内解析，不等于零，而f ( z)且 lim f ( z)lim10 。因此 z0 是 f(z)的一个可去奇点，从而在0 | z z0|0 内，有洛f ( z)zz0zz0朗级数展式：f (z)01( zz0 ) .n (zz0 )n.我 们 有lim()0 。 由 于 在内 ， 由 定 理5.1 ， 可 以 设0z z0f z0 | z z0 |0f ( z) 001

20、.m 10,m0 。由此得 f ( z)( zz0 )m( z) ，其中( z) 在 | zz0 | 0 内解析，并且不等于零( z0 )m 0) 。于是在 0| zz0 |0 内，f (z)1( z) ，(zz0 )m在这里，(z)1在 | zz0 |0 内解析， ( z0 )m(m ) 10) 。因此 z0 是 f(z)的 m 阶极(z)点。推论 5.4设函数 f(z)在 d : 0| zz0 |r(0r) 内解析，那么 z0 是 f(z)的 m 阶极点的必要与充分条件是：lim ( z z0 ) m f ( z)m ，在这里m 是一个正整数，m 是一个不等z z0于 0 的复数。5.本性

21、奇点关于解析函数的本性奇点，我们有下面的结论：如果有无限个整数 n0 或 r=0，我们得到在 0 | w | 1 或 0 | w |内解析的函数( w)f ( 1 ) ，wrw其洛朗级数展式是：( z)nn ,nw如果 w=0 是 ( z) 的可去奇点、（ m 阶）极点或本性奇点，那么分别说z是 f( z)的可去奇点、（ m 阶）极点或本性奇点。因此z（ 1）、如果当时 n=1,2,3, ， n 0 ，那么是 f( z)的可去奇点。（ 2）、如果只有有限个（至少一个）整数n，使得n 0，那么 z是 f(z) 的极点。设对于115复变函数教案第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点河北民族师范学院数计

22、系正整数 m， m 0 ，而当 nm 时，n0 ，那么我们称 z是 f(z)的 m 阶极点。 按照 m=1或 m1，我们也称 z是 f(z)的单极点或m 重极点。（ 3）、如果有无限个整数n 0，使得n0，那么我们说 z是 f(z)的本性奇点。注解 1、我们也称n zn ,n zn ,分别为级数n zn ,的解析部分和主要部分。n 0n 1n注解 2、若 z为 f(z)的可去奇点，我们也说f(z)在无穷远点解析。注解 3、上一段的结论都可以推广到无穷远点的情形，我们综合如下：定理 5.3设函数 f( z)在区域 r | z |内解析，那么 z是 f(z) 的可去奇点、极点或本性奇点的必要与充分

23、条件是：存在着极限、无穷极限lim f ( z) 或不存在有限或无穷的极限zlim f (z)。z推论 9.1 设函数 f(z)在区域 r | z |内解析，那么 z是 f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数0 ( r) ，使得 f(z)在0 | z z0 |内有界。定理 5.4f ( z) 的孤立奇点定理 5.5f ( z) 的孤立奇点zz为极点的充要条件是lim f (z)。z为本性奇点的充要条件是下列链条中的任何一条成立：（ 1） f ( z) 在点 z的主要部分有无穷多项正幂不等于零（ 2） lim f ( z)不存在。zz例在点 z的去心邻域内将函数f ( z) e

24、z 2 章程罗朗级数。例问函数 sec 1在 z=1 的去心邻域内能否展开为罗朗级数。z1116复变函数教案第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点河北民族师范学院数计系第四节整函数亚纯函数的概念与schwarz引理教学课题：第四节整函数与亚纯函数教学目的 ： 1了解整函数的概念与分类；2了解亚纯函数的概念及其与有理函数的关系；教学重点 ：整函数与亚纯函数教学难点 ：亚纯函数的概念及其与有理函数的关系教学方法 ：启发式、讨论式教学手段 ：多媒体与板书相结合教材分析 ：根据解析函数的孤立奇点特征，可区分出两种最简单的解析函数族，那就是整函数与亚纯函数。教学过程 ：1、整函数：如果 f(z) 在有限复平

25、面 c 上解析，那么它就称为一个 整函数 。显然无穷远点是整函数的孤立奇点。在 c 上， f(z) 围绕无穷远点的洛朗展式也就是其泰勒展式：f (z)n zn ,n 0当 f( z)恒等于一个常数时，无穷远点是它的可去奇点；当f(z)是 n(1) 次多项式时，无穷远点是它的 n 阶极点；在其它情况下，无穷远点是f(z)的本性奇点，而这时称f(z)为一个超越整函数。例如 ez ,sin z, cos z 等都是超越整函数，无穷远点是它们的本性奇点。由刘维尔定理，我们有代数基本定理：任何 n(1) 次代数方程至少有一个根。证明 ：设p(z)n znn 1 zn 1.0 ( n0)是一个这样的代数方

26、程。我们要证明整函数p(z)至少有一个零点。反证之，假定p(z)没有零点，117复变函数教案第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点河北民族师范学院数计系那么1也是一个整函数，因为p(z)| p( z) | | zn ( nn 1.n0 ) | | z |n (| n | | n 1 |. | 0n|) | ( z 0)zz| z| z |所以我们有lim | p(z) |10, limzzp( z)因而1 在全平面上有界，于是根据刘维尔定理，1恒等于 0，与所设矛盾，因此p(z)至少p(z)p( z)有一个零点。定理5.10设 f(z)是一个整函数，按照z是可去奇点、 n( 1) 阶极点或本性奇点，必须而且只需 f(z) 是恒等于常数、 n( 1) 次多项式或超越整函数。证明： 设 z是 f(z)的可去奇点，那么lim f (z) 为有限复数，从而f(z) 有界，由刘维尔定z理， f(z)恒等于一个常数。设 z是 f(z) 的极点或本性奇点时，设f(z)在 z的主要部分是nk zk或k zkg ( z)k 1k 1那么 z是 f(z)- g(z)的可去奇点。因此，f(z)=g(z)+c，其中 c 为一个常数。定理的必要性显然成