高次方程及解法

1、精心整理高次方程及解法?江苏省通州高级中学 ?徐嘉伟一般地，我们把次数大于 2 的整式方程，叫做高次方程。由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程， 采用“ 1 判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。一、1 判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1 是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1 是方程的根。求出方程的1

2、的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（ x+1 ）,降低方程次数后依次求根。“ 1 判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。例 1 解方程 x4+2x3 -9x2-2x+8=0解：观察方程 ,因为各项系数之和为 :1+2-9-2+8=0( 注意 :一定把常数项算在偶数项系数当中 ),根据歌诀“系和零,+1 根”,即原方程中可分解出因式 (x-1),(x4 +2x3 -9x2-2x+8)(x-1)=x 3+3x 2-6x-8观察方程 x3 +3x2 -6x-8=0 ，偶次项系数之和为： 3-8=-5 ；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌

3、诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（ x+1），（x3+3x 2-6x-8 ）(x+1)=x2+2x-8 ，对一元二次方程x2 +2x-8=0有（x+4）（x-2）=0,原高次方程x4 +2x3 -9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1)(x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1 =1;当 (x+1) 时，有 x2=-1; 当(x-2)=0 时，有 x3=2;当(x+4)=0 时，有 x4 =-4点拨提醒：在运用“ 1 判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。二、常数项约数求根法精心整理根据定理 :“如果整系数多项式 anxnan-1x

4、n-1 +a1x+a 0 可分解出因式 px-q,即方程 anxn an-1 xn-1 +a1x+a 0 =0 有有理数根 q （、 q 是互质整数），那么，一定p是首项系数 an 的约数， q 一定是常数项a0 的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。“常数项约数求根法”分为两种类型：第一种类型：首项系数为1。对首项（最高次数项）系数为1 的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解。例 1 解方程 x4 +2x3 -4x2-5x-6=0解：第一步：首先列

5、出“常数项”-6 的所有约数1、2、3、6第二步：将这些约数逐一代入原方程验算，确定原方程中所含的“带根”因式。根据各项系数和不为零和奇数项系数和不等于偶数项系数和，排除1 根，f(2)=16+16-16-10-6=0f(-3)=81-54-36+15-6=0,所以原方程中含有因式（x-2）（x+3）第三步：用长除法将原方程降次。（x4+2x 3-4x 2-5x-6 ） (x-2)(x+3)=x 2+x+1第四步：解一元二次方程 x2+x+1=0x= bb24ac =1124 111 3i2a1 3i ,23i ,21=2134xx =2x =2x =-32第二种类型， 首项系数不为 1。对首

6、项系数不为的高次方程， 首先以首项系数为“公因数”提取到小括号外，然后对小括号内的方程的常数项列出公约数。 特别注意此时代入方程验算的值一定是q 而不是，因为此时原方程的因式是（x），p其余的解法步骤同首项系数为的解法步骤相同。例解方程 x3-x2 x-6解：将原方程化为（x3- 2 x2 x-）此时，“常数项”为-2，它的约数为1，32 ，根据“ 1 判根法”排除 1，这时，代人原方程验算的只能是q = 2，或 q =- 232p3p 32288f(2) =322=30=033332 3272 23327所以原方程中有因式（ 3x-2）。_（3x3 -x2 x-6 ）(3x-2)=x 2+3

7、解方程式 x2+3=0x=3i，x1=3i，x2=- 3i222原方程的解为 x1= 3i，x2 =3i，x3= 2223三、倒数方程求根法1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如ax4+bx 3+cx 2+dx+e=0, 其中， ae, bd 或者 a=-e,b=-d2、性质：倒数方程有三条重要性质：（1）倒数方程没有零根；（2）如果 a 是方程的根，则 1 也是方程的根；a（ 3）奇数次倒数方程必有一个根是 -1 或者 1，分解出因式 (x+1) 或(x-1) 后降低一个次数后的方程仍是倒数方程。3、倒数方程求解方法：如果 ax4+bx 3+cx 2+dx+e=0是倒数

8、方程，由于倒数方程没有零根，即 x0,所以，1111方程两边同除以x2得：a(x2 + x2)+b(x+x )+e=0,令 x+ x=y,x 2+x2=y2-2,即原方程变为：ay 2+by+(e-2a)=0, 解得 y 值，再由 x+ 1 =y ，解得 x 的值。x例 1 解方程 2x4 +3x3 -16x 2+3x+2=0解：x20方程两边同除以 x2 得： 2x2+3x-16+ 3 + 22=0, 即 2（x2 + 12 ）+3xxx（x+ 1 ）-16=0,2 （x+ 1 ） 2 -2+3 （x+ 1 ）-16=0, 令 x+ 1 =y, 代入方程整理得：xxx5x2y2+3y-20=

9、0,解之得： y =-4,y=即122x+ 1=-4,x 2+1=-4x,x 2+4x+1=0,x=bb24ac =4424 1 1 = 412 =x2a2242 3 =-23 ,2x1=-2+ 3 ,x2=-2- 3又 x+ 1 = 5 2x2+2=5x,2x 2-5x+2=0(2x-1)(x-2)=0x3 = 1 ,x4 =2x 22经检验知 x1 =-2+3 ,x2=-2-3 ，x3= 1 ,x4=2 都是原方程的根。2例 2 解方程 6x 5-4x 4-3x3 +3x2 -4x-6=0精品资料精心整理解：观察该方程首尾等距离对应项系数互为相反数，且最高次幂项数是奇数，有根 x=1, 方

10、程两边同除以因式（ x-1 ）得：6x4+10x 3 +7x2 +10x+6=0 ，方程两边同除以x2 并整理得：6x21+10x17 01x得6y210y5 0x 2x,令 y= xy1555 , y2555 方程 x+ 1555 无实数解： x1555 得：66x6x6x 2,355510556412经检验知： x11, x2555105564是原方程的实数根。12点评讲析：例 1、例 2 这些倒数方程的特征是首尾等距离对应项系数相等，用一般表达式表述为 ax4+bx 3+cx 2+dx+e=0, 其中 a=e,b=d, 或者 a=-e,b=-d对首尾对应项系数相等的方程，我们一眼就能发现

11、是“倒数方程”，两边同除以 x2,化成可用“换元法”替解的一元二次方程求解。但有些方程，首尾等距离对应项系数不相等，但这些系数又有这样的规律：如ax4+bx 3+cx 2+kbxk 2a0 (a0 )即常数项可以分解成同四次项系数相同的数字“a”和另一个因数“k2”的乘积，一次项系数可分解出同三次项系数相同的数字 b 和与常数项k 2 相同的数字 k 的乘积，凡是具有这样规律特征的方程，也可以用“倒数方程求根法”来解答。例 3：x4 +5x3 +2x2 +20x+16=0解：e164 21k 2a ，d=20=45kb属于倒数方程的“特例形式”，可用“倒数方程求根法”求解。原方程两边同除以x2

12、得：x2+5x+2+20160 ，xx2x 21644165 x2 0设 y=x+,则x2y 8x2xxx2即： y2+5y-6=0y=-6或 1,当 y=-6时， x+ 46, x35当 y=1 时， x+ 4x1(无实数根 )x135 , x235x四、双二次方程及推广形式求根法双二次方程有四种形式：第一种是标准式，如：ax4+bx 2+c=0, 此时设 y=x2 原方程化为含 y 的一元二次方程 ay2 +by+c=0 ，求出 y 值在代入 x2 之值，从而求出x 之值。_第二种形式双二次方程的推广形式。如：（ax2+bx+c ）2+m(ax 2 +bx+c)+d=0, 此时设 y=(a

13、x 2 +bx+c), 也可转化为含 y 的一元二次方程 y2+my+d=0, 解出 y 值代入 ax2+bx+c=y从而求出原方程的根x 之值。第三种形式是 (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+m=0, 此时，方程左边按照“创造相同的多项式，换元替换”的要求，将（ x+a ）(x+c);(x+b)(x+d) 结合（一般是最小数与最大数，中间数与中间数组合），展开相乘，创造相同的多项式（ ax2 +bx+c ）或成比例的多项式 m(ax 2+bx+c), 然后设 y=ax 2+bx+c, 将原方程转化为含y 的一元二次方程y2+my+e=0, 求出 y 值，将 y 值代入 ax2+bx+

14、c=y 求 x 之值。第四种形式是（x-a）4+(x-b) 4=c 的形式，此时，将“-a ”换成+b“”或将-“b”换成+a“”，利用 y=x+ab,消去 x 的三次项和一次项，变成双二次方程244yab+ya b 的形式求解。22例 1 解方程 x4 +3x2 -10=0解：本例属于双二次方程标准式ax4 +bx2 +c=0 的形式，直接设 y=x 2,则原方程化为： y2 +3y-10=0(y+5)(y+2)=0y=-5或者 y=2x25 (舍去 )，x2 =2,x 1 =2 ， x22例 2 解方程（ x2-3x+2 ）2 =9x-3x 2 -2解：本例属于双二次标准方程ax4+bx

15、2+c=0 推广形式的第二种类型 （ ax2+bx+c ）2 +m(ax 2+bx+c)+d=0 ，因为括号内的二次三项式和括号外的二次三项式经过整理， 对应项系数成比例，即： (x2-3x+2) 2+3(x 2-3x+2)-4=0 设 y=x2 -3x+2, 则原方程转化为y2+3y-4=0 y4，或者 y=1x 2-3x+2=-4,x 2-3x+6=00无实数2-3x+2=1,x2-3x+1=0x=35原方程的根 x =35x =35根,x,21222例 3 解方程 (x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x2解：本例题属于双二次标准方程ax4+bx 2+c=0 推广形式的第三种类型

16、（ x+a ）(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,这种方程解答的核心要领是“创造可供设 y 换元的相同多项式”。根据这个要求，只有将（ x+2 ）(x+12) 和(x+3)(x+8) 组合（最小数 2 和最大数 8 组合，中间数 3 和 8 结合），才能创造出“相同”的多项式“x2+24 ”,即x214 x24x211x244x 2 ，设 yx 224 则原方程转化为(y+14x)(y+11x)=4x 2,y2+25xy+150x 2 =0,(y+10x)(y+15x)=0y+10x=0或精品资料精心整理y+15x=0,y+10x+24=0 或y+15x+24=0,x 2+10x+24=0,x 1=-4x 2=-6;x 2+15x+24=0, x15 129 , x315 1292215129x42例 4 解方程 (x-6) 4+(x-8) 4=16解：本题属于双二次标准方程ax4+bx 2+c=0 推广形式的第四种类型（ x-a）4+(x-b) 4=c 的形式。x6x87(x-6) 4+(x-8) 4=(x-7+1) 4+(x-7-1) 4,设 y=x-7则原方程转化2x为: y 1 4y1 416 ,y12 2y12 216, (y4+4y2 +1+4y 3+2y 2+4y)+(y 4+4y 2+1-4y 3 +2y 2-4y)