IIR数字滤波器的计算机优化与设计

1、 陕西理工学院毕业设计IIR数字滤波器的计算机优化与设计张欢乐（陕理工物理与电信工程学院 电子信息科学与技术专业2008级2班，陕西 汉中 723000）指导教师：黄朝军摘要 数字滤波技术是数字信号处理的一个重要组成部分，滤波器的设计是信号处理的核心问题之一，本文介绍了IIR数字滤波器的特性以及应用，分析了IIR数字滤波器的基本原理、系统函数、差分方程、技术指标、基本结构、设计流程。分别采用脉冲响应不变法和双线性变换法，设计出巴特沃斯、切比雪夫I型、切比雪夫2型以及椭圆滤波器，并对这些不同类型的滤波器进行了比较，分析它们的滤波性能；同时还对比分析了不同阶数情况下，同一类型低通数字滤波器的滤波性

2、能，设计出满足技术指标的最优IIR数字滤波器。关键词 数字滤波，IIR滤波器， MatlabOptimization and Designing of IIR Digital FilterZhang Huan Le (Grade 08,Class 2,Major electronic information science and technology, School of Physics and Telecommunication Engineering, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000,Shaanxi)Tutor : Hu

3、ang Chao-JunAbstract: Digital filter technology is an important part of digital signal processing, and the design of filter is a core problems in signal processing. The author introduced the characteristics and application of the IIR digital filter, and the basic principle, system function, differen

4、ce equation, technical index, basic structure, design process of IIR digital filter are analyzed in this paper. Using the impulse response and bilinear transformation method, the Butterworth, chebyshev 1, chebyshev 2 and Ellipse filter are designed, and compare their performance in the case of same

5、order, and then the filter performance of one kind filter with different order are analyzed also. Finally the IIR digital filter which satisfy the technical indexes is designed.Key words: digital filter; IIR filter; Matlab 目 录1引言11.1数字滤波器的研究背景与意义11.2数字滤波器的应用现状与发展趋势11.3论文的主要框架22 IIR数字滤波器的概述32.1 IIR数字

6、滤波器基本原理32.2 IIR数字滤波器特点32.3 IIR数字滤波器的优越性32.4数字滤波器的分类和技术指标42.5数字滤波器的设计方案52.6设计思路53 IIR滤波器的算法设计63.1 基本结构63.2 技术指标和系统函数63.3 IIR滤波器的设计原理和思路73.3.1低通滤波器的设计过程73.3.2 高通、带通和带阻滤波器的设计过程73.4 IIR数字滤波器的设计方法73.4.1脉冲响应不变法73.4.2 双线性变换法83.5 IIR数字滤波器的计算机实现103.5.1 IIR数字滤波器的计算机设计步骤103.5.2 MATLAB工具箱中巴特沃斯滤波器的设计函数114 IIR数字滤

7、波器的Matlab实现124.1直接设计法设计巴特沃斯带通数字滤波器124.2 不同阶数的巴特沃斯低通滤波器的特性比较124.3参数相同时四种低通滤波器的特性比较134.4当阶数相同时四种类型模拟滤波器的比较144.5设计巴特沃斯模拟高通滤波器154.6 设计巴特沃斯模拟带通和带阻滤波器154.7 设计相同参数的椭圆和巴特沃斯低通模拟滤波器165脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR数字低通滤波器165.1脉冲响应不变法与双线性变换法的比较175.2用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器175.3给不同滤波器中加入载波信号进行对比206滤波器的硬件设计216.1三阶低通滤波器的设计216.2举

8、例说明217 结语23致谢23参考文献24附录251 引言1.1 数字滤波器的研究背景与意义当今，数字信号处理1DSP (Digtal Signal Processing)技术正飞速发展，它不但自成一门学科，更是以不同形式影响和渗透到其他学科。它与国民经济息息相关，与国防建设紧密相连；它影响或改变着我们的生产、生活方式，因此受到人们普遍的关注。数字化、智能化和网络化是当代信息技术发展的大趋势，而数字化是智能化和网络化的基础，实际生活中遇到的信号多种多样，例如广播信号、电视信号、雷达信号、通信信号、导航信号、射电天文信号、生物医学信号、控制信号、气象信号、地震勘探信号、机械振动信号、遥感遥测信号

9、等等。上述这些信号大部分是模拟信号，也有小部分是数字信号。模拟信号是自变量的连续函数，自变量可以是一维的，也可以是二维或多维的。大多数情况下一维模拟信号的自变量是时间，经过时间上的离散化(采样)和幅度上的离散化(量化)，这类模拟信号便成为一维数字信号。因此，数字信号实际上是用数字序列表示的信号，语音信号经采样和量化后，得到的数字信号是一个一维离散时间序列；而图像信号经采样和量化后，得到的数字信号是一个二维离散空间序列。数字信号处理，就是用数值计算的方法对数字序列进行各种处理，把信号变换成符合需要的某种形式。例如，对数字信号进行滤波以限制他的频带或滤除噪音和干扰，或将他们与其他信号进行分离；对信

10、号进行频谱分析或功率谱分析以了解信号的频谱组成，进而对信号进行识别；对信号进行某种变换，使之更适合于传输，存储和应用；对信号进行编码以达到数据压缩的目的等等。数字滤波技术是数字信号分析、处理技术的重要分支。无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传输是至关重要的。在所有的电子系统中，使用最多技术最复杂的要算数字滤波器了。数字滤波器的优劣直接决定产品的优劣。1.2 数字滤波器的应用现状与发展趋势在信号处理过程中，所处理的信号往往混有噪音，从接收到的信号中消除或减弱噪音是信号传输和处理中十分重要的问题。根据有用信号和噪音的不同特性，提取有用信号的过

11、程称为滤波，实现滤波功能的系统称为滤波器。在近代电信设备和各类控制系统中，数字滤波器应用2-5极为广泛，这里只列举部分应用最成功的领域。(1) 语音处理 语音处理是最早应用数字滤波器的领域之一，也是最早推动数字信号处理理论发展的领域之一。该领域主要包括5个方面的内容：第一，语音信号分析，即对语音信号的波形特征、统计特性、模型参数等进行分析计算；第二，语音合成，即利用专用数字硬件或在通用计算机上运行软件来产生语音；第三，语音识别，即用专用硬件或计算机识别人讲的话，或者识别说话的人；第四，语音增强，即从噪音或干扰中提取被掩盖的语音信号。第五，语音编码，主要用于语音数据压缩，目前已经建立了一系列语音

12、编码的国际标准，大量用于通信和音频处理。近年来，这5个方面都取得了不少研究成果，并且，在市场上已出现了一些相关的软件和硬件产品，例如，盲人阅读机、哑人语音合成器、口授打印机、语音应答机，各种会说话的仪器和玩具，以及通信和视听产品大量使用的音频压缩编码技术。(2) 图像处理数字滤波技术以成功地应用于静止图像和活动图像的恢复和增强、数据压缩、去噪音和干扰、图像识别以及层析X射线摄影，还成功地应用于雷达、声纳、超声波和红外信号的可见图像成像。(3) 通信在现代通信技术领域内，几乎没有一个分支不受到数字滤波技术的影响。信源编码、信道编码、调制、多路复用、数据压缩以及自适应信道均衡等，都广泛地采用数字滤

13、波器，特别是在数字通信、网络通信、图像通信、多媒体通信等应用中，离开了数字滤波器，几乎是寸步难行。其中，被认为是通信技术未来发展方向的软件无线电技术，更是以数字滤波技术为基础。(4) 电视数字电视取代模拟电视已是必然趋势。高清晰度电视的普及指日可待，与之配套的视频光盘技术已形成具有巨大市场的产业；可视电话和会议电视产品不断更新换代。视频压缩和音频压缩技术所取得的成就和标准化工作，促成了电视领域产业的蓬勃发展，而数字滤波器及其相关技术是视频压缩和音频压缩技术的重要基础。(5) 雷达雷达信号占有的频带非常宽，数据传输速率也非常高，因而压缩数据量和降低数据传输速率是雷达信号数字处理面临的首要问题。告

14、诉数字器件的出现促进了雷达信号处理技术的进步。在现代雷达系统中，数字信号处理部分是不可缺少的，因为从信号的产生、滤波、加工到目标参数的估计和目标成像显示都离不开数字滤波技术。雷达信号的数字滤波器是当今十分活跃的研究领域之一。(6) 声纳声纳信号处理分为两大类，即有源声纳信号处理和无源声纳信号处理，有源声纳系统涉及的许多理论和技术与雷达系统相同。例如，他们都要产生和发射脉冲式探测信号，他们的信号处理任务都主要是对微弱的目标回波进行检测和分析，从而达到对目标进行探测、定位、跟踪、导航、成像显示等目的，他们要应用到的主要信号处理技术包括滤波、门限比较、谱估计等。 (7) 生物医学信号处理 数字滤波器

15、在医学中的应用日益广泛，如对脑电图和心电图的分析、层析X射线摄影的计算机辅助分析、胎儿心音的自适应检测等。(8) 音乐数字滤波器为音乐领域开辟了一个新局面，在对音乐信号进行编辑、合成、以及在音乐中加入交混回响、合声等特殊效果方面，数字滤波技术都显示出了强大的威力。数字滤波器还可用于作曲、录音和播放，或对旧录音带的音质进行恢复等。(9) 其他领域数字滤波器的应用领域如此广泛，以至于想完全列举他们是根本不可能的，除了以上几个领域外，还有很多其他的应用领域。例如，在军事上被大量应用于导航、制导、电子对抗、战场侦察；在电力系统中被应用于能源分布规划和自动检测；在环境保护中被应用于对空气污染和噪声干扰的

16、自动监测，在经济领域中被应用于股票市场预测和经济效益分析等等。1.3 论文的主要框架本篇论文主要讨论IIR滤波器的基本结构和特点，硬件设计有源三阶低通滤波器。计算机设计不同参数的IIR数字滤波器，首先将要设计的数字滤波器的技术指标转换成相应的模拟滤波器的技术指标，接着按照转换后的模拟滤波器的技术指标设计出相应的原型模拟滤波器，最后以一定的方法将设计出的模拟滤波器转换为用户所需的数字滤波器。用Matlab工具箱设计不同阶数的巴特沃斯低通滤波器性能的对比，再用同种方法设计出巴特沃斯高通模拟滤波器，然后设计出巴特沃斯带阻滤波器、带通滤波器，设计出在同种参数下不同类型的数字滤波器的对比，最后用脉冲响应

17、不变法和双线性变化法设计出低通数字滤波器，找出最优的设计方案。2 IIR数字滤波器的概述2.1 IIR数字滤波器基本原理实际应用中，多数情况利用数字滤波器来处理模拟信号。处理模拟信号的数字滤波器基本结构如图2.1所示。图2.1中，输入端接入一个低通滤波器H1(S)，其作用是对输入信号的频带进行限制，以避免频谱混叠；输出端也接一个低通滤波器H2(S)，以便将D/A变换输出的模拟量良好地恢复成连续时间信号6。设计IIR数字滤波器一般采用间接法（脉冲响应不变法和双线性变换法），应用最广泛的是双线性变换法。基本设计过程是：（1）将给定的数字滤波器的指标转换成过渡模拟滤波器的指标；（2）设计过渡模拟滤波

18、器；（3）将过渡模拟滤波器系统函数转换成数字滤波器的系统函数。IIR数字滤波器的设计一般是利用目前已经很成熟的模拟滤波器的设计方法进行设计，通常采用模拟滤波器原型有巴特沃斯函数、切比雪夫函数、椭圆滤波器函数等1。2.2 IIR数字滤波器特点 (1)IIR数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形式。(2)IIR数字滤波器采用递归型结构，即结构上带有反馈环路。IIR数字滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、级联型、并联型三种结构形式，都具有反馈回路。(3)IIR数字滤波器在设计上可以借助成熟的模拟滤波器的设计方法进行设计，通常采用模拟滤波器原型有巴特沃斯函数、切

19、比雪夫函数、椭圆滤波器函数等，由现成的设计数据或图表可查，其设计工作量比较小，对计算工具的要求不高，在设计一个IIR数字滤波器时，我们根据指标写出模拟滤波器的公式，然后通过一定的变换，将模拟滤波器的公式转换成数字滤波器的公式。(4)IIR数字滤波器的相位特性不好控制，对相位要求较高时，需加相位校准网络7。2.3 IIR数字滤波器的优越性从性能上来说，IIR数字滤波器传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获得较高的选择性，所用的存贮单元少，信号延迟小，所以经济而效率高。目前已广泛应用于通信、语音、雷达、声纳、地震、生物医学、遥控遥测、地质勘探、自动控制、图像处理、航空航天、故

20、障检测、自动仪表等领域。数字滤波是数字信号处理的一个重要分支，目前，数字信号滤波器的设计图像处理、数据压缩等方面的应用取得了令人瞩目的进展和成就。它具有可靠性好、精度高、灵活、体积小、重量轻等优点，它是通过数字滤波器来实现的。鉴于此，数字滤波器的设计就显得尤为重要。2.4数字滤波器的分类和技术指标按照不同的分类方法，数字滤波器有许多种类，但总起来可以分成两大类：经典滤波器和现代滤波器。经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器滤除干扰，得到纯净信号，达到滤波的目的。但是，如果信号和干扰的频谱相互重叠，则经典滤波器不能有效地滤除干扰，

21、最大限度地恢复信号，这时就需要现代滤波器，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地回复信号，从而达到最佳滤波的目的1。数字滤波器从频率特性可以分为：低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器。数字滤波器从实现的网络结构上分类，可分为：无限脉冲响应滤波器和有限脉冲响应滤波器。滤波器的技术要求主要包括四个方面，即：1. 低通滤波器的截止频率主要包括通带截止频率和阻带下限截止频率；2. 高通滤波器的截止频率主要包括通带截止频率和阻带上限截止频率；3. 带通滤波器的截止频率主要包括通带下限截

22、止频率，通带上限截止频率；4. 带祖滤波器的截止频率与带通滤波器一样，也主要包括通带下限截止频率，通带上限截止频率，下阻带截止频率，以及上阻带截止频率。滤波器中带通带阻的容限的具体技术指标，往往由允许的最大衰减 及阻带应达到的最小衰减给出。通带及阻带的衰减，分别定义为： （2.1） （2.2）式中均假定已被归一化为1。由于在数字滤波器设计中是用弧度表示的，而实际上给出的频率要求往往是实际频率，单位是，因此在数字滤波器的设计中还应给出采样频率。2.5数字滤波器的设计方案数字滤波器的设计方法有两种：直接法和间接法。IIR数字滤波器和FIR数字滤波器都可以采用直接法进行设计，对于IIR数字滤波器主要

23、分为两种设计方法：时域直接设计法和频域直接设计法。图2.2为直接法设计数字滤波器的过程7。图2.2直接法设计数字滤波器框图间接法的思路是先设计一个合适模拟滤波器，然后通过脉冲响应不变法和双线性变换法来变换成满足预定指标的数字滤波器，用间接法设计IIR数字滤波器可以利用现成的模拟滤波器设计公式，是目前手工设计阶数较低的IIR数字滤波器的主要方法。图2.3是间接法设计数字滤波器的过程7。图2.3间接法设计数字滤波器框图由图2.2和图2.3比较可以看出：间接法设计思路清晰，步骤详尽，可参阅公式等。但是由于其计算繁琐，手工计算大多只能用来进行简单的低阶选频滤波器的设计，而直接设计方法，可应用MATLA

24、B软件信号处理工具箱中所提供的一整套函数，通过原型变换法直接设计各种典型的滤波器。2.6设计思路数字滤波器的设计就是用一个因果稳定的离散线性时不变系统（LTI）去逼近给定的性能指标要求。系数的求解在数学上是一个逼近问题，如果在s平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z平面上去逼近，则是数字滤波器的设计。 无论是IIR数字滤波器设计，还是FIR数字滤波器设计，数字滤波器的大致由以下步骤完成。 （1）根据要求，确定滤波器的性能指标。 （2）用因果稳定离散LTI系统的系统函数去逼近这一性能指标。 （3）用有限精度算法来实现这个系统函数（其中包括滤波器结构选择、有限字长效应的处理方法等）。 （4）利用

25、计算机软件或专用数字滤波器硬件的实际技术实现。3 IIR滤波器的算法设计3.1 基本结构无限长单位脉冲响应网络，存在输出对输入的反馈支路，IIR系统的基本网络结构有三种，直接型、级联型、并联型。实际应用中大量采用级联和并联两种结构1。3.2 技术指标和系统函数设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器。低通滤波器的技术指标是：通带截止频率（又称通带上限频率）：阻带下限截止频率：通带允许的最大衰减：阻带允许的最小衰减（，的单位dB）：通带上限角频率 ：阻带下限角频率对于单调下降的幅度特性，和可表示成： （3.1） （3.2） （3.3） （3.4） （3

26、.5）如果能有，和求出可求出所需要的Ha(s)。Ha(s)必须是因果稳定的，因此极点必须落在s平面的左半平面，相应的Ha(-s)极点必然落在右半平面，Z域N阶IIR数字滤波器的系统函数为公式： （3.6）IIR 数字滤波器可用一个n阶差分方程表示： （3.7）公式(3.6)中、为滤波系数。当全为零时，该滤波器为FIR数字滤波器；当不全为零时，则为IIR滤波器。对照模拟滤波器的传递函数： （3.8）数字滤波器与模拟滤波器的设计思路相仿，其设计实质也是寻找一组系数b,a，去逼近所要求的频率响应，使其在性能上满足预定的技术要求；不同的是模拟滤波器的设计是在S平面上，用数学逼近法去寻找近似的所需特性H

27、(S)，而数字滤波器则是在Z平面寻找合适的H(Z)。IIR数字滤波器的单位响应是无限长的，而模拟滤波器一般都具有无限长的单位脉冲响应，因此与模拟滤波器相匹配。由于模拟滤波器的设计在理论上已十分成熟，因此数字滤波器设计的关键是将H(S)H(Z)，即：利用复值映射将模拟滤波器离散化。已经证明，脉冲响应不变法和双线性变换法能较好地担当此任，则在此基础上，数字滤波器的设计就可首先归结为模拟滤波器的设计了 3。3.3 IIR滤波器的设计原理和思路对于IIR数字滤波器的设计，通常采用模拟滤波器设计技术来实现IIR数字滤波器的设计。这是因为模拟滤波器的设计已经有很多简单而又有现成的设计公式可循，并且设计参数

28、已经表格化，设计起来准确且方便，这种方法可使数字滤波器设计变得简单有序、容易实现。通常模拟滤波器设计IIR数字滤波器有以下几步完成：(1)根据给定的数字滤波器指标要求，确定模拟滤波器的技术指标。(2)按照模拟滤波器的性能指标要求，设计模拟滤波器的系统函数。模拟滤波器的种类和设计方法很多，其中较为典型的、性能优良的设计方法有：巴特沃斯（Butterworth）滤波器设计法、切比雪夫(Chebyshev)滤波器设计法和椭圆(Elliptic)滤波器设计法等。(3)用适当的数字化方法（如脉冲响应不变法、双线性变换法等），将模拟滤波器的系统函数转换成数字滤波器的系统函数。3.3.1低通滤波器的设计过程

29、(1)由得到象限对称的s平面函数。(2)将因式分解，得到零点和极点。(3)由求出的的零点、极点及增益常数，可完全确定系统函数。3.3.2 高通、带通和带阻滤波器的设计过程高通、带通和带阻滤波器设计的一般过程是：(1)通过频率变换公式，现将需要设计的滤波器指标转换为相应的低通滤波器的指标；(2)设计相应的低通系统函数Q(p)；(3)对Q(p)进行频率变换，得到希望设计的滤波器系统函数H(S)。3.4 IIR数字滤波器的设计方法 3.4.1脉冲响应不变法1变换原理脉冲响应不变法的基本原理是将模拟滤波器的单位冲击响应加以等间隔的抽样（抽样周期为T），使数字滤波器的单位冲激响应正好等于的抽样乘值T ，

30、即 （3.9）冲激响应不变法的实现流程如下： (3.10)抽样序列的z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系： （3.11）冲激响应不变法将模拟滤波器的s平面变换映射成数字滤波器的z平面，其变换关系式为： (3.12)2模拟滤波器的数字化方法从（3.11）式可知，模拟滤波器转换成数字滤波器是通过以下公式得来的：可将展成部分分式： （3.13）该模拟滤波器的单位脉冲响应为： （3.14）其中u(t)是连续时间的单位脉冲响应。冲激响应不变法要求h(n)等于的抽样，由（3.10）和（3.15）可得： （3.15）对h(n)求z变换可得数字滤波器的系统函数： （3.16）若时，（4.17）式可改写为： （

31、3.17） 3脉冲响应不变法的实现步骤综上所述，在实际设计过程中，脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器的步骤如下：(1)确定数字滤波器的性能指标和。(2)利用，将数字滤波器的性能指标变换成模拟滤波器的性能指标和。(3)利用成熟的模拟滤波设计方法设计模拟滤波器，求出。(4)若能写成的形式，就可直接通过式将模拟滤波器转变成数字滤波器的系统函数H(z)。否则，需对进行拉氏逆变换求的，然后对按式进行抽样，才能获得数字滤波器的单位冲激响应h(n)。3.4.2 双线性变换法脉冲响应不变法是使数字滤波器在时域上模仿模拟滤波器，其缺点是产生频率响应的混叠失真。造成此缺陷的主要原因是，从s平面到z平面是多值得映射

32、关系。为了辟免冲激响应不变法的缺点，对于模拟滤波器的数字化，人们又提出了双线性变换法。1.变换原理 为了克服冲激响应不变法多只映射这一缺点，双线性变换法则将整个s平面映射到平面中的一个带宽为横带上（该带域的下限频率为，带域的上限频率为），然后通过变换关系把平面映射到整个z平面上。由于整个s平面与带域为到的平面与z平面上的点也是一一对应的，由此可以消除多值映射所带来的频谱混叠现象。2.模拟滤波器数字化方法首先，为了将s平面整个地变换到平面的横带到范围，取频率变换关系： （3.18）其中，c是待定常数；是s平面的纵坐标，即s平面的频率变量；是平面的纵坐标，即平面的频率变量。根据上式，当从到变化时，

33、将从变化，且一一对应。将上式改写为： (3.19)解析延拓到整个s平面和平面，令，则得到s平面到平面变换的关系： (3.20)然后，将平面通过以下标准变换关系映射到z平面：Z= (3.21)将(3.22)代到（3.21）中，从而得到s平面与z平面的单值映射关系： （3.22） （3.23）（3.22）和（3.23）则称为双线性变换公式。当c取值随频率不同而不同，分为两种：（1）时，；（2）使数字滤波器的某一频率与模拟滤波器的一个特定频率严格相对应，则。3.双线性变换法的实现步骤（1）确定数字滤波器的技术指标（通带频率、通带最大衰减、阻带频率、阻最小衰减）。（2）采用频率转换关系，将数字滤波器的

34、技术指标转换成模拟滤波器的技术指标，即和转换成和，对于通带最大衰减和阻带最小衰减。（3）按照模拟滤波器的技术指标设计模拟滤波器，获得模拟滤波器的系统函数。（4）利用式（4.4.5），将s平面转换到z平面，得到数字滤波器的系统函数，即 （3.24）通常情况下，c一般取，T可任意取，一般情况下取18。3.5 IIR数字滤波器的计算机实现3.5.1 IIR数字滤波器的计算机设计步骤(1)指标归一化处理。如果采用双线性变换法，还需进行预畸变。(2)确定最小阶数N和频率参数。可供选用的阶数择函数有：buttord，cheblord，cheb2ord，ellipord等。(3)运用最小阶数N设计模拟低通滤

35、波器原型。模拟低通滤波器的创建函数有：buttap,cheblap, cheb2ap和ellipap，这些函数输出的是零极点式形式，还要用zp2tf函数转换成分子分母多项式形式。如果想根据最小阶数直接设计模拟低通滤波器原型，可用butter，chebyl，cheby2，ellip等函数，只是注意要将函数中的设为1。(4)根据第2步的频率参数，模拟低通滤波原型转换模拟低通、高通、带通、带阻滤波器，可用函数分别是：lp21p,lp2hp,lp2bp,lp2bs。(5)运用脉冲响应不变法或双线性变法把模滤波器转数字滤波器，调用的函数是impinvar和bilinear。脉冲响应不变法适用于采样频率大

36、于4倍截止频率的锐截止低通带通滤波器，而双线性变换法适合于相位特性要求不高的各型滤波器。具体设计框图8如图3.1所示：图3.1利用MATLAB设计IIR的框图由图3.1可知，利用MATLAB设计IIR数字滤波器可分为以下几步来实现：（1） 按一定规则将数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器技术指标。（2） 根据转换后的技术指标，使用滤波器阶数函数，确定滤波器的最小阶数N和截止频率Wc。（3） 利用最小阶数N产生模拟低通滤波原型。（4） 利用截止频率Wc把模拟滤波器原型转换成模拟低通、高通、带通或带阻滤波器。（5） 利用脉冲响应不变法或双线性变换法把模拟滤波器转换成数字滤波器。3.5.2 MA

37、TLAB工具箱中巴特沃斯滤波器的设计函数Z,P,K=buttap(N)，用于计算N阶巴特沃斯归一化模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增益因子，其中K表示滤波器增益。N,wc=buttord(,RP,As)，用于计算巴特沃斯滤波器的阶数N和3dB截止频率。N,wc=buttord(,RP,As, s)，用于计算巴特沃斯滤波器的阶数N和3dB截止频率。B,A=butter(N, ,ftype)，用于计算N阶巴特沃斯模拟滤波器的系统函数分子和分母多项式的系数向量B和A，有系统向量B和A可以写出数字滤波器的系统函数： （3.25） 式（3.9）中，B(N)和A(N)分别为向量B和A的第N个元素。B

38、,A=butter（N,wc,ftype,s），用于计算N阶巴特沃斯模拟滤波器的系统函数分子和分母多项式的系数向量B和A，有系统向量B和A可以写出模拟滤波器的系统函数： （3.26）用参数ftype来区分低通还是高通滤波器。当ftype=high，设计3dB截止频率为的高通滤波器。缺省ftype时默认设计低通滤波器。ftype=stop时，设计3dB截止频率为的带阻滤波器，此时为二元向量,和分别为带阻滤波器的通带3dB下截止频率和上截止频率2。注意：设计的带通和带阻滤波器的系统函数是2N阶的。这是因为带通滤波器相当于N阶低通滤波器与N阶高通滤波器级联7-14。4 IIR数字滤波器的Matlab

39、实现4.1直接设计法设计巴特沃斯带通数字滤波器图4.1 波特沃斯数字滤波器的幅频响应图4.1中给出的是巴特沃斯型模拟带通幅频特性与数字带通幅频特性的比较，其中给定的参数为：fp=480Hz,520Hz，fs=450Hz,550Hz，wp=2*pi*480Hz,520Hz，ws=2*pi*450 Hz,550 Hz， rp=3dB，rs=20dB。计算程序见附录A。幅频特性对比由图4.1可看出：模拟滤波器在500Hz时达到最高幅度，而数字滤波器在1.6Hz达到最高幅度；相频特性对比由图4.1可看出：模拟滤波器的通带为500Hz， 数字滤波器的通带为1.6Hz。由此可得出结论：当给定数字滤波器指标

40、时，采样间隔T的取值对频谱混叠程度影响很小，而对模拟滤波器的影响较大；数字滤波器的幅频响应较好地逼近了模拟滤波器的幅度响应，但相位响应却出现了较大失真。4.2 不同阶数的巴特沃斯低通滤波器的特性比较图4.2给出的是5阶、4阶、3阶、2阶巴特沃斯低通滤波器的幅频特性曲线，给定参数为：通带截止频率fp=5khz，fp1=4khz，fp2=3khz，fp3=1khz，通带最大衰减ap=2dB，阻带截止频率fs=12khz，阻带最小衰减as=30dB。计算程序见附录B。将B和A代入公式3.9写出系统函数为：滤波器的阶数N选取了5阶、4阶、3阶、2阶，由图4.2可以看出N值越大，通带和阻带的近似就越好，

41、过渡带的特性越陡，响应曲线在通带内越平缓，在阻带内衰减的速度越大，实际应用中，根据需要选择合适的滤波器阶数。幅度平方函数特性如图4.2所示。这种函数具有以下特点：通带内具有最大平坦幅度特性，在正频率范围内 ，随频率升高而单调下降；阶数越高，过渡带越窄；没有零点。图4.2 5阶、4阶、3阶、2阶低通滤波器的幅频特性 4.3参数相同时四种低通滤波器的特性比较 给定相同的滤波器参数：wp=20*2*pi，ws=50*2*pi，Rp=1，Rs=30，Fs=200，Ts=1/Fs，分别利用巴特沃斯滤波器、切比雪夫I型滤波器、切比雪夫II型滤波器、椭圆滤波器进行低通滤波器的设计。设计程序见附录C。图4.3

42、 相同参数下不同滤波器的低通滤波器的幅频特性调用MATLAB中相应的函数，运行程序得出图4.3：由图4.3运行结果很容易验证，当给定相同滤波器参数时，通带最大衰减ap和阻带最小衰减as参数相同时，巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性，过渡带最宽。优点是它的通带最平坦，趋向阻带时衰减单调增大，缺点是从通带到阻带的过渡带最宽，对于带外干扰信号的衰减作用最弱，过渡带不够陡峭。两种类型的切比雪夫滤波器相同点是：它们的过渡带比巴特沃斯滤波器的过渡带窄，但比椭圆滤波器的过渡带宽；切比雪夫1型和II型滤波器都具有等波纹幅度特性。不同之处是：切比雪夫I型滤波器的过渡带比切比雪夫II型滤波器的过渡带宽；切比雪夫

43、I型滤波器的通带幅频响应几乎与巴特沃思滤波器相同，通带是等波纹特性；切比雪夫II型滤波器的通带频率比其他滤波器延迟大约15Hz左右，阻带是等波纹幅频特性。椭圆滤波器的过渡带最窄，通带和阻带均是等波纹幅频特性。4.4当阶数相同时四种类型模拟滤波器的比较图4.4 同阶数不同类型的滤波器的对比图图4.4是巴特沃斯滤波器（左上）和同阶第一类切比雪夫滤波器（右上）、第二类切比雪夫滤波器（左下）、椭圆函数滤波器（右下）的频率响应图。调用MATLAB滤波器设计函数，由4.4图很容易验证，当阶数相同时，对相同的通带最大衰减ap和阻带最小衰减as，巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性，过渡带最宽。它的通带内没有

44、波纹，在靠近零频处，有最平坦通带，趋向阻带时衰减单调增大，缺点是从通带到阻带的过渡带最宽，对于带外干扰信号的衰减作用最弱，过渡带不够陡峭。两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，比巴特沃斯滤波器的过渡带窄，但比椭圆滤波器的过渡带宽。切比雪夫1型滤波器在通带具有等波纹幅度特性，过渡带和阻带是单调下降的幅频特性。切比雪夫2型滤波器的通带幅频响应几乎与巴特沃思滤波器相同，阻带是等波纹特性。椭圆滤波器的过渡带最窄，通带和阻带均是等波纹幅频特性。由上述比较可见，四种滤波器各具特点。工程中实际中选择哪种滤波器取决于对滤波器阶数和相位特性的具体要求。例如，在满足所给相同指标的条件下希望滤波器阶数最低时，就

45、应当选择椭圆滤波器。4.5设计巴特沃斯模拟高通滤波器 图4.5 Q(P)损耗函数曲线图 图4.6 由低通转换高通后的滤波器 图4.7 直接设计的高通巴特沃斯滤波器图4.5给出的是5阶巴特沃斯高通滤波器的幅频特性曲线，计算中已知参数为通带边界频率为4KHz,阻带边界频率为1 KHz，通带最大衰减为0.1dB，阻带最小衰减为40dB。先设计低通滤波器，由低通滤波器转换为高通滤波器，计算程序见附录D，图4.6是转化为低通滤波器的幅频曲线图。图4.7是调用函数buttord和butter直接设计巴特沃斯高通滤波器，计算程序见附录E。4.6 设计巴特沃斯模拟带通和带阻滤波器 图4.8 5阶巴特沃斯带通滤

46、波器损耗函数曲线图 图4.9 5阶巴特沃斯带阻滤波器幅频图图4.8的运行结果：N = 5图4.9的运行结果：N= 5图4.8给出的是5阶巴特沃斯模拟带通滤波器的损耗函数曲线图，计算中已知参数为通带上、下边界频率分别为4KHZ和7KHZ，阻带上、下边界频率分别为2KHZ和9KHZ，通带最大衰减为1dB,阻带最小衰减为20dB。计算程序见附录F。图4.9给出的是5阶巴特沃斯模拟带阻滤波器的幅频函数图，计算中已知参数是阻带上、下边界频率分别为4KHZ和7KHZ，通带上、下边界频率分别为2KHZ和9KHZ，通带最大衰减为1dB，阻带最小衰减为20dB，计算程序见附录G。4.7 设计相同参数的椭圆和巴特

47、沃斯低通模拟滤波器图4.10 相同参数不同类型的模拟拟低通滤波器损耗图运行结果：Nb = 7， Ne = 4图4.10给出的是7阶巴特沃斯低通滤波器和4阶椭圆模拟低通滤波器，计算中已知参数通带截止频率fp=3khz，通带最大衰减ap=0.1dB，阻带截止频率fs=12khz，阻带最小衰减as=60dB。计算中程序见附录H。由图4.11可知，同种参数用不同类型设计的滤波器，所需的阶数是不同的，巴特沃斯需要更高的阶数（N=7），这就延长了计算时间。而椭圆滤波器的阶数最低（N=4），阶数差别较大。所以，就满足滤波器幅频响应指标而言，椭圆滤波器的性能价格比最高，应用将会更广泛。5脉冲响应不变法和双线性

48、变换法设计IIR数字低通滤波器 5.1 脉冲响应不变法设计数字低通滤波器5.2 双线性变换法设计数字低通滤波器图5.1运行结果：N = 4图5.2运行结果：N = 2图5.1为脉冲响应不变法设计数字低通滤波器的幅频特性曲线，指标参数如下：fp=2100，fs=8000，Fs=20000，Rp=0.5，Rs=30，T=1/Fs，计算中程序见附录I。图5.2为双线性变换法设计低通数字滤波器的幅频函数图，已知参数频率低于2100Hz时，容许幅度误差在0.5dB以内；在频率8000Hz到10000Hz之间的阻带衰减大于30dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。计算程序见附录J。通过运行结果得出以

49、下结论：当给定相同参数来设计数字滤波器时，冲击响应不变法的阶数N=4，幅频和相频特性的过渡带频率为6800Hz；双线性变换法的阶数N=2，幅频相频特性过渡带频率为5500Hz。通过比较可知，对于给定相同参数来设计滤波器的方法中，双线性变换法在硬件实现上性价比高，同时滤波效果好。5.1脉冲响应不变法与双线性变换法的比较脉冲响应不变法的优点是：模拟频率和数字频率之间的转换关系是线性的，并保持了模拟滤波器的时域瞬态特性。缺点：当模拟滤波器频率响应不是严格限带时，则用冲击响应不变法设计出的数字滤波器在频域出现混叠现象。脉冲响应不变法会造成频响混叠，不宜用来设计高通、带阻滤波器，适用于基本上是限带的滤波

50、器，如低通和带通滤波器。设计性能要求又较高时，则不宜使用这种方法。双线性变换法克服了频率响应的混叠响应的混叠现象，但频率变换关系产生了非线性。对具有分段常数幅频特性的选频滤波器来说，频率非线性失真问题可以用预畸变方法解决。并且双线性变换法同脉冲响应不变法相比，它具有计算简单和易于实现的特点。因此，实际工作中广泛采用双线性变换法来设计IIR数字滤波器。5.2用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器1.实现步骤： （1）确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带衰减ap、阻带截止频率s、阻带衰减as。（2）将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。如果采用脉冲响不变法，边界频

51、率的转换关系为。如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为。（3）按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。（4）利用双线性变换法将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。（5）数字低通技术指标为：p=0.4rad a p=1dB s=0.5rad a s=40dbB（6）模拟低通的技术指标为：归一化截止角频率为：wp=2pi*Fs/Ft， ws=2pi*Fs/Ft（7）利用模拟切比雪夫滤波器设计数字滤波器。通带截止频率为：wp=0.4*pi； 阻带截止频率为：ws=0.5*pi；通带最大衰减为：Rp=1；阻带最大衰减为：As=15；设定周期为1s

52、；模拟低通滤波器的生成：b,a=cheby1(n,1,Wn,low,s)； 满足设计指标的最小阶数n和截止频率为：Wnn,Wn=cheb1ord(OmegaP,OmegaS,1,40,s)。上面的设计步骤可简化为图5.3：确定数字低通滤波器的各项性能指标数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器利用双线性变换法将模拟滤波器转变为数字低通滤波器利用模拟切比雪夫滤波器设计数字滤波器图5.3 滤波器设计流程方框图2.举例说明（1）技术指标通带边界频率为400Hz，阻带边界频率为500Hz，通带最大衰减1dB，阻带最小衰减40dB，抽样频率为2

53、000Hz。希望采用双线性变换法设计切比雪夫I型数字滤波器。程序见附录K。图5.4 切比雪夫1型低通滤波器及其传输零极点图由图5.4可知：极点全在单位元内部，因而该滤波器是稳定的。其中滤波器传输函数的零极点对系统频率响应的影响是：在原点（z=0）处的极点或零点至单位圆的距离大小不变，其值为，故对幅度影响不起作用；单位圆附近的零极点将对系统的幅度响应的位置和深度有明显的影响；单位圆内且靠近单位圆附近的极点将对系统幅度响应凸峰的位置和峰度有明显的影响。因此，适当的控制系统函数的极点、零点分布、就能改变数字滤波器的频率响应特性，达到预期的要求。（2）当给（1）中加入信号，其中300Hz，600Hz，

54、求滤波器的输出，并给出的图形。图5.5 滤波器输入x、x1、x2与输出y的波形由5.5图可知，输出信号y的波形与给出的x1信号和x2信号的频率有关，其中x信号是x1信号和x2 信号的叠加，x幅频特性受x1和x2信号的影响，输出信号y和输入信号x波形相同，频域延迟了5Hz左右，由此可知，数字滤波器的作用就是通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的比例或者滤除某些频率成分。5.3给不同滤波器中加入载波信号进行对比图5.6 切比雪夫1型数字带通滤波器输入一个方波信号图图5.7 巴特沃斯型数字带通滤波器输入一个方波信号 图5.6和图5.7进行观察对比可得：当给定指标参数为fp=480,520，fs=450,550，rp=3，rs=20，wp=2*pi*480,520， ws=2*pi*450,550，方波频率为f=100Hz。用切比雪夫1和巴特沃斯设计的