数值计算方法课程设计讲解

1、成绩:重庆邮电大学数理学院数值计算方法课程设计题 目小行星轨道问题组 员： 1191301、徐 鑫、20132130511191301、闵子剑、2013213019指导教师：尹龙军完成日期：2014年12月28日重庆邮电大学数理学院制目录一. 课程设计目的 3二. 课程设计题目 3三. 理论知识和算法 3四. 计算过程及计算结果截屏6五. 求解结果的分析和结论 9六. 课程设计的心得与体会 9附录 10、课程设计目的1）掌握线性方程组的求解。2）掌握列主元、全主元高斯-约当消元法求方程的解。3）利用编程实现列主元、全主元高斯-约当消元法的求解。4）会使用Matlab软件。5）比较并分析这两种方

2、法的区别。二、课程设计及内容 （题目）一个天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平 面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在五个不同的点对小行星作了 五次观察，测得轨道上五个点的坐标数据（单位：万公里）如下表所示:P1F2P4P5X坐标53605584606285966662688941.0Y坐标602611179169542349268894由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，椭圆的一般方程可 表示为：2 2 a1x 2a2xy a3y 2a4x 2a5 y 1=0现需要建立椭圆的方程以供研究。（1）分别将五个点的数据代入椭圆一般方程中，写出五个待定 系数满足的等式，整理后写出线

3、性方程组AX = b以及方程组的系数矩阵和右端项 b；（2）用列主元、全主元高斯-约当消元法求方程的解。比较列主元、全主元高斯-约当消元法求方程的解优缺点及分析其误差。三、问题的分析 （含涉及的理论知识、算法等）1、在（1）问中，由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道 为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可 表示为2 2 aix 2a2xy a3y 2a4X 2a5y 1=0.问题分析与建立模型天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（X1, yi）,（X2,和，（X3,肿,（X4,y4）,（X5,y5）.由Kepler第一定律知，小行

4、星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲 线，二次曲线的一般方程为aiX2 2a2Xy a3y2 2a4X 2a5y 0.为了确 定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得产22a1X2a2X1ya3y1 +2a4X3417571600.0,3951253881. 0,4443822244. 0,474 383236, 0646047460. 0,1307048680, OJ2131422972.0,3132047408. 0,9492766472.0,36312676. 0,124970041, 0,287438116.0,B5L874064. 0,4746383236. 0,10

5、7210. g110920. 0J125718.0,133324.0,13778E- 0f12052. 022358. OJ33S08.046984. 013788.30.00000000000791 TOO 14596335421452161517040162-0.000000000087269667350622&91320278270670704-0, 00000000023474895727203673?4696203802733-0. 001010397753783278716976320934034940. 0000174662645F308389530?e3244338047&fi

6、在（2）问中，分别用全主元消元法与列主元消元法在C语言程序中 计算结果1) 列主元消元法结果输出：我们在程序中已经输入了这个矩阵，直接运行得到所得结果GS XKDIIMIST RATOBV 克面O.000B0O0Q62965468249975B077BS00 kfl.&0&Q0&1683738287133690900000.090QQ&QQ0000Q&QQ&0Q&0Q&0&-0-000917576772534868828000000000Q.&Q01170404455504023000000Q000Press any kg呼 to continue2)全主元消元法结果输出: 我们需要在输出前先

7、输入我们事先要计算的矩阵 A五、问题求解结果的分析与结论分析与结论：通过结果比较可以看出，全主元消去法，数值较稳定，但是既需 要消元也要回代 ;列主元消去法不用回代， 但是计算量太大， 大约是 O (n3/2)次的乘除法，而且误差相对较大。所以一般来说列主元法就能确保算法的稳定 ,所谓算法的稳定是 指在运算过程中计算误差 (对消去法这种直接法来说主要指由于计算 机字长有限带来的舍入误差 )能得到控制 ,全主元是较列主元法更稳定 的算法 ,但它的计算量要比列主元法大的多 ,列主元法在每做一次消元 仅与同列的元素做比较 ,比较的次数与线性方程组的阶 n 是同阶的量 , 而全主元法每做一次消元要与系

8、数矩阵所有元素进行比较 ,计算量是 与nA2同阶的量，计算量较列主元大的多，一般来说不采用全主元法，而 采用列主元法即可。 .六、课程设计的心得与体会 徐鑫：在课程设计的同时不仅巩固了以前所学过的知识， 而且可以学 到很多在书本上所没有学到过的知识， 特别是团队合作能力。 通过这 次课程设计使我懂得了理论与实际相结合是很重要的， 增强了我们处 理问题的能力。 还有只有理论知识是远远不够的， 只有把所学的理论 知识与实践相结合起来，从理论中得出结论，才能真正的掌握，从而 提高自己的实际动手能力和独立思考的能力。闵子剑：学习必须通过实践，通过实践发现了自己的不足之处， 并及时纠正。 在求解过程中也

9、遇到了各种各样的问题， 还有在编写程序是要注意代码， 要仔细， 一个数字弄错了就可能导致运行时结果出错或不合实际。 因此我们应多课外实践来加深我们对课本的理解。 我 们才会更进步。附录 (源程序)：1)列主元消元法：#include #include#include#define N 5void Gause_pivot(int n,double ANN+1,double x)/ 高斯消元int i,j,k; for(k=1;k=n-1;k+)/ 选主元int ii,jj,kk,row; double max,temp; ii=1;kk=k;max=Aii-1+(kk-1)kk-1; for(j

10、j=ii+1;jjfabs(max) max=Ajj-1+(kk-1)kk-1; row=jj+(kk-1); for(ii=1;ii=n+1;ii+) temp=Akk-1ii-1; Akk-1ii-1=Arow-1ii-1; Arow-1ii-1=temp;for(i=k+1;i=n;i+)for(j=k+1;j=1;k-)xk-1=0.0;for(j=k+1;j=n;j+) xk-1+=Ak-1j-1*xj-1;xk-1=(Ak-1n-xk-1)/Ak-1k-1;/ 在屏幕上输出结果for(i=0;i=n-1;i+)printf(%.30fn,xi);void main()doubleA

11、NN+1=2873496025,646047460,36312676,107210,12052,-1,341757160 0,1307048680,124970041,116920,22358,-1,3951253881,2131422972,287438 116,125718,33908,-1,4443822244,3132047408,551874064,133324,46984,-1 ,4746383236,9492766472,4746383236,137788,137788,-1;double xN=0;Gause_pivot(N,A,x);2)全主元消元法：#include#inc

12、lude#includemath.hfloat a100101;float x10;int N; / 阶数void shuchu()for(int i=1;i=N;i+)for(int j=1;j=N+1;j+)coutaij;cout ;coutendl;void initdata()coutN;coutendl;coutvv请输入N*(N+1)个数endl;/输入矩阵中的数for(inti=1;i=N;i+)for(intj=1;jaij;coutendl;cout 建立的矩阵为： endl; / 打印出矩阵 shuchu();void main()int z10;int maxi,maxj;initdata();for(inti=1;i=N;i+)zi=i;for(intk=1;kN;k+)maxi=k;maxj=k;float maxv=abs(akk);for(i=k;i=N;i+)for(int j=k;jmaxv)maxv=abs(aij);maxi=i;maxj=j;if(maxi!=k) / 换行for(int j=1;j=N+1;j+)float t=akj;akj=amaxij;amaxij=t;if(maxj!=k) / 换列for(i=1;i=N;i+)float t=aik;aik=aimaxj;aimaxj=t;int t=zk; zk=zm