数字信号处理参考试题3

1、解:afv*弟二早离散傅里叶变换1.如图p3-1所示，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。图 p3-1nkx(k)八 x(n)w6 6 x(n)en =0n =0计算求得-j=14 12e.2-j10e二 2k2 二3k2 二4k8e 6 6e 610e_j2 二 5k6x(0) =60, x(1) =9 - j3,3 ,x(2) =3 j、. 3x(3) =0x(4) = 3- j、,3,x(5) =9 j3、32.设 x(n) = r4(n),解：x(n) =x(n)6,试求x(k),并作图表示x(n),x(k)。由 x(k) =x(n)w61kn =0二、x(n)

2、en=0_j2 二 nk6计算求得x(0)=4,x(1)二一j -.3, x(2) =1x(3) =0,x(4) =1,x(5) = j、,3x(n) , |x(k)| 如图 p3-2 所示。图 p3-23.设 x(n) = *n +1,0 n 40,其他 n )=92)令 x(n)6h(n) = h(n)6,试求x(n)与h(n)的周期卷积并作图。在一个周期内的计算值y(n) = x(n) h(n) - x(m)h(n-m)mn h(n -m)123450y(n)00111101410011111221001111031100118411100165111100104.已知 x(n)如图 p

3、3-4(a)所示，为1, 1, 3, 2,试画出 x(-n)5, x(n)6 r6(n),x(n)3r3(n) , x(-n)6 , x(n 3)/5(n), x(n)7 r7(n)等各序列。解：各序列如图p3-4 (b)所示。图 p3-4 (a)图 p3-4 (b)5.试求以下有限长序列的n点dft (闭合形式表达式)呐/。对(1)x(n) = a cos( -0n)rn (n)(2) x(n) rn (n)(3) x(n) =、(n -n0),0 :二 n0 ：二 n(4) x(n) = nrn (n)2(5) x(n) = n rn (n)解：(1)因为 x(n) = acos(0n)r

4、n (n),所以n 1-j nk1 i n，. j nk |x(k)-acos(，0n)enrn(k) =-a x(e-j0n ej0n)enrn (k)n =02 1n =01 t心、=-a 工 e、 e + e k r rn(k) 1n =0n=0jn j_zn e 2 (e 2j - on一 e 2一2二一7n (e 2 n,e 2)2 二一一1n ) e 2j- 0n j onj 0ne 2 (e 2 -e 2 )二 k2二一n (e 2 n .e 2 n )一萼. c c 衅 c c je 2 sin -0on ie 2 sin -c0n i3 广 12 j _12j223如 f7i

5、/伊他).(人1、e 工 /sin k +-w0 i e 、 ysin k -co0 iin2in2)(2)因为 x(n) =anrn(n),所以nw：nkx(k)- ane nn =0n1 - azk1 -ae n(3)因为 x(n)=6(n -n0),0 n0 ，n2wrnkrn (k)n =0根据第(4)小题的结论x1 (n) = nrn (n)n jx(k)nwnnkn=0n t%*) 1 -w；n jx(k)(1 w1)6 n2wnnk n =0=w： 4w；k 9wn3k .n 1n2wnn1)kn =0+ (n-1)2wn(n* w；k+4w；k 十+ (n -2)2wnn 9k

6、 +(n -1)2n_1-,(n 一1)2 八(2n -1)wn1kn 1n 二=-n(n -2) 2 nwn1kn =4=-n(n -2) 2x1(k)2n一n(n -2)-2-所以x(k)=n(n -2)w； - n(1 -wnk)22-,0 k n -11 -wn6.如图p3-6(a)画出了几个周期序列 x(n),这些序列可以表示成傅里叶级数n _!ij(2-/ n)nkx(n) = 一、 x(k)en k巧问：(1) 哪些序列能够通过选择时间原点使所有的x (k)成为实数？(2) 哪些序列能够通过选择时间原点使所有的x(k)(除x(0)外)成为虚数?(3) 哪些序列能做到 x(k) =

7、 0, k=2, 4, 6,图 p3-6 (a)解:,.、at. - - z . x.*(1)要使x(k)为实数，即要求x (k)=x(k)根据dft的性质，x(n)应满足实部偶对称，虚部奇对称(以n=0为轴)。又由图知，x(n)为实序列，虚部为零，故 x(n)应满足偶对称x(n) = x( -n)即x(n)是以n=0为对称轴的偶对称，可看出第二个序列满足这个条件。如图p3-6(b)所示。图 p3-6 (b),_、一 a f. z. x*(2)要使x(k)为虚数，即要求x (k)=x(k)根据dft的性质,x(n)应满足实部奇对称，虚部偶对称(以n=0为轴)。又已知x(n)为实序列，故x(n)

8、 = -x(-n)即在一个周期内，x(n)在一圆周上是以n=0为对称轴的奇对称，所以这三个序列都不满足 这个条件。(3)由于是8点周期序列，对于第一个序列有3-jnkxi(k)e 8n =01-e-jk1-1k1-eh4k l-ejk当 k = _2, _4,_6时，x1(k) =0对于第二个序列有xi(k)八 en兑1 -e 4_jk1 -e 4当 k =攵,4,16 时，x1(k) #0。对于第三个序列有x3(n)=x1 (n) - x1 (n 4)根据序列移位性质可知kx3(k) =xi(k) -e*xi(k) = (1-ej*)1-j-k1-e 4x(k) =0,k = 2,_4,当卜

9、=2,4,妁时，x3(k) = 0。综上所得，第一，第三个序列满足7 .在图p3-7(a)中画了两个有限长序列，试画出它们的六点圆周卷积。解:图 p3-7 (a)y(n) = xi(m)x2(n-m)” &(n),m o结果如图p3-7(b)所示。图 p3-7 (b)8 .图p3-8(a)表示一个5点序列x(n) o(1)试画出 x(n)* x(n);解:(2)试画出 x(n)x(n);(4)试画出 x(n)x(n);图 p3-8 (a)个小题的结果分别如图p3-8(b), p3-8(c), p3-8(d)所示。图 p3-8 (b)f 1011 f 10图 p3-8 (c)4，i.。1i_lj

10、_ii -01234567 r 9图 p3-8 (d)9.设有两个序列x(n)x(n),0 n 50,其他ny(n)y(n),0 n 140,其他n各彳15点的dft,然后将两个 dft相乘，再求乘积的idft ,设所得结果为 f(n),问f(n)的哪些点(用序号 n表示)对应于x(n) * y(n)应该得到的点。解：序列x(n)的点数为ni=6, y(n)的点数为n2=15,故x(n)* y(n)的点数应为n =ni n2 -1 = 20又f (n)为x(n)与y(n)的15点的圆周卷积，即 l=15。所以，混叠点数为 n-l=20-15=5。即线性卷积以15为周期延拓形成圆周卷积序列f(n

11、)时，一个周期内在 n=0至ij n=4(=n-l-1)这5点出发生混叠，即 f(n)中只有n=5到n=14的点对应于x(n) * y(n)应该得到的点。10.已知两个有限长序列为x(n)n +1,0 n 30,4 n 6y(n)-1,0 n 41,5 en 6试作图表示x(n) , y(n)以及f(n) = x(n)y(n)。解：结果如图p3-10所示。11.fut)-10图 p3-10已知x(n)是n点有限长序列，x(k) = dft x(n)。现将长度变成rn点的有限长序列y(n)y(n)= %(n),0 n n -10, n n rn -1解:试求rn点dft ：y(n)与x k的关系

12、。n44三 nkx(k) =dftx(n)八 x(n)e n ,0 k n -1n=0y(k) = dfty(n) = y(n)w.nk = x(n)wrnk可得n_j2-nk= x(n)e n r = xn =0n =04 kn=0= lr,l =0,1, ,n -1所以在一个周期内，y(k)的抽样点数是 x(k)的r倍(y(k)的周期为nr),相当于在x(k)的每两个值之间插入 r-1个其他的数值(不一定为零)，而当k为r的整数l倍时，y(k)lr )12 .已知x(n)是n点的有限长序列，x(k) = dftx(n),现将x(n)的每两点之间补进r-1个零值点，得到一个 rn点的有限长序

13、列y(n)y(n)=x(n / r), n = ir, n = ir, i0,0,1,. . ,n -1其他n解:nk ,x(k) =dft x(n) =x(n)wn ,0 k n -1可得rn 1y(k) =dfty(n) = y(n)wrnk二x ir. r wrnk =1x(i)w；,0 k rn -1n z0i=0试求rn点dft ：y(n)与x k的关系。y(k) = x(*)nr.n (k)所以y(k)是将x(k)(周期为n)延拓r次形成的，即y(k)周期为rn。13 .频谱分析的模拟信号以 8khz被抽样，计算了 512各抽1的dft,试确定频谱抽样 之间的频率间隔，并证明你的回

14、答。证明：00由fst,ft2 二2 二得fsf 010其中cs是以角频率为变量的频谱的周期，g。是频谱抽样之间的频谱间隔。色= nfo,则f0/n对于本题有fs =8khz,n =5128000 fo15.625hz51214.设由一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数哥，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力w10hz,如果采用的抽样时间间隔为0.1ms,试确定：(1)最小记录长度；(2)所允许处理的信号的最高频率；(3)在一定记录中的最好点数。解：.一、，1一(1)因为to =，而fo =x103 =1000 ,又因n必须为2的整数哥，所以一个记录中的最少点t 0.1数

15、为 n =210 =1024。15.序列x(n)的共轲对称和共轲反对称分量分别为,、1*1*,xe(n) =-x(n) + x (n) , x(n) =2x(n) -x (n)长度为义如下:n的有限长序列x(n) (0wnwn-1)的圆周共轲对称和圆周共轲反对称分量分别定1* ,xep(n) =x(n)nx (-n)n1rn(n)(1)证明2xep(n) =xe(n) xe(n - n)rn(n)xop(n) =x(n) xo(n - n)rn (n)(2)把x(n)看作长度为n的序列，一般说，不能从xep(n)恢复xe(n),也不能从xop(n)恢复xo(n)。试证明若把x(n)看作长度为n

16、的序列，且nn/2时x(n) = 0,则从xep(n)可恢复 xe(n),从 xop(n)可恢复 x0(n)。证明(1)方法 由于x(n)只在0 e n w n -1的范围内有值，则有1 _* 11 *xep(n) = 2x(n)n x (-n)nrn(n) = 2x(n) 2x (n - n)n=0时x (n -n) = x (0)(a) 0 n w n 1 时1*1xe(n) =-x(n) x (-n) =-x(n) 221*1 *xe(n - n) x(n - n) x (n - n) x (n - n)22所以(b) n=0 时则有1，、1rxep(n) = 2xe(n) xe(n -

17、 n)rn (n)， 一、- _ *， 、 ，、 _x(n n )rn (n) = 0, x (n -n)rn (n) = 0xep=2x(n)x (-n)rn(n)=2x(n) x (-n) x(n- n) x (n -n)rn(n)二xe(n) xe(n 一 n)rn (n)综上所述xep(n) =xe(n) xe(n -n)rn5)同理可证x0p(n) ux0(n) x0(n-n)rn(n)方法二(a) xep(n) =xe(n) xe(n 一 n)rn(n)1*xe(n)=2x(n)x(-n)1 _xe(n)rn (n) =-x(n) x (0) (n) 21*xe(n -n)rn(n

18、) = x(n -n) x (n -n) rn (n)2因为x(n -n)rn(n) -01.所以xe(n - n)rn (n) = x (n - n) - x (0)、(n - n)2+得1*xe(n) xe(n - n)rn(n) = x(n) x ( n - n) x (0)、(n) - x (0)、(n - n) 2(b)由于1 *xe(n)n =二x(n)n x (-n)n2x(a)nrn (n) =x(n)*一*-*kx (-n)nrn(n) =x (n - n) x (0) (n)-x (0)、(n - n)(4)+(5)得，、1n ,xep (-n), - 2 - n - -1

19、同理可证，、- nxop(n),0 - n ：一2*n .xop (-n),n 1，xep(n)=x(n)n x ( -n)n rn (n) 2 * * * * = x(n) x (n - n) x (n - n) x (0)、(n) - x (0)、(n - n)2(3)与(6)比较可知xep(n) =xe(n) +xe(n n)rn (n)同理可证xop(n) =x0(n) xo(n -n)rn (n)(2)利用(1)的结果xep(n)=xe(n) xe(n - n)rn5)1*xe(n -n ) x(n -n) x (一n n)2 按照题意，当0 wn n/2时，x(n)#0。此时-n n-n -n/2, n/2n + nen所以当 0mnn/2 时，x(nn)=0, x(n + n) = 0,故xe(n -n) =0所以当 0 en n/2 时， xep(n) = xe(n)。 当-n / 2 m n -1时，按共轲对称有*,、1*xe (-n)二二x(n) x (-n)=xe(n)