高一数学重点知识新授函数周期性与对称性新课标

1、函数的性质函数的性质 周期性、对称性周期性、对称性 (1)(1)周期函数：对于函数周期函数：对于函数y yf f( (x x) )，如果存，如果存 在一个非零常数在一个非零常数t t，使得当，使得当x x取定义域内的取定义域内的 任何值时，都有任何值时，都有_，那么就称，那么就称 函数函数y yf f( (x x) )为周期函数，称为周期函数，称t t为这个函数为这个函数 的周期的周期 (2)(2)最小正周期：如果在周期函数最小正周期：如果在周期函数f f( (x x) )的所的所 有周期中有周期中_的正数，那么这的正数，那么这 个最小正数就叫作个最小正数就叫作f f( (x x) )的最小正

2、周期的最小正周期 周期性定义： f(xt)f(x) 存在一个最小 说明：说明： （1）t 必须是常数，且不为零；必须是常数，且不为零； （2）对周期函数来说）对周期函数来说 ,必须对定义域内的任意必须对定义域内的任意 都成立。都成立。 （3）nt也是函数的周期也是函数的周期 性质： （1）若函数满足 则函数 必有一个周期为2a。 (a)( )f xf x ( )yf x )()(xbfaxf （2）若函数满足 则函数 必有一个周期为。( )yf xtab ()() ( )() xxaf xaaf xab f xf xbatab 证明：令 （3）若函数满足 则函数 必有一个周期为。( )yf x

3、 () ( ) c fxa fx 2ta () () ( )( )= (2 ) () 2 c xxaf xaa f xa c f xf xf xa f xa ta 证明：令 由原式得到： （4）若函数满足 则函数 必有一个周期为。( )yf x2ta 1() () 1() 1( ) 1 1( ) ( +2 ) 1( ) 1 1( ) (1( )(1( )2 ( ) ( )( )= (2 ) 1( ) 1( )2 2 f xa xxaf xaa f xa f x f x f xa f x f x f xf xf x f xf xf xa f xf x ta 证明：令 将原式得带入： )(1 )(

4、1 )( xf xf axf （5）若函数满足 则函数 必有一个周期为。( )yf x4ta 1() () 1() 1( ) 1 1( ) ( +2 ) 1( ) 1 1( ) (1( )(1( )211 (2 ) 1( ) 1( )2 ( )( )( ) 4(2 f xa xxaf xaa f xa f x f x f xa f x f x f xf x f xa f xf xf xf xf x ta 证明：令 将原式得带入： 性质 ） 1( ) () 1( ) f x f xa f x （6）若函数满足 则函数 必有一个周期为。( )yf x4ta 1)( 1 )( xf axf （7）若

5、函数满足 则函数 必有一个周期为。( )yf x6ta )()()2(xfaxfaxf 关于直线对称函数：对于函数关于直线对称函数：对于函数y yf f( (x x) )， 如果存在函数关于直线如果存在函数关于直线x=ax=a对称，根据对对称，根据对 称性，有称性，有 对称性定义： ()()f xaf ax 关于点对称函数：对于函数关于点对称函数：对于函数y yf f( (x x) )，如，如 果存在函数关于点（果存在函数关于点（a,ca,c/2)/2)对称，根据对称，根据 对称性，有对称性，有 ()()f axf axc (2)()faxfxc也可以写成 性质： （1）若函数满足 则函数 关

6、于x=a对称。 ( )(2)f xfax ( )yf x ()(2() ()() xxaf xafaxa f xaf axxa 证明：令 函数关于对称 （2） + 2 (+)( +) 22 ( +)() 22 2 ba xx baba f axf bx abab f xfx ab x 证明：令 函数关于对称 （3） （4） 周期性与对称性性质 （1） ()() ()() ()(2) ()(2) (2)(2) 2 fxafax fxbfbx fxfax fxfbx faxfbx tba 证 明 ： 由 对 称 性 得 到 ： （ 周 期 性 性 质 2） 2tba （2） （3） 奇偶性与对称性

7、性质 （1） ()()()(2) ()(2)()(2+ ) 4 fxfxfxfax fxfaxfxfax ta 证 明 ： 由 奇 函 数 及 对 称 性 得 到 ： ， （ 周 期 性 性 质 1） （2） ()()()(2) ()(2) ()(2+ )2 fxfxfxfax fxfax fxfaxta 证 明 ： 由 偶 函 数 及 对 称 性 得 到 ： ， a1b1c2d2 解析解析由于由于f(x)的周期为的周期为5，f(3)f(4)f(2)f(1) 又又f(x)为为r上的奇函数，上的奇函数，f(2)f(1)f(2)f(1) 211，即，即f(3)f(4)1. 答案答案a 1(2013上饶模拟)若f(x)是r上周期为5的奇函数，且满足 f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4) () b a2b2 c98d98 解析解析f(x4)f(x)，f(x)是周期为是周期为4的函数，的函数，f(7) f(241)f(1)，又，又f(x)在在r上是奇函数，上是奇函数，f(x) f(x)，f(1)f(1)，而当，而当x(0,2)时，时，f(x)2x2， f(1)2122，f(