12知识讲解_数列的概念与简单表示法_提高

1、数列的概念与简单表示法 【学习目标】 1. 掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题. 2. 掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系. 3. 了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项. 4. 理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系. 【学习策略】 数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。关于数列的一 些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决. 【要点梳理】 要点一、数列的概念 数列概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释： 数列的数是按一定次序排列的

2、，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是 不同的数列； 定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，；排在第n位的 数称为这个数列的第 n项.其中数列的第1项也叫作首项. 要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指 这个数在数列中的位置序号 . 类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： (1 )确定性：一个数是否数列中的项是确定的； (2) 可重复性：数列中的数可以重复； (3) 有序性：数列中的数的排

3、列是有次序的. 数列的一般形式： 数列的一般形式可以写成: a azasA Gn A，或简记为an.其中a.是数列的第n项. 要点诠释：an与an的含义完全不同, an表示一个数列，an表示数列的第n项. 1, 2，3，4，5, 6是有穷数列 1, 2, 3, 4, 5, 6,是无穷数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。 各项相等的数列。 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 n项和 要点二、数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列 根据数列项的大小分

4、： 递增数列： 递减数列： 常数数列： 摆动数列： 要点三、数列的通项公式与前 数列的通项公式 如果数列 一个数列的通项公式有时是不唯一的。 如数列：1, 0, 1 , 0, 1, 0， an =1 an =n -1 ( n迂 N (n忘 N*)； 1 * =(n壬 N ) n ); 它的通项公式可以是 an =3，也可以是an 2 osX1. 2 数列通项公式的作用： 求数列中任意一项； 检验某数是否是该数列中的一项. （4 ）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 n项，又是这个数列中所有各项的一般表示. 数列an的前n项和 数列an的前n项和：指数列an的前n项逐个相加之和，通常用

5、 故an 其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列, n 将数列改写为 101-1, 102 1, 103 1, 104 故an = 10n -1 将数列每一项减去 6与1的平均值-得新数列 2 故an =-+ （-1）屮 ”5 或 an =- +5cos（n+1）兀. 2 2 n 2 2 【总结升华】写通项时注意以下常用思路： （1）;特别注意有时分数是约 若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律， 分后的结果，要根据观察还原分数； ；（-1） n作指数，让数列中隔项 注意（一1）n在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现，如 出现倒数； （4）可视为周期数列，故想

6、到找一个周期为2的函数为背景。 归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律 明朗化. 熟练掌握一些基本数列的通项公式，例如： 数列-1, 1, -1, 1,的通项公式为 an =(1)n ； 数列 1, 4, 的通项公式为 an =n ； 数列 1, 7, 的通项公式为 an = 2n1； 数列 2, 8, 的通项公式为 an =2n ； 数列 1, 16,的通项公式为 an 1 2 举一反三： 【高清课堂： 数列 1, 1，的通项公式为 4 数列的概念与简单表示法 1 an =-。 n 379271数列知识的讲解及配套练习】 【变式】根据下面数列的

7、前几项的值，写出数列的一个通项公式: (1)1, 1, 1, 1, -1, 1, -1, 1, 1,-1, 1, -1, 1,-!丄，-丄 2 34 2 , 0, 2, 0, 【答案】 (1) an =1; an =(T严； an =(-1严; an =(1)n十丄; n an =1+(_1)n + ； 类型二 :通项公式的应用 例2.已知数列an的通项公式an =3n-2,试问下列各数是否为数列 a.的项，若是，是第几项? (1) 94 ； (2) 71. 【思路点拨】 先假设是数列中的项， 可以列方程求解，若求解得到的脚标n壬N+,那么是数列中的项， 否则，不是. 【解析】 (1 )设 9

8、4=3n2,解得 n=32. 故94是数列an的第32项. (2设 75-2，解得 n=243f n,an,d,Si,ai中知三求二，就是采用了方程 故71不是数列an的项. 【总结升华】方程思想是解决数列中未知量的主要方法, 的思想. 举一反三: 卩曰才米 【变式1】数列an的通项公式为an =仆是奇数)它的前8项依次为 bn -1( n是偶数) 【答案】叫订理,15 【变式2】已知数列an的通项公式an=(n+l)(n+2), (1 )若an =9900，试问an是第几项? (2) 56和28是否为数列an的项? 【答案】(1) 98项；(2) 56是，28不是. 类型三：递推公式的应用

9、【高清课堂：数列的概念与简单表示法 379271例2】 1 例3.设数列an满足：6=1 , an =1 + (n 2)，写出这个数列的前五项。 an 【思路点拨】 题中已给出an的第 1项ai =1和递推公式: an =1+ 丄，故可以依次写出下列各项 an J. 【解析】据题意可知: ai =1， a2 =1+ = 2 , a1 13 a22 a3十丄二a“1+丄,a8 a335 3 2 【总结升华】 递推公式也是给出数列的一种方法, 举一反三： 故数列的前5项为:1，2, 根据数列的递推公式, 可以逐次写出数列的所有项。 【变式1】已知数列an满足：a1 =2, an十 = 2an，写出

10、前5项，并猜想a 【答案】 法一: ai = 2 , a2 = 2 X 2 = 22, a =22 =23，观察可得an =2n 法二: 由 an + - 2an，an = 2an即 - 2 an J. _a2x-anx岛 X坐= 2n4 an4 an -2 ana1 - an =a1 2n-2n 【变式 2】已知两 F个等比数列an，bn，满足 a1 = a (a 0) ，d a1 = 1 ，b a = 2 , b a = 3. 若a =1，求数列Gn的通项公式; 【答案】 解：( 1)设 an 的公比为 q,则 S = 1 + a = 2, b2 = 2 + aq = 2 + q, bs

11、= 3 2 + aq = 3+q2,由b1, b2, b3成等比数列得: (2+q) 2 =2(3 即 q2 -4q + 2 = 0,解得 q = 2 + 旋，q2 = 2 - /? 所以an的通项公式为an= ( 2 +或 an (2-2)丄 【高清课堂：数列的概念与简单表示法 379271 例 3 】 例4. (1)已知数列an满足a1 =1,an = an+1 (n 2),写出这个数列的通项公式 (2)已知数列an满足ai =1,丑= ann+1 n (n 2),写出这个数列的通项公式 【解析】(1 )由递推式可得, a2 ai =1,a3 a2 二1, ,an anJ 1, 把以上n-

12、1个式子相加得, an a1 = n 1, 二an = n，显然n=1,也适用, 数列的通项为an = n (2)由递推式可得 a22 a13 a3 a2 a44 a35 an _ n an 丄n +1 把以上n-1个式子相乘得, 2 an=百，nT时，a1 =1, 2 数列的通项为an =丙 【总结升华1 一般递推关系为an+ =f (n) n时，可用累乘法求通项公式；递推关系为an+ = f (n) + an 时可考虑累加法，有时需要将递推关系化简，再灵活求通项 举一反三： 一 1 【变式11( 2014新课标n)数列an满足an+1= , a8= 2,贝a1 = 1-an 1 【答案】由

13、题意得，an+1=, a8= 2, 1 -an 令n= 7代入上式得, 1 a8= 1 -a7 1 ,解得a7= 2 令n= 6代入得，a7 = 1 ，解得 1 -a6 a6= 1 ； 令n= 5代入得，a6 = ，解得 1 -a5 a5= 2; 根据以上结果发现，求得结果按 2, 1 8七=22,故a1= 2 【变式 2】已知数列an满足：a4n-3= 1，a4n- 1 = 0，a2n= an，n N，则 a2 009 = ;a2 014= 【答案】10 【解析】 依题意得 a2 009 = a4 X503 3= 1 , a2 014= a2X1 007 = a1 007= a4x 252

14、1= 0.故分别填 1,0. 类型四：前n项和公式Sn与通项an的关系 【例5】(2015秋 通渭县校级期末)已知数列an的前n项和 片二升牡，求an. 【思路点拨】利用公式 【解析】a1=S1=3+2=5, an=Sn-Sn-1= (3+2) ( 3+2n1) =2n1 当 n=1 时，2n 1=1 Ma, 5, n=l - n2 可求出数列an的通项an. 【思路点拨】已知 Sn,求an的类型，解答本题的关键是利用an=Sn - Sn - 1求出数列的通项公式，要特别注 意n=1的检验. 举一反三： 【变式1】(2015春 迪庆州校级月考)数列的前n项的和Sn=2n2+n+1，求数列的通项

15、公式. 【解析】当 n2时，有 an=Sn- Sn-1=2n2+ n+1 - 2 (n - 1) 2+ ( n- 1) +1=4n - 1;, 而a1=S1 =4不适合上式， 所以a=- 4, 11-1 n2 【变式2】已知数列an的前n项积Sn = n+2，求通项an 【答案】当 当n =1时, n + 2 n 2 时，an = S 子 Snj = n + 1 1+2 a1 = S =1+2=3h, 1 + 1 3, (n =1) I空,(n 2且n 亡 N*) In +1 类型五：数列与函数 例6.已知函数f(x) =2x _2七数列an满足f(log2an)=-2n , (1)求数列an

16、的通项公式; (2)证明数列an是递减数列. 【思路点拨】证明一个数列an是递减数列，或者证an-an aO或者证旦仝 1o an 【解析】(1) Q f(x) =2x 2= f(log2an) = 2n an =-2n, an /. 2log2an 2 近2an = 2n. /. a.2 +2nan -1 =0,解得 Q an 0,. an = Jn2 +1. n an = -n Jn2 +1. (2)证明: an+ J(n +1)2+1-( n+1) an Jn2 +1 n an + an Jn2 +1 +n才 J(n +1)2 +1+( n+1)， 又 Qan 0,.an+an, 数列an是递减数列 an = f(n) 【总结升华】数列是一个特殊的函数，数列的通项公式就是相应的函数解析式，即 举一反三: 3n 2 【变式1】已知数列an中an = ,判断数列an的