【课时6】正、余弦定理的应用(一)

1、精品资源课 题：正、余弦定理的应用(1课时编号：s0501 06教学目标(1)综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；(2)体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；(3)能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决 问题的能力.教学重点，难点(1)综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；(2)掌握求解实际问题的一般步骤.教学过程一.问题情境 1.复习引入复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式,(1)正弦定理、三角形面积公式:asin ab _ csin b sin c= 2r;s.abc1

2、. a 1,一=bcsin a = absinc =1.一 acsin b 2(2)正弦定理的变形: a =2rsin a,b =2rsin b,c = 2rsinc ; sin a = -a-,sin b = ,sin c =-； 2r 2r 2r sin a: sin b : sinc = a : b: c .(3)余弦定理:.2 .22=b2 c2 - 2bccos a, cos a =2bc二.学生活动引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明三.建构数学正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多 领域

3、有着广泛的应用.1.下面给出测量问题中的一些术语的解释:(1.(2)从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角 ，叫方位角.(3)坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为 45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了 .(4)科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线.2.应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：根据题意作出示意图；确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；选用合适的定理进行求解；给出答案.四.数学运用1 .例题：例1 .如图1-3-1,为了测量河

4、对岸两点 a,b之间的距离，在?岸这边取点 c,d ,测得nadc =85,nbdc =60 : zacd =47 : /bcd =72：, cd =100m.设 a,b,c,d 在同一平面内，试求 a,b 之 间的距离(精确到1m).解：在 aadc 中，zadc =85二，zacd =47；则/dac =48又 dc =100,由正弦定理，得ac . dc sin adc sin . dac100sin85sin 48134.05 m .在 abdc 中，nbdc=60： zbcd =72：,则/dbc =48 1又dc =100,由正弦定理，得dc sin bdc 100sin 60bc

5、 =sin dbcsin 48116.54 m .在 mbc中，由余弦定理，得ab2 =ac2 bc2 -2ac bc cos acb-2_2_= 134.05116.54 -2 134.05 116.54cos 72 -47期3233.95 ,所以ab 57 m答a, b两点之间的距离约为 57 m .本例中ab看成 mbc或 mbd的一边，为此需求出 ac , bc或ad , bd ,所以可考察 mdc和abdc ,根据已知条件和正弦定理来求 ac , bc ,再由余弦定理求 ab .引申：如果 a, b两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量a, b两点间距离的方法.可见a处获悉后，测

6、出该渔轮105二的方向，以9n mile / h的习题1.3探究的展第8题.例2.如图1-3-2,某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在在方位角为45;距离为10n mile的c处，并测得渔轮正沿方位角为速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21n mile/h的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到 0.1,时间精确到1min ）解：设舰艇收到信号后xh在b处靠拢渔轮，则ab=21x, bc=9x,又ac =10 ,zacb =45： + (180 =-105 3 = 120 二.由余弦定理，得ab2 =ac2 +bc2 -2ac bccos/acb ,即222(2

7、1x ) =102 +(9x ) -2m10m9xcos/120 .化简，得36x2 -9x-10 =0,2斛付x = 3 (h ) = 40(min )(负值舍去).由正弦定理，得sin bac 二bc sin acbab9xsin120 3.3二 ?21x14所以 /bac 定21.8 :方位角为 45+21.8 口 =66.8 二.答 舰艇应沿着方向角 66.8二的方向航行，经过 40min就可靠近渔轮本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从 a到b与渔轮从c到b的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出ab和bc ；再根据正弦定理求出 /bac.例3 .如图，

8、某海岛上一观察哨 a在上午11时测得一轮船在海岛北偏东 三的c处，12时20分测 得轮船在海岛北偏西 三的b处，12时40分轮船到达海岛正西方 5km的e港口 .如果轮船始终匀速前3进，求船速解：设. abe船的速度为4ukm/h,贝u bc =-v 3在mbe中,sin 二sin30.sin 二- 2-.在mbc中,acsin 180sin1204ac = 3sin 二415v .3220l5在 mce 中，i5u 32= 25 +竿）一2父5/竿cos150=,3325 2 u9二254001007753，u2 =93,一船的速度u = j93km/ h.2.练习：书上 p20练习1, 3, 4题.五.回顾小结：1 .测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、 经纬度等概念，将实