含参量反常积分一致收敛的判别法

1、题目含参量反常积分一致收敛的判别法学生姓名学号系另i数学系年 级2010级专业数学与应用数学指导教师职 称完成日期i含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。 本文通过研究判断 含参量反常积分一致收敛的判别法，以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。关键词：含参量反常积分；一致收敛;判别法abstractimproper integral with variable is the study and expression tool function. to better function of parameter im

2、proper integral expression of the key problem lies in the judgment, the uniform convergence of his. through the study of judging function discriminant method of parameter improper integral converges uniformly to help the study of parameter improper integral expression.key words : improper integral w

3、ith variable; uniform convergence; discriminant analysis目 录1弓i言 (1)2基本概念 (1)2.1 含参量反常积分 (1)2.2 含参量反常积分一致收敛 (2)3含参量反常积分一致收敛的判别方法3.1 定义法 (2)3.2 柯西准则法 (3)3.3 变上限积分的有界性法 (3)3.4 确界法 (4)3.5 微分法 (5)3.6 级数判别法 (6)3.7 维尔斯特拉斯判别法(简称m判别法)(6)3.8 狄里克莱判别法 (8)3.9 阿贝尔判别法 (8)4结束语 (1)参考文献(10)致谢(11)含参量反常积分一致收敛的判别法柯美蓉（闽江

4、学院 数学系；福建 福州350108）1 .引言含参量反常积分是微积分学中一类重要的积分，是研究和表达函数，特别是非初等函数的有力工具.为了讨论含参变量反常积分的连续性、可微性和可积 性，我们需要引进含参变量反常积分的一致收敛性的概念，它和函数项级数的一致收敛性的意义是相当的.现行的数学分析教材1-35给出的含参量反常积分的一致收敛的判别法主要 是一致收敛定义、柯西准则、维尔斯特拉斯判别法、狄里克莱判别法及阿贝尔判 别法，它们都有一定的局限性，不适用于每种含参量反常积分的一致收敛性的判 别.为了更好的判别含参量反常积分的一致收敛性， 本文研究、归纳了判别含 参量反常积分的一致收敛性的九种方法：

5、一致收敛定义、柯西准则法、变上限积 分的有界法、确界法、微分法、级数辨别法、魏尔斯特拉斯 m判别法、狄克雷判 别法和阿贝尔判别法，并且给出了典型例子以说明每种判别法的特点，以便于人 们的研究、理解.2 .基本概念2.1 含参量反常积分17设函数f(x, y)止义在无界区域r = (x,y)aexa ,使得当m n时,对一切y w b, d】都有mf f(x,y)dx6(y) cw,(2-2)a即广 f(x, y)dx 0)0分析 由含参量反常积分一致收敛定义可知，含参量反常积分;f(x, ydy在(0,仔)上不一致收敛指：存在 %下 0对任何实数ao 0 ,总存在a ao和xw(0, f,st

6、 f(x,y dy*%.(3-1)证明1）当x 0时,乜、令4ym _xytxe dy = i e dtaax110va0 0 ,取a二 e/xa ao , x = ；0,r ),xe/ydy =e-a 1.1_axa1=e = e =8 0,10,含参量反常积分xe凶dy在（0,f）内不一致收敛.2）由1）可知xeydy =ex,一av一， 1111寸名0, e ln,故可取a0=ln,x则当a a0时，对所有的xw &尸泊-box xeydy = e-ax0, en a, sta1, a n , a2aa 时，对 vy 亡 i ,有pa2l f(x,y)dxa1(3-2)注：使用柯西准则讨

7、论一致收敛性具有很大的优越性，难度大大减少，这是因为使用这方法只要考虑充分后的有限区间 a, a“而不要考虑充分后的无穷区间a, 二3例3-2设f (x, y)在无界区域r = (x,y)|axb,c y 0, vao 0, 5aahao, st l f(b,ydy282) ; f (x, y )在无界区域 r=( x, y)a mx mb, c m y +=上连续，,在有界闭区域r =( x, y)|a x b,ah y 0 ,当 x1,x2 w b, b】，yi,y2 e ia, a,w1 - x2| -,卜i -y21m.有|f(xi,yi )-f d, y2 b- ，a - a.当 |

8、xb|u时，有a -af (x, y)-f(b,yaj. l(f(x, y )- f(b, y )dy c ,三a、aa。，xw q,b】， st k f (x,y dy 之%.所以 广)仪,ydy在xw g,b上非一致收敛.3.3变上限积分的有界性法定理3-2若函数f(x,y)在无界区域r =( x, y)|a x 0)连续，且 三m 0, v(x, y 户 r ,有ixf(x,y =f(t,ydt 0,v(x,y )= r,有x|f(x,y)= a f(t,ypt m ,x即 f(x,y)=u(t,ydt 在 r 有界；2)对所有的yw c,d】，当xt +时，对于参变量y, %占一致收敛

9、于0,且匕 关于x是单调递减的；则由狄利克雷判别法可得到含参量反常积分ffxydy在区间i上一致收敛.a x例3-3判断含参量反常积分/xtxsnxdx在区间卜依)的一致收敛性. 0 x解 依题意可得：f(x,九)=p(x,九计f2(x,九)，其中f1 (x, % )= i e sin tdt ,f2 x, 1-e sin tdtv(x,九t r(1 ex ,0 e 九 0时，令t =x九，可得 e- dx 二e，a-a_ e望一e ja, .kxr, f (a )= sup 八e，dx =1即然/(a )=1 #0 ,含参量反常积分0”xedy在(0,收)内不一致收敛.2)若任取a 0 ,就

10、能发现f(a)= sup j 九 e，dx=e4a,注)ajim f a =0从而含参量反常积分 xeydy在卜,也)上一致收敛.3.5微分法定理3-4设1)函数f(x,y由于ywb,d可微；2) rfy(x,ydx关于yw b,d】一致收敛； a3)存在一点ywc,d，使得含参量积分比f (x, y)dx收敛； a则含参量反常积分f*f (x, y)dx在h d】上一致收敛6. a证明 对 vy w by1在yk c,d 】，对 vxw la,+=c)有r yf x, y _ f x, y = y fy x, y dy 1;广fy (x, y dx关于y乏c,d1一致收敛，二i fy仅,y

11、dx关于y乏c, y 也是一致收敛的，二 vye c, y,三a 3 ), st 对殖 aa a1(a名l fy(x, y dx 0,巩落 y), st 对 va：a“a2缶 y府a*zlf(x，yx a),式子(2)、(3)同时成立,.当 y w c, y时,a*ay、3 f (x,y dx = (a, f(x, y jy fy(x, ydy 附a*a yaf(x,ydx + i(fy(x, y dydxa*j fy(x, yjclxdya:y - yj-2 y -c2 2sy3y4y2 e即含参量积分a f (x, y)dx关于y w c, y】一致收敛，同理可得含参量积分f f (x,

12、y)dx关于y e y： d也一致收敛， a总结可得含参量积分f (x, y)dx关于y w c,d1一致收敛. a2例3-5判断含参量积分(e- cos2xydy在xw (巴依)上的一致收敛性 解:对固定的xww ),有2.2 /y二 sup y2 ye-y sin 2xy = x-=q-bcylim y e cos2xy = lim -vcos2xy = 0 ,yy 4ye,一、.-一.,2，对固定的xw(-8,),含参量积分(ey cos2xydy在xw (-笛,依)上收敛,2设 f (x,y )=e y cos2xy,则八，2(fx(x,ydy = 2( ye y sin2xydy,致

13、收敛,二由一致收敛柯西判别法可知 jx(x, y dy在xw(-0,g)内. 一./ .2二含参重积分e e cos2xydy在xw(_g,+=c )沱围上的一致收敛.3.6级数判别法定理3-5含参量反常积分ff(x,y)dx在c,d上一致收敛之函数项级数an j + f(x,ydx = un(y)在l,d】上一致收敛，其中an是数列人的项，数列an n 1 nn 4满足以下条件：1) al =a ;2)数列4为递增数列；3)数列k趋于+笛.7例3-6证明含参量反常积分 广一+厂乩关于v在b,1是一致收敛的. 1 u证明令f(u,v)=m1匕)， u丁 u w 1,收),v w 0,1 】，l

14、n 1 u3 n ln 1 n乂 limn 3= 0 , ln 1 n2v2二函数项级数为z -1-收敛,n 1 n根据函数项级数一致收敛的维尔斯特拉斯判别法( m判别法)可得到:函数项级数皿单,关于v在01是一致收敛的， n3 nv2二 f (u,v )=30 ,u同时可知：二元函数f(u,v庆于u在1,依止单调递减，） ln（1 +n2 ）令函数项级数为z 凶士nv2(vw 0,1】)， nm nln 1 n2v2,，2 2由级数判别方法定理可知含参量反常积分亡1nd+uv du关于v在b,i是一致1 u收敛的.1.7 维尔斯特拉斯判别法(简称m判别法)定理3-6 (维尔斯特拉斯判别法 广

15、 设存在函数g(x),满足以下条件:1)使得 f (x, y jmg(x卜 xe la,-ho ), ywc, d】， i2)广g(xdx收敛，则含参量反常积分lf (x, y)dx在b, d】上一致收敛.网要点：使用m判别法关键在于将被积函数绝对值 f(x,y/放大，从而找出符合条 i件的g x .值得注意的是：维尔斯特拉斯的m判别法虽然比较简单，但是有一定的局限性，能用m判别法证明是一致收敛的含参量反常积分一定是绝对一致收敛的，但是绝对一致收敛的含参量反常积分并不能全用 m判别法证明它的一致收敛性，同时条件一致收敛的含参量反常积分也不能用m判别法来判别一致收敛性.11例3-7判断(11 1

16、+ a +a + +an ln- i dx(n =1,2,)是否一致收敛. a)1 a a2 an11 ,2ln - i a1,n!f1而 lim a2a011 -a11 2 lna二 lim a q 1 - a11 2 ln a= 10 = 0,，1故积分011、2 . “人，ln dx 收敛,a,1o从而o 1 a a2+11力.一 一 一a 小n - | dx(n=1,2,)一致收敛.0 在 tw 0,)中一致收敛.证明:当tt 0时,e sint, 3d 0, st 当 0 0 ,有tdu 3%nte*2 ke#：二 、2二！ edu 收敛, 二由维尔斯特拉斯判别法可知：积分e e4,

17、2t)sintdu在tw瓦收)时一致收敛,二当twb,也)时，办。0, st对vaaa。，有e4力2 sintdu 0 ,三a0 0, s/aa0时，1总，2 %intdu 0 在tb,）中一致收敛.1.8 狄利克莱判别法定理3-7 (狄利克莱判别法)：设f(x,y)=g(x,y h(x, y),若满足以下条件: a1)存在n 0 ,对所有满足a a的头数a以及y w c,d，都有h(x,y )dx w n ,l3a即对所有对所有满足 a a a的实数a ,含参量正常积分 h(x, y dx对参量y在c,d 1上一致有界；2)对于所有ywc,dl,函数g(x, y)关于x是单调递减的，而且当x

18、t +好时，对参量y , g(x,y厂致收敛于0;则含参量反常积分 jf (x, y)dx在b, d】上一致收敛.例3-9证明含参量积分 广1csn0dx在 卜依)上一致收敛，其中yr0.0 x y证明: vy至y,函数,关于x单调下降，且 x y.当xt +8时，函数一1关于y在 卜依)上一致u敛于0, x y又 va0 , vy yh 0,有.根据狄利克莱判别法可彳4到：含参量积分广皿ydx在y ；皿)上一致收敛.0 x y1.9 阿贝尔判别法定理3-8 (阿贝尔判别法):设f(x,y尸g(x,yh(x,y),若满足以下条件：1)对所有ywb, d】，函数g(x, y用关于x的单调函数，且对参量 y , g(x, y)在c,d 1上一致有界；2)广h(x, y)dx在c,d】上一致收敛； a则含参量反常积分f&f (x, y)dx在q d】上一致收敛.9 a例3-10证明含参量积分(s叱eqdx在a之0范围上关于a 一致收敛.0 x证明1) ; e与关于x是单调函数，,e关于覆是x上的一致有界函数，即0ex0,x0),2);【xsndx收敛，不含参数0f , 0 xsn&x关于a一致收敛，0 x综合1)、2),由阿贝尔判别法可得到含参量积分 广迎e-dx在0f20范围上关 0 x于a一致收敛.4.结束语含参量反常积分是很重要的积分，研究它的连续性、可微性和可积性的