九级数学上册 24.1.2《垂直于弦的直径》教学课件 （新版）新人教版

1、连接圆上任意两点的连接圆上任意两点的线段线段叫做叫做弦弦， 经过圆心的经过圆心的弦弦叫做叫做直径直径 圆上任意两点间的圆上任意两点间的部分部分叫做叫做圆弧圆弧 弧弧(半圆半圆) 劣弧与优弧劣弧与优弧 等圆等圆(同心圆同心圆)与等弧与等弧 弦弦(直径直径) 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧， 每一条弧都叫做每一条弧都叫做半圆半圆 圆圆圆心为圆心为O O，半径为，半径为r r 的圆可以看成是的圆可以看成是: : 所有到定点的距离等于定长所有到定点的距离等于定长r r 的的点点的集合。的集合。 能够重合的两个圆叫做能够重合的两个圆叫做等圆等圆 圆心相

2、同的圆叫做同心圆圆心相同的圆叫做同心圆 在同圆或等圆中在同圆或等圆中, 能够互相重合的弧叫做能够互相重合的弧叫做等弧等弧 2.2.你能找出多少条对称轴？你能用什么方你能找出多少条对称轴？你能用什么方 法解决上述问题？法解决上述问题？ 可以发现：可以发现： 1、圆是轴对称图形。圆是轴对称图形。 任何一条任何一条直径直径所在直线都是它的对称轴所在直线都是它的对称轴 1.1.圆是轴对称图形吗圆是轴对称图形吗? ? 如果是，它的对称轴是什么？如果是，它的对称轴是什么？ ? 2.2.它有无数条对称轴，可用它有无数条对称轴，可用对折对折方法解决上述问题方法解决上述问题 A B A B C D 思考：思考：

3、 问题问题1.1.图中有相等的线段吗？有相等的劣弧吗？如果图中有相等的线段吗？有相等的劣弧吗？如果 有，你能找到多少对？有，你能找到多少对？ O 问题问题2.2.ABAB作怎样的变换时，作怎样的变换时， 相等的线段有：相等的线段有：OA=OC=OB=OD，AB=CD 相等的弧有：相等的弧有： 结论：结论：当当CDCDAB时时， AC= BC, AD= BD AC = BC,AD = BD, AC = BD, BC =AD, C D O 问题问题3.3.将弦将弦ABAB进行平移时，如图进行平移时，如图 A B A B 演演 示示 E AC = BC, (1)(1)右图是轴对称图形吗右图是轴对称图

4、形吗? ?如果是，它的对称轴是什么？如果是，它的对称轴是什么？ (2)(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧你能发现图中有哪些相等的线段和弧? ? (1)(1)是轴对称图形是轴对称图形, ,其对称轴是直线其对称轴是直线CDCD (2) AE=BE, 垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 垂直于弦垂直于弦 的直径的直径 AD = BD, 已知已知: :在在OO中中,CD,CD是直径是直径, ,ABAB是弦是弦，CDABCDAB于于E E。 即直径即直径CD平分弦平分弦AB，并且，并且 平分平分AB及及ACB 验证验证 当圆沿着直径当圆沿着

5、直径CD折叠时折叠时, A点和点和B点重合，点重合， AC、AD分别与分别与BC、BD重合。重合。 已知：在已知：在OO中中,CD,CD是直径是直径,AB,AB是弦是弦,CDAB,CDAB。 求证：求证：AEAEBEBE，ACACBCBC，ADADBDBD。 叠合法叠合法 O A B C D E 垂直于弦垂直于弦AB的直径的直径CD所在的直线所在的直线 是是 O的对称轴。的对称轴。 证明：证明： 连结连结OA,OB CDAB ,OA=OB AE=BE O关于直径关于直径CD对称对称 AC = BC,AD = BD, 点点A和点和点B关于关于CD对称对称. 垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平

6、分弦， 并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理垂径定理: : 垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并垂直于弦的直径平分弦，并 且平分弦所对的两条弧。且平分弦所对的两条弧。 O E D C B A 结论：结论： 注意注意:过过圆心圆心和和垂直于弦垂直于弦两个条件缺一不可两个条件缺一不可 AC= BC, AD=BD 进一步，我们还可以得到结论：进一步，我们还可以得到结论： 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦，并且平的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧。分弦所对的两条弧。 即：即：如果如果CD过圆心，且过圆心，且AE=BE则则 CDAB， AC= BC,

7、AD=BD CD过圆心过圆心(CD为直径为直径)，CD AB， AE=BE， AM=BM, n由由 CD是直径是直径 CDAB 可推得可推得 AD=BD. AC=BC, CDAB, n由由 CD是直径是直径 AM=BM AC=BC, AD=BD. 可推得可推得 垂径定理：垂径定理： 推论：推论： O M D BA C O M D BA 如何应用如何应用垂径定理：垂径定理： 例例1 1如图，在如图，在O O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8cm8cm， 圆心圆心O O到到ABAB的距离为的距离为3cm3cm，求，求OO的半径的半径 练习练习 O A B E A 解：解： OEAB 222 AOO

8、EAE 2222 = 3 +4 =5cmAOOEAE 答：答： O的半径为的半径为5cm. 11 84 22 AEAB 在在Rt AOE 中中 如上图如上图. .若若OO的半径为的半径为10cm,10cm, OE=6cm,OE=6cm,则则AB=AB= cmcm。 E D C O A B 1.下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？ E C O A B D O A B c 是是 不是不是是是 不是不是 O E D C A B 注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件（直（直 径，垂直于弦）径，垂直于弦）缺一不可！缺一不可！ 证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂

9、足为E， 则则AEBE，CEDE。 AECEBEDE。 所以，所以，ACBD E . A CD B O 例例2.2.如图，在以如图，在以O O为圆心的两个同心圆中，大圆的为圆心的两个同心圆中，大圆的 弦弦ABAB交小圆于交小圆于C C、D D两点。求证：两点。求证：AC=BDAC=BD OEOE就是就是 弦心距弦心距 2. O的半径是的半径是10cm, 弦弦AB的长是的长是12cm，则，则AB的弦心的弦心 距是距是_ 3.过过 O内一点内一点M的最长弦为的最长弦为10cm，最短弦长，最短弦长8cm，那么，那么 O的半径等于的半径等于_，OM的长为的长为_ 4.如图：如图：AB是是 O的直径，弦

10、的直径，弦CDAB于于E， 若若AE=9， BE=1， 求求CD的长。的长。 O C D A B E 5.已知已知 O的直径是的直径是20cm, O的两的两 条平行弦条平行弦AB=12cm.CD=16cm, 则它们之间的距离则它们之间的距离_. 4 . C D A B O. CD AB O 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 判断下列说法的正误判断下列说法的正误 垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ? 它的主桥是圆

11、弧形它的主桥是圆弧形, ,它的它的 跨度跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到 弦的距离弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？ 你能利用垂径定理解决求你能利用垂径定理解决求 赵州桥拱半径的问题吗赵州桥拱半径的问题吗? ? 37.4m 7.2m A B O C D 经过圆心经过圆心O 作作OCAB 于于D， OC交交AB 于点于点D，连接，连接AO R 用用 弧弧AB表示主桥拱，设弧表示主桥拱，设弧AB所所 在圆的

12、圆心为在圆的圆心为O，半径为，半径为R ,7.184.37 2 1 2 1 ABAD AB=37.4，CD=7.2， OD=OCCD=R7.2 18.7 R-7.2 ADO=90 即即 R2=18.72+（R7.2）2 OA2=AD2+OD2 解得：解得：R279（m） 例例3如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等为互相垂直且相等 的两条弦，的两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边，求证四边 形形ADOE是正方形是正方形 D O A B C E 证明：证明： OEAC ODAB ABAC 90 90 90OEAEADODA 四边形四边形ADOE为矩形，为矩形， 又又A

13、C=AB 11 22 AEACADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形. 4. 已知：已知： O中弦中弦ABCD。 求证：求证：ACBD 证明：作直径证明：作直径MNAB。 ABCD，MNCD。 则则AMBM，CMDM（垂直平分（垂直平分 弦的直径平分弦所对的弦）弦的直径平分弦所对的弦） AMCMBMDM ACBD . M CD AB O N 讲解讲解 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等 小结小结: : 解决有关弦的问题，经常是解决有关弦的问题，经常是过圆心过圆心 作弦的垂线作弦的垂线，或或作垂直于弦的直径作垂直于弦的直径，连结连结 半径半径等辅助线，为应

14、用垂径定理创造条件。等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 . CD AB O M N E . A CD B O . AB O 2. 垂径定理垂径定理: AC= BC, AD=BD CD过圆心，过圆心，CD AB， AE=BE， (2).几何语言几何语言 (1)垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 1.圆是圆是_, _是它的对称轴是它的对称轴 轴对称图形轴对称图形任何一条直径在的直线任何一条直径在的直线 3.利用垂径定理时，常用辅助线是：利用垂径定理时，常用辅助线是： (1)连半径或作弦心距构造直角三角形连半径或作弦心距构造直角三角形 (2

15、)(2)作垂直于弦的直径作垂直于弦的直径 1、如图，AB是圆的弦，利 用一个三角板，你能确定这 条弦的中点吗？ 2、如图，点C是圆的任 意一个点，利用一个三 角板，你能画出一条弦 AB，使点刚好是这条弦 的中点吗？ AB C 丰丰 收收 园园 判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的平分弧的直径必平分弧所对的( ) ( ) 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 ( )( ) 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦( ) ( ) 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦( ) ( ) 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 ( )( ) 平

16、分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦( ) ( ) 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 ( )( ) Upper formation building O E D C B A 进一步，我们还可以得到结论：进一步，我们还可以得到结论： 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦，的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧。 即：即：如果如果CD过圆心，且过圆心，且 AE=BE则则CDAB， AC= BC, AD= BD 想一想：为什么规定弦想一想：为什么规

17、定弦AB不是直径？不是直径？ 1 1如图，在如图，在O O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8cm8cm，圆，圆 心心O O到到ABAB的距离为的距离为3cm3cm，求，求O O的半径的半径 O AB E 练习练习 解：解： OEAB 222 AOOEAE 2222 = 3 +4 =5cmAOOEAE 答：答： O的半径为的半径为5cm. 11 84 22 AEAB 在在Rt AOE 中中 2 2如图，在如图，在OO中，弦中，弦 ABAB的长为的长为8cm8cm，圆心，圆心OO 到到ABAB的距离为的距离为3cm3cm，求，求 OO的半径。的半径。 O AB E 3.3.若若OO的半径为的半径为

18、10cm,10cm, OE=6cm,OE=6cm,则则AB=AB= cmcm。 解得：解得：R279（m） B O D A C R 在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 即即 R2=18.72+（R7.2）2 赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. OA2=AD2+OD2 ,7.184.37 2 1 2 1 ABAD AB=37.4，CD=7.2， OD=OCCD=R7.2 在图中在图中 解：用解：用 弧弧AB表示主桥拱，设弧表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半，半 径为径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB 相交于点相交于点D， 根据前面的结论，根据前面的结论，D 是是