河南省安阳县高中数学最新学案第2章第13课时等比数列的前n项和(二)(教师版)新人教A版必修5

1、第13课时等比数列的前n项和(2)用心爱心专心8【学习导航】 知识网络学习要求1 .进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式;2 . 了解杂数列求和基本思想，解决简单的杂数列求和问题。 【自学评价】1 .常见的数列的前 n项的和：(1 ) 12 3n = n(n 1)2n(n 1)2n(2) %，i2i 4n(n 1)(2n 1)一 6(3)n.3 j ii 1二n(n 1)22 .有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个 等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并这种方法叫做分组求和法.3 .错位相减法：适用于 an bn的前n项和，其中an是

2、等差数列，bn是等比数列;.n4 .裂项法：求 n1的前n项和时，若能将an拆分为an = bn bn十，则 2卜=”一切由 k 15 .倒序相加法6 .在等比数列%中，当项数为偶数2n时，6禺=4%;项数为奇数2n1时，s奇=a1 + qs偶【精典范例】1 11【例1】求数列1+, 2+, 3+的前n项和.2 48分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，因此可以分组求和法.【解】听课随笔sn = (1 +l + 2=(1 + 2 + 3 +.(2+1) +4.+ n )1+ ( n +一, 2n,/ 1111+ ( +一 +一+一)2 4 82n=n(n 1) 11

3、2一 2n【例2】设数列 圾为1,2x,3x2,4x3，,nxn川(x = 0 )求此数列前n项的和.分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的积, 相减法.【解】因此可以用错项sn =1 +2x +3x2 +4x3 + 川 +nxnxsn = x 2x2 3x3 |h n -1 xnnxn由彳导1 -x sn=1 x x2 huh x当x#1时,1 -x sn n n n,n 书 /，、门，n 11 -x n 1-xnx+nx 1(1+nk+nx -nx =1 - x1 - x1 - xsn1-1 n xn nxn 121-x2当x=1时，sn =1 2 3 4追踪训练一

4、101.求和 z(3+2k)k 1【答案】20762.求和 sn =1 3x 5x2 7x3(2n -1)xn-【答案】sn =(2n 1)xn 1 (2n 1)xn (1 x)(1-x)23.若数列右0的通项公式为an =二，则前n项和为（b ）2n1a. sn - 1 n b.2sn =24.数列1,2nc. sn = n 1 2na. -2n-2n 1c.jn 1b.d.12 3, 2n的前n项和为（b）n+15.求和 1 2+3 4+56+(1) n.【解】 设 n=2k,则(1 2)+(3 4)+ + (2 k 1)-(2 k) =-k=-2n 1设 n=2k 1,贝u(1 2)+(

5、3 4)+ (2 k 3) - (2 k-2) +2k- 1 = -(k- 1)+2k 1=k=2._,-n+1-1-2+3-4+5-6+-+(- 1)nn=2n+1n为偶数n为奇数【选修延伸】【例3】已知数列 an中，an+1=an+2n,a1 3,求 an.【解】由an+1 = a + 2n得 an = an-1 + 2 即=n 4an -an=2n 2.an 4 - an2 = 2c n 3an an4二2a2 - a1 =2.ana1=21h = 2n21 -2因此 an = 2 2 + a1 = 2 +1点评：利用数列的求和,可求出一些递推关系为 an+i= an+ f （ n）的数

6、列的通项公式【例4】已知an为等比数列，且sn=a, &n=b，（abw。），求s3n.【解】设等比数列an的公比为q.若q=1 （此时数列为常数列），则sn=na1=a, s2n =2na1=b,3b从而有 2a=b - s3n = 3na1 = 3a (或 s3n = 3na1 = 3a =)2若qwl （即2awb）,由已知snai (1 -q )i -qai(1 -q2n)i -q又ab=0,/得1+qn =b , qn =bl aa2将代入，得 包=a一1 -q 2a -b3n、.qa1(1 - q ) s3n = 1 -qa11 -q3n(1 -q )2a2a -bb 31-(1)

7、a_ a2 -ab b2 a追踪训练二1.等比数列an的首项为1,公比为q,前n项和为s,则数列 的前n项之和为（c ）ana. 1 b. sc. -r d.sqn2 .在等比数列 an中，已知3 .在等比数列 an中，a1 +1n 4q s5 153二3,刖二项的和 4=3，贝u公比q的值为 1或一2.2=20, a3+a4= 40,则 &二 140.4.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列an是等和数列，且a1=2,听课随笔公和为5,求为8的值及这个数列的前n项和sn.【解】；4是等和数列，诩=2,公和为5,a2n =3,a2nl =2(nwn),，ai8 =3。数列4形如 2,3,2,3,2,