福建省漳州市2012届高三数学高考适应性练习试题理

1、解答题模拟训练 ( 理科 ) （一）16. ( 本题满分 13 分 )已知函数 f ( x)3 sin xcos xcos2x 4442x) 的值；（）若 f ( x) 1 ，求 cos(31 c（）在 abc中，角 a，b，c的对边分别是a，b，c，且满足 a coscb ，求 f (b)2的取值范围解：（）由题意得：f ( x)3 sin x cos xcos2 x3 sin x1 cos x1sin( x)13 分44422222262若 f ( x)1 ，可得 sin( x)1，262则 cos(2x)2cos 2 (x )12sin 2 ( x6)116 分33222（）由 a co

2、sc1 cb 可得 a a2b2c21 cb , 即 b2c2a2bc22ab2cos ab2c2a21, bc29分2bc，得 a3320 b20bb3236262f (b)sin( b)1(1, 3) 13分262217. ( 本题满分 13 分 )盒内有大小相同的9 个球，其中 2 个红色球， 3 个白色球， 4 个黑色球 .规定取出 1 个红色球得 1 分，取出 1 个白色球得0 分，取出 1 个黑色球得 1 分.现从盒内任取3 个球（）求取出的3 个球中至少有一个红球的概率；（）求取出的3 个球得分之和恰为1 分的概率；（）设为取出的3 个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望.解：

3、（） p 1c737 3 分c9312（） 记 “取出1 个红色球， 2个白色球”为事件b ，“取出 2 个红色球， 1 个黑色球”为事件 c ，则p(bc12c32c22c145c) p(b) p(c )c93. 6分c93421（）可能的取值为0，1，2，3 .7分p(c635p(1)c13 c6245，0)，c9384c9321p(c32 c163p(3)c331 11分2)，c93.c931484的分布列为 :0123p5453121841484的数学期望 e051 4523311 13 分2184148418. （本题满分13 分）在直四棱柱 abcda1b1c1d1 中， ab=a

4、d=aa1=2bc=4， ab ad， m为 ad中点 .( )求证： b1m平面 cdd1c1；( )若 p 为四边形cdd1c1 内（含边界）的动点，且apb1d，问 p 点是否总在一条线段上？说明你的理由。解： ( ) 证明：连接c1d，由题意可知b1c1 / bc/ am，a1d1b1c1pamdbc amb1c1 为平行四边形， b1m c1d， 3 分又 b1m 平面 cdd1c1，c1d 平面 cdd1c1， b1m平面 cdd1c1.6 分za1( ) 依题意可知，1，1 两两互相垂直，以a为原abad aa点， ab1， ad， aa1所在的直线依次为 x、 y、 z 轴，建

5、立空间直角坐标系（如图） ， 7 分b1d1c1b1 d( 4，4， 4)dc1 1(4， 2，0)d1 d=(0，0， 4)，p 在平面 cdd1c1 内，故可设 d1pdc1 1d1d ，则 ap ad1d1p (4 ，4 2 ，4 4 ) ，令 ap b d24160 ，得2，13于是 d1p（8，-4，- 4），10 分33188在上取点，使cn，则 d1ncdncd ，则n ( ， ，0)333pad ymbncx84( ， 4) ，33 d1pd1 n , p 总在线段 d1n 上. 13 分19. （本题满分 13 分）已知过点 a(0 ， 4) 的直线 l 与抛物线 c：x2=

6、py 相切于点 t( - 4， yo) ， f 是 c的焦点；中心在坐标原点，一个焦点为 f 的椭圆与直线 l 有公共点2(1) 求直线 l 的方程和焦点 f 的坐标；(2) 求当椭圆的离心率最大时椭圆的方程；(3) 设点 m( x1， yl ) 是抛物线 c 上任意一点， d(0 ，-2) 为定点，是否存在垂直于y 轴的直线l 被以 md为直径的圆截得的弦长为定值?请说明理由解：(1) yx 2y2 x， l ： y y 02( 4 ) x ( 4 )p ，ppy0( 4) 216 ，l： y168 ( x 4) ，pppp直线l过点(0 ，4) ，168=-4a4( 04 )pppl ：2

7、x-y +4=0，f 为 (0 ，-1)4 分(2) 设椭圆为y 2x 2=1( a1) ，f1(0 ， 1) ， f2(0 ，-1)a 2a 21e c 1 ， 当 e 最大时， a 取得最小 a a则在直线 l上找一点 p，使得 pf 1pf 2最小2(0 ， -1) 关于 2 -y+4=0 对称道点为2（0， 0） 6 分fxfxy2 0 2 x01 2 y040 解得 x04y0(1) .21y01x002a | pf1 | | pf2 | | pf1 | | pf2 | | f1f2 |( 4 0) 2(1 1)22 ， 7 分所求椭圆方程为y 2x218 分43x1x122(3)

8、假设 l 存在为 y=b，以 md为直径的圆 n的圆心为 n4( 2 ,2)x12x1222半径为=49 分r=nd( 20 )(2 )x1222x12n到直线 l的距离为 d4|2b|81b |r21x4， d2x 41 b2x 2x2b 2 b1111646444弦长 =2r 2d 22x 12( b1)b 22b 11 分当 b=-41 时，弦长为定值212 分即 l为 y=-1 时，垂直于 y 轴的直线 l被以 md为直径的圆截得的弦长为定值2 13 分( 备注：可以把d(0 ， -2)推广到更一般的点d(0 ， - m)( m0) ，则结论仍然成立，只不过直线l 含有 m，也就是直线

9、 l 取决于 d(0 ， - m)( m0)20. （本题满分 14 分）设函数f( x) axln x 3（ a r）， g( x) xe1- x 3( ) 若函数g( x) 的图象在点(0,0)处的切线也恰为f ( x) 图象的一条切线， 求实数a 的值；x0e - 4， e ，使得 f ( x0)( ) 是否存在实数a，对任意的 x(0 ， e ，都有唯一的 g( x)成立若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由【注： e 是自然对数的底数 】解：（ 1）g x1x e1 x ， g 0e，所以 gx 的图象在0，0处的切线方程是 yex ；2 分设 yex与 f x的图象切于点

10、x0， y0 ，而 fxa1，1xae且 ax0ln x03ex0 ，解得 ae2e ； 4 分x0（ 2）g x1xe1x ，g x在0,1 上单调递增，在1,e上单调递减，且 g00, g11, gee2e0,1，gx0,1 ； 7 分若令 mg x ，则原命题等价于对于任意m0，1 ，都有唯一的x0e 4，e，使得 fx0m 成立8 分而 f xa1 ， xe 4， e ， 1e 1，e4xxe 4， e 上单调递减，要满足条件，当 a0 时， fx0 恒成立，所以fx 在 x则必须有 fmax (x)fe 4ae 4 11，且 f min (x)f eae40 ，无解，所以此时不存在满

11、足条件的a； 10 分当 0ae 1 ， f x0 恒成立，所以f x在 xe 4 , e上单调递减，要满足条件，则必须有 f max ( x)fe 4ae 411 ，且 fmin ( x)feae 40 ，解得0a40ae111 分，；e当 e 1ae4 时， fx在区间 e 4 , 1上单调递减，在1 , e 上单调递增，aa又 fe4ae 41 1，要满足条件，则fmin( x)f1feae40 ，a解得 a4， e 4a4；12 分ee当 ae4 时， f x0 恒成立，所以f x在 xe 4 ,e上单调递增，又 fmin ( x)f e 4ae 411 ，所以此时不存在a 满足条件；

12、 13 分综上有 0414 分ae21本题有（ 1）、（2）、（ 3）三个选答题，每题 7 分，请考生任选2 题作答，满分 14分 . 如果多做，则按所做的前两题记分. 作答时，先用2b 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中(1 ）（本小题满分7 分）选修4-2 ：矩阵与变换4设矩阵 m1ab1（ i ）若 a2, b3 ，求矩阵 m的逆矩阵 m1 ；（ ii ）若曲线 c： x24xy 2 y 21在矩阵m的作用下变换成曲线c ： x22 y21，求 a b 的值(2) （本小题满分 7 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，

13、极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合圆 c的参数方程为x12cos ,（为参数），点 q极坐标为 (2, 7 ) y12sin,4（）化圆c的参数方程为极坐标方程；（）若点p 是圆 c上的任意一点，求p、 q两点距离的最小值(3) （本小题满分 7 分）选修 4-5 ：不等式选讲设函数 f (x)| x1| x2 |( ) 求 yf ( x) 的最小值；( ) 若关于 x 的不等式 f ( x)4 的解集为 a，求集合 a21 (1 ）（本小题满分7 分）选修4-2 ：矩阵与变换解：（ i ）设矩阵 m的逆矩阵m1x1y1，则 mm11012x2y20.又 m3，1112x1y1102x21，

14、 3x1x20，所以1x2y20，所以 x131y1 2 y20，3y1y21 ，即 x11， y12， x23 ，y21 ,555512故所求的逆矩阵 m 155 .4 分3155（ ii ）设曲线 c上任意一点 p( x， y) ，它在矩阵 m所对应的线性变换作用下得到点p (x ，y ) ，则1axx ，即xayx ，5 分b1yy bxy，y ，又点 p ( x ， y ) 在曲线 c 上，所以 x 2 2 y 21 ，则 ( x ay )22(bxy)21，即 (1 2b2 ) x2(2a4b) xy( a 22) y21 为曲线 c 的方程，5又已知曲线c的方程为 x24xy2 y

15、21，12b21比较系数可得2a4b4 ，解得 b0，a2 ，ab2 . 7 分a222(2) ( 本小题满分 7 分）选修 4 4：坐标系与参数方程解：（ i ）圆 c 直角坐标方程为(x 1)2( y1)24，展开得 x2y22x2 y20 ， 2分化为极坐标方程为2cos2sin20 4分2（ ii ）点 q的直角坐标为 (2,2) ，且点 q在圆 c 内，因为 | qc |2，所以 p，q两点距离的最小值为| pc |22 7 分(3) ( 本小题满分 7 分）选修 4 5：不等式选讲2x1 , (x1),解： (i) f ( x)3,(-1x2), 所以 yf ( x) 的最小值为3

16、 4 分2x1 ,(x2),(ii)由 (i) 可知，当 x1 时， f ( x)4 ，即 f ( x)4 ，此时 x3；2当 x2 时， f (x) 4，即 2x14，此时 x5 2因此不等式 f ( x)4 的解集为 a 为 |x3或 x5 7 分22解答题模拟训练( 理科 ) （二）616. （本题满分 13 分）某市为了推动全民健身运动在全市的广泛开展，该市电视台开办了健身竞技类栏目 健身大闯关，规定参赛者单人闯关，参赛者之间相互没有影响，通过关卡者即可获奖。现有甲、乙、丙3 人参加当天的闯关比赛，已知甲获奖的概率为3 ，乙获奖的概率为 2 ，丙获531奖而甲没有获奖的概率为.5(1)

17、 求三人中恰有一人获奖的概率；(2) 记三人中获奖的人数为，求 的数学期望。解 ：设 a、 b、 c分别表示 甲、乙、丙获奖的事件，则321p( a)， p(b)， p(c)(1 p( a)5351. 4 分 p(c)2（）三人中恰有一人获奖的概率为：p(1)p( a)p(b) p(c )p( a)p( b)p(c )p( a) p( b)p(c )3 (1 2) (1 1) (1 3)2 (1 1 ) (1 3) (1 2) 13 . 7 分53253253210( ) p(0)p( a) p( b) p(c)2111532，15p(1)3p(3)p( a)p( b)1，p(c)105p(2

18、)1p(0)p(1)p(3)13， 11 分30 的数学期望为 e( )0113213 3153. 13 （本题满分 13 分）如图 (1) 已知矩形 abcd 中， ad4 ，e 、f 分别是 ad 、bc 的中点，点 o 在 ef 上，且fo3oe，把abe沿着be翻折，使点a在平面bcd上的射影恰为点o）.（如图（ 2（ 1）求证：平面abf平面 aef ；（ 2）求二面角 e abf 的大小 .aaedoedzobfcbafc图 (1)图 (2)(1)证明：由已知ao平面 bcd ， aobc，eod7ybfcx图 (2)又依题意可知，ef bc， ao e

19、f=o， bc平面 aef， 3 分bc 平面 abf，平面 abf平面 aef. 5 分(2) 设 ab 4a ，则 oea ， of3a ， ao平面 bcd ， ao ob， aooe， ao 2ab2ob 2ae2oe 2，即 (4 a)2(49a2 )4 a2 ，求得 a1 ， oa3 ，7 分如图建立空间直角坐标系，则a(0，0， 3) ， b(3， 2，0) , e( 1，0，0) , f (3，0，0) ,ab(3， 2，3) ， bf(0，2，0) ， ae( 1，0， 3)设 n(1,y, z) 是平面 abf 的法向量，则nab0，n (1，0， 3）3 2 y 3z 0

20、9 分n bf0，2y 0同理可求得平面abe 的一个法向量m (3， 2 3，1) ， 11 分，n m0， 12 分cosn m=| n |m | 204二面角 eab f 的大小为 90 .13 分18. （本题满分 13 分）如图，我海军护航舰艇在某海域执行护航任务。在观察点ad处，发现北偏东 45o 方向，与 a 距离 20 2海里的 b处有一海盗船，正以 15 海里 / 小时的速度向北偏东o方向逃窜。我护航舰30艇在位于 a 北偏西 60o，与 a 距离 40海里处奉命以 15 3 海里 /cb小时的速度追截海盗船。 问：沿什么方向行驶才能正好追上海盗船？并求所需的时间？ad解：

21、ac cos6020 ， ab cos4520 ,bc ac sin 60ab sin 4520( 3 1) ，北30o8cobo 4560a 东过 a 垂直于 bc的直线正好为南北方向，即直线 bc正好为东西方向，bcac sin 60ab sin 4520(31)cbd9030120 ，设追及时所需时间为t ，则 cd153t ， bd15t，由正弦定理bdcd，bcdsinsincbd1 ，15t153t，sinbcdbcd30，sin bcdsin120 02bdc1801203030， bdbc20(3 1) ，20(31)4(31)t1533.6460 的方向航行，才能正好追上海盗

22、船，所需时间约3.64 小时 .答：我护航舰艇应以北偏东19. （本题满分13 分）已知函数f (x)(x23x3) ex 定义域为 - 2，t ( t2 ) ，设 f ( 2)m ， f (t)n (1)试确定 t 的取值范围 , 使得函数f ( x) 在 - 2，t 上为单调函数；(2) 求证： n m ；(3) 求证：对于任意的t2，总存在f( x0 )22x0，t )，满足(t1)，并确( 2ex03定这样的 x0的个数解：（ 1） 因为 f ( x) ( x23x 3) ex(2 x 3) exx( x 1) ex由 f ( x) 0x1或 x0 ；由 f ( x) 00 x 1 ,

23、所以 f ( x) 在 (,0),(1 ,) 上递增，在(0,1)上递减，欲 f (x) 在2, t上为单调函数，则2t0，3 分（ 2）因为 f ( x) 在 (,0),(1,) 上递增，在(0,1) 上递减，所以 f ( x) 在 x1处取得极小值 e ，又 f ( 2)13e，所以f ( x) 在2,上的最小值为 f (2)，e2从而当 t2 时， f (2)f (t ) ，即 mn ，6 分（ 3）因为 f ( x0 )x02x0 ，所以f ( x0 )2 (t1)2 即为 x02x02 (t1)2 ,ex0ex0339令 g (x)x2x2 (t1)2 ，从而问题转化为证明方程3g(

24、x)x2x2 (t1)2 =0 在 (2, t ) 上有解，并讨论解的个数 . 7 分3因为 g (2)62 (t1)22 (t2)(t4) ，33g(t)t (t1)2 (t1)21 (t2)( t1) ， 8 分33所以 当 t4或 2t1时， g (2)g (t )0 ， 所以 g (x)0 在 ( 2, t) 上有解，且只有一解 当1t4时， g (2)0且 g (t)0 ，但由于 g(0)2 (t1)20 ，3所以 g (x)0在 ( 2, t ) 上有解，且有两解；9 分 当t1时，g(x)x2x0x0x1，所以g( x) 0在(2,t)上有且只有一解；或 当 t4 时， g (x

25、)0 在 (2,4) 上也有且只有一解 . 11 分综上所述，对于任意的t2，总存在 x0( 2,t ) ，满足 f ( x0 )2 (t1)2 ，ex03且当 t4或 2t1时，有唯一的x0 适合题意；当 1t4 时，有两个 x0 适合题13 分20. ( 本题满分14 分 ) 设点 p 为圆 c1：x2y22 上的动点，过点p 作 x 轴的垂线，垂足为q 动点 m 满足2mqpq （其中 p ，q 不重合）y（）求点 m 的轨迹 c2 的方程；at（）过直线x2 上的动点 t 作圆 c1 的两条切线，设切点分别为 a，b 若直线 ab 与（）中的曲线c2 交于 c，d 两点，-2ox求 ab 的取值范围bcd解： ( ) 设点 m (x，y) ，由2mqpq ，得 p( x， 2y) ，（第 20 题）由于点 p在 c1： x2y22 上，所以 x22y22