数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第四章

1、第四章 函数的连续性一、填空题1设 ，若函数在定义域内连续，则 ；2函数 的间断点是 ；3函数的连续区间是 ；4函数的连续区间是 ；5函数的间断点是 ；6函数的间断点是 ；7函数的连续区间是 ；8设 在点连续，则 ；9函数的间断点是 ；10函数.则处处连续的充要条件是 ；11函数，则 ，若无间断点，则 ；12如果 ，当 时，函数连续二、选择填空1设和在内有定义，为连续函数，且，有间断点，则( )A.必有间断点。 B.必有间断点C.必有间断点 D.必有间断点2设函数，在内连续，且，则常数满足( )A. B. C. D.3设，当当，则A 有可去间断点。 B。有跳跃间断点。 C 有无穷间断点 D 连

2、续4函数A 不存在间断点。 B 存在间断点 C存在间断点 D存在间断点5设，则在点处有间断点的函数是A B C D 6下述命题正确的是A 设与均在处不连续，则在处必不连续。B 设在处连续，则=0。C 设在的去心左邻域内，且=a, =b,则必有abD 设=a, =b, ab，则必存在的去心左邻域，使。三、计算题1指出函数的间断点及其类型：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）（7）2延拓下列函数，使在上连续：（1）； （2）； （3）3举出定义在0，1上符合下述要求的函数：（1）在和三点不连续的函数；（2）只在和三点连续的函数；（3）只在上间断的函数；（4）仅在x=0右连续，其它点均

3、不连续的函数。4求极限：（1）；（2）。5求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）四、证明题1按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1）； （2）2设f为连续函数，常数，证明函数3证明：设f为区间I上的单调函数，且为f的间断点，则x0必是f的第一类间断点。4设函数f只有可去间断点，定义，证明g为连续函数。5设f为上单调函数，定义g（x）=f（x+0），证明函数g在上每点都右连续。6该，当时，试证f与g这两个函数中至我有一个在x=0处连续。7设f，g在点x0连续，证明：（1） 若，则存在x0的某个邻域使：（2）若对，有，则。8研究复合函数与的连续性。设（1）；（2）。9若f在上

4、连续，且存在，证明：f在上有界，试问f在上必有最大值与最小值吗？10若对任给，f在上连续，是否可推出f在（a，b）连续。11证明：若f在a，b上连续，且不存在任何x使得f（x）=0，则f在a，b上恒正或恒负。12证明：任一实系数奇次方程至少有一个根。13证明：（1）函数在上一致连续。（2）在a，b上一致连续，但在上不一致连续。14若函数f（x）在区间I上满足李普希茨条件，即存在常数L，使得对I上任意的两点与，都有证明：f在I上一致连续。15试用一致连续的定义证明，若函数f在a，c和c，b上都一致连续，则f在a，b上也一致连续16该函数f在是连续且f（0）=f（2a）。证明：在区间0，a上存在某

5、个x，使f（x）=f（x+a）。17该f为a，b上的递增函数，其值域为f（a），f（b），证明f在a，b上连续。18证明：若f在a，b 上连续，且则在上必存在，使得19设f（x）=Sinx， 证明复合函数f（g（x）在x=0不连续。20证明：若f（x）是以2为周期的连续函数，则存在，使。21证明：在上一致连续。22设，证明：。23证明（1） 若，x为任一实数，则。（2）设x1，x2是任意两个实数，且，若，则。24设，x为任意实数，证明五、考研复习题1设函数f在开区间（a，b）内连续，且f（a+0）与f（b-0）为有限值。证明f在（a，b）上有界。2证明：方程（其中，且）在与内各有一个根。3若f

6、在a，b上连续，且，证明：（1）存在一个，使得；（2）存在一个，使得，其中m，n为正整数。4设函数f在a，b上连续，证明下述结论：（1） 若对一切a，b上的有理数r，有f（x）=0，则在a，b上有。（2） 若对a，b上任意两个有理数，有，则f为a，b上的严格递增函数。5证明：若f在a，b上连续，则函数和在 a，b上连续。6设f在a，b连续，且，证明存在，使得f（x）=x。7证明：若函数f在（a，b）连续，f（a+0）与f（b-0）都为有限值，且存在一点，使得，则f在（a，b）内能取到最大值。8证明：若函数f在（a，b）连续，且，则f在（a，b）内能取到最小值。9设函数f在a，b上连续，另有一组正数，满足，证明：存在一点，使得。10已知函数f在上连续，且，设证明：（1）为收敛数列；（2）设，则；（3）若条件改为，则t=0。11证明：若函数f在0，1上连续，则对任何自然数n，存在，