复利现值、终值、年金现值终值公式、实例

1、某投资项目预测的净现金流量见下表（万元），设资金基本贴现率为 10%,则该项目的净现金值为（）万元年份012345678910各年末净现金流量-50060100100100100100100100100100解:本例因为涉及到年金当中的递延年金，所以将年金系列一起先介 绍，然后解题年金，是指一定时期内每次等额收付款的系列款项， 通常记作A。 如保险费、养老金、折旧、租金、等额分期收款、等额分期付款以及 零存整取或整存零取储蓄等等。年金按每次收付发生的时点不同， 可 分为普通年金、即付年金、递延年金、永续年金等。结合本例，先介 绍普通年金与递延年金，其他的在后面介绍。一、普通年金，是指从第一期起

2、，在一定时期内每期期末等额发生的 系列收付款项，又称后付年金。1普通年金现值公式为：1 （1 + i）P = A （1 i）d A （1 i），A （1 i）4nJ） A （1 i）=A -i式中的分式_（1飲 称作“年金现值系数”，记为（P/A，i，n）,i可通过直接查阅“ 1元年金现值表”求得有关的数值，上式也可写作：P=A（ P/A，i，n）.2例子：租入某设备，每年年末需要支付租金 120兀，年复利利率为10%，则5年内应支付的租金总额的现值为：n5p=A 1 _（1 J =12010%）=120 3.7908455 （元）i10%二、递延年金，是指第一次收付款发生时间与第一期无关，而

3、隔若干 期（假设为s期，s 1），后才开始发生的系列等额收付款项。它是 普通年金的特殊形式，凡不是从第一期开始的年金都是递延年金。1递延年金现值公式为： 厂 a J-(1+i)“1-(1 十 i)P =A_1 _ (1 + i ) =n Y)或 P=A(1 i) A (P/A,i, n-s) (P/F,i,s)二 A l(P/A,i, n) -(P/A,i,s)(1)(2)i上述（1）公式是先计算出n期的普通年金现值，然后减去前 s期的普通年金现值，即得递延年金的现值，公式（2）是先将些递延年金视为（n-s）期普通年金，求出在第 s 期的现值，然后再折算为第零期的现值。2例子：某人在年初存入一

4、笔资金，存满5年后每年年末取出1000元，至第10年末取完，银行存款利率为10%。则此人应在最初一次 存入银行的钱数为：方法一：P =A 汉 J _(1(1+=a 汉 &P/A,i, n) (P/A,i,s)】ii-10001 10%)=1000 l(P/A,10%,10) _(P/A,1O%,5)1IL 10%10%= 1000X (6.1446-3.7908)2354 (元)方法二：是先将些递延年金视为(n-s)期普通年金，求出在第s期 的现值，然后再折算为第零期的现值。1 _(VHirCn)P=A(1 i) = A (P/A,i, n-s) (P/F,i,s)i1 _ (1 10%)，1

5、0_5)= 1000(1 10%) = 10 (P/A10%,10-5) (P/F,10%,5)i= 1000X 3.7908X 0.62092354 (元)三、本例的分析及解答：从表中可以看出，现金流量是每年年末的净现金流量，从第2年开始到第10年，每年年末的净现金流量相等，这符合递延年金的定 义，那么从第2年到第10年的每年年末的净现金流量的现值要按递 延年金来计算。第0年的年末净现金流量为500,说明是第1年年 初一次性投入500万元，第1年年末的净现金流量为60万元，按复 利现值的公式来计算。从本例中，建设期为0年，经营期为10年，年利率为10%，那么本例的投资的净现值计算为：NPVN

6、t(1 R)t nn-Zt占R(1 R)21 (1 +10%) J10=60 (1 10%) 4 - 100(1 10%) -500i-60 (P/F,10%,1)100 (P/A,10%,10-1) (P/F,10%,1)-5 0 0=60 X 0.9091 + 100X 5.7590 X 0.9091-500=578.09669-50078.09669 (万元)四、其他年金 普通年金1终值公式为:(1 i)n -1式中的分式 亠心 称作“年金终值系数”i，记作为(F/A, i, n),可通过直接查阅“ 1元年金终值表”求得有关的数值，上式也可写作： F=A( F/A，i，n)例：假设某项目

7、在5年建设期内每年年末从银行垡100万元，借 款年利率为10%，贝S该项目竣工时就付本息的总额为：F =100 (1 10%) _1 = 100X (F/A, 10%, 5) =100X 6.1051=610.51 10%(万元)2年偿债基金的计算(已知年金终值，求年金A)偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或者积聚 一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。它的计算实际上是年金终值的逆运算。i(1 i)n -1式中的分式 J 称作“偿债基金系数”，记为(A/F , i, n),(1 +i) -1可通过直接查阅“偿债基金系统表”或通过年金终值系数的倒数推算出来，上式也可写作：A

8、=F (A/F , i, n)或者A=F1/ (F/A , i, n) 例：假设某企业有一笔4年后到期的借款，到期值为1000万元。若存款年复利率为10%，则为偿还该借款应建立的偿债基金应为：10%A =1000% =1000X 0.2154= 215.4 (万元)(1 +10%)4 1或 A=1000 X 1/ (F/A, 10%, 4) =1000X (1/4.6410)=215.4(万元)3年资本回收额的计算(已知年金现值 P,求年金A)a =p1 孑1 _(1 +i)式中的分式7称作“资本回收系数”记为记为(A/P, i,n),1 _(1 +i)可通过直接查阅“资本回收系统表”或通过年

9、金现值系数的倒数推算出来，上式也可写作：A=P (A/P, i, n)或者A=P1/ (P/A, i, n) 例：某企业现在借得1000万元的贷款，在10年内以年利率12% 等额偿还，则每年应付的金额为：12%A =1000 空 帀=1000X 0.1770=177 (万元)1(1+12%)或 A=1000 X 1/ (P/A, 12%, 10) =1000X (1/5.6502)=177 (万 元)即付年金即付年金，是指从第一期起，在一定时期内每期期初等额收付的 系列款项，又称先付年金，它与普通年金的区别仅在于付款时间的不 同。1.由于付款时间的不同，n期即付年金终值比n期普通年金的终值 多

10、计算一期利息。因此，在n期普通年金终值的基础上乘上(1+i)就是 n期即付年金的终值。” (1 i)n-1(1 iA (1 i)n1i ，它是在普通年金终式中(1 i)n1 _1称作“即付年金终值系数”i值系数的基础上，期数加1,系数值减1所得的结果。通常记为(F/A， i，n+1)-1，这样，通过查阅“一元年金终值表”得到 n+1期的值， 然后减去1便可得对应的即付年金终值系数的值。上式也可写作：F=A( F/A，i，n+1)-1 例：某公司决定连续5年于每年年初存入100万元作为住房基金,银行存款利率为10%。则该公司在第5年末能一次取出本利和为：F=A( F/A，i，n+1)-1=100

11、X (F/A, 10%, 5+1) -1= 100X (7.7156-1)=672 (万元)2.由于付款时间的不同，n期即付年金现值比n期普通年金的现值 少折现一期。因此，在n期普通年金现值的基础上乘上(1+i)就是n期 即付年金的现值。1 (1 +i)一1 (1P = A = x(1 十i) = ah _2+1式中W+f +1 I称作“即付年金现值系数”，它是在普通年金:i 一现值系数的基础上，期数减1,系数值加1所得的结果。通常记为(P/A, i, n-1) +1,这样，通过查阅“一元年金现值表”得到 n-1 期的值，然后加上1便可得对应的即付年金现值系数的值。上式也可 写作：P=A (P

12、/A, i, n-1) +1永续年金永续年金，是指无限期等额收付的特种年金，可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。存本取息可视为永续年金的 例子。也可将利率较高、持续期限较长的年金视同永续年金。由于永续年金持续期无限，没有终止时间，因此没有终值，只有 现值。公式为：=A3111(TV例：某人持有的某公司优先股，每年每股股利为 2元，若此人想 长期持有，在利率为10%的情况下，请对该股票投资进行估价。这是一个求永续年金现值的问题，即假设该优先股每年股利固定且持续较长时期，计算出这些股利的现值之和，即为该股票的估价。P二A/i=2/10%=20 (元)五、名义利率与实际利率的换算 当

13、每年复利次数超过一次时，这样的年利率叫做名义利率，而每 年只复利一次的利率才是实际利率。公式：i=(1+r/m)m-1式中：i为实际利率，r为名义利率，m为每年复利次数。 例：某企业于年初存入10万元，在年利率为10%，半年复利一次 的情况下，到第10年末，该企业能得到多少本利和？依题意，P=10， r=10%，m=2， n=10 则:i=(1+r/m) m-1= i=(1+10%/2)2-仁 10.25% F=p(1+i)n=10x (1 + 10.25%)10=26.53 (万元)这种方法的缺点是调整后的实际利率往往带有小数点，不便于查 表。可以把利率变为r/m,期数相应变为mx n,则有：F=P(1+r/m)mXn=10 x (1+10%/2)2=10 x (F/P,5%,20)=26.53 (万元) 复利终值公式；F=P(1+i)n现值公式：P=F/(1+i) n=p=s/(1+i)A n=sG(1+i)A-n普通年金终值公式：(1 i)n -1现值公式:1 _(1十i) P = A (1 i)4 A (1 i)，亠 亠 A (1 i)如)A (1 i)=Ai即付年金的终值。(1+i)n-1(1+i)n41-1 IF =A汇-(1+i) = A | -1i(1 i)1i11 (1 i)*现值。递延