带电粒子在有界磁场中运动的临界问题汇总

1、带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧带电粒子（质量 m、电量q确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有 入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表），磁场方向在一般问题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按已知参数可将问题分为如下10类（C2），并可归并为6大类型。入射点入射方向入射速度大出射点J出射方向类型已知参量类型一入射点、入射

2、方向；出射点、出射方向类型二入射点、速度大小；出射点、速度大小类型三入射点、出射点:类型四入射方向、出射方向类型五入射方向、速度大小；出射方向、速度 大小；:类型六入射点、出射方向；出射点，入射方向X弱兴*1X*黄*+0L疋旳疋*B*斗*吃打打#打打#打打#打打打打入【分析】粒子初速度方向已知,故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上（如图甲），所有这些问题，其通用解法是：第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，第二步，按一定顺序尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆），第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。（即轨道半径不确定）类型一：已知

3、入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。【例1】如图所示，长为 L的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B,板间距离也为L,板不带电.现有质量为 m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是a .使粒子的速度v5BmLc .使粒子的速度v詈d .使粒子的速度在该直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆和为临界轨迹圆。轨道半径小于轨迹圆或大于轨迹圆的粒子，均可射出磁场而不打在极板上。1七X*LB

4、*r)图甲图乙K.I l X7【解答】 AB粒子擦着板从右边穿出时，圆心在0点，有ri2= L2 + （ri L）2 , 得ri =曽由ri=晋，得vi=弓半，所以v54mL时粒子能从右边穿出粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在0点，有 3= L4由3=罟2，得v2= Bq，所以vBqL时粒子能从左边穿出.Bq 4m 4m类型二：已知入射点和入射速度大小（即轨道半径大小），但入射速度方向不确定这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”上一一所谓“圆心圆”，是指以入射点为圆心，以r =为半径的圆。qB_一【例2】如图所示，在owX0、owy3范围内有垂直手xy平面向外的匀强磁场， 磁感应强

5、度大小为 B。2I v 坐标原点0处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为 m、电荷量为q的带 正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0900范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中 做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的（1）速度的大小；速度方向与y轴正方向夹角的正弦。【分析】本题给定的情形是粒子轨道半径r大小确定但初速度方向不确定，所有粒子的轨迹圆都要经过入射点0,入射点0到任一圆心的距离均为 r，故所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”一一以入射点0为圆

6、心、r为半径的圆周上（如图甲）。考虑到粒子是向右偏转，我们从最左边的轨迹圆画起一一取“圆心圆”上不同点为圆心、r为半径作出一系列圆，如图乙所示；其中，轨迹对应弦长大于轨迹对应弦 长一一半径一定、圆心角都较小时（均小于180）,弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长图甲图乙故轨迹对应圆心角为90。【解答】设粒子的发射速度为 v,粒子做圆周运动的轨道半径为v2mvqvB 二 m , 解得：R =RqB当a/2Ra时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆 心为C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图所示，设该粒子在磁 场中运动的时间为t,依题意，t=T/4时，/ 0CA = n /2设最后离

7、开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为 a由几何关系得：aRsi n： =R , Rsi n：二 aRcos：,22且 sin 工- cos : =1解得：R=（2-至）a, v=（2-至）趣,si门：二6622 m10这类题作图要讲一个小技巧一一按粒子偏转方向移动圆心作图。【练习2】如图所示，在正方形区域abed内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场。在t=0时刻，一位于ad边中点0的粒子源在abed平面内发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度 大小相同，方向与 Od边的夹角分布在0180范围内。已知沿 Od方向发射的粒子在t=to时刻刚好从磁场 边界ed上的p点离开磁场

8、，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长L,粒子重力不计，求：（1）粒子的比荷q/m；（2） 假设粒子源发射的粒子在0180。范围内均匀分布， 此时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的 总粒子数之比；（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。x11xxxxxxOxxx11xxxxabId_pc:xxxx1 M*Jxxxix;JIfOx1xx11 11电 !i11b:xxxx4L-J. JId p* riS*cV*aLb OOxxxdxx xxx x.1 _-图甲图乙【分析】以L为半径、O点为圆心作“圆心圆”（如图甲）；由于粒子逆时针偏转，从最下面的轨迹开始画 起（轨迹），在圆心圆”取

9、不同点为圆心、以 L为半径作出一系列圆（如图乙）；其中轨迹与轨迹对 称，在磁场中运动时间相同；轨迹并不经过c点，轨迹对应弦长短于轨迹对应弦长即沿轨迹运动的粒子最后离开磁场。【解答】（1）初速度沿Od方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图，其圆心为n,由几何关系有：Onp 二一612粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得2兀Bqv =m（）2r ,71m 6Bt0依题意，同一时刻仍在磁场中的粒子到O点距离相等。在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以园心，Op为半径的弧pw上。“5兀由图知 pOw二6此时刻仍在磁场中的粒子数与总粒子数之比为5/6（3）在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应

10、该与磁场边界5粒子运动轨迹对应的圆心角为0,则sin= 24b点相交，设此Y,M X X X在磁场中运动的最长时间J512arcs in 4 to所以从粒子发射到全部离开所用时间为12. 5t = ( arcs in)t。n4和方向类型三：已知入射点和出射点，但未知初速度大小（即未知半径大小）这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在入射点和出射点连线的中垂线上。【例3】如图所示，无重力空间中有一恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向外，大小为B，沿x轴放置一个垂直于 xOy平面的较大的荧光屏，P点位于荧光屏上，在 y轴上的A点放置一放 射源，可以不断地沿平面内的不同方向以大小不等的速度

11、放射出质量为m、电荷量+q的同种粒子，这些粒子打到荧光屏上能在屏上形成一条亮线， P点处在亮线上，已知 OA = OP = I，求：（1 ）若能打到P点，则粒子速度的最小值为多少？（2）若能打到P点，则粒子在磁场中运动的最长时间为多少？【分析】粒子既经过 A点又经过P点，因此AP连线为粒子轨迹圆的一条弦，圆心必在该弦的中垂线OM上（如图甲）。在OM上取不同点为圆心、以圆心和 A点连线长度为半径 由小到大作出一系列圆 （如 图乙），其中轨迹对应半径最小，而轨迹对应粒子是。1点上方轨道半径最大的，由图可知其对应圆心角也最大。【解答】（1）粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，设粒子的速度大小为v时

12、，其在磁场中的运22 n qB 由图可知，在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图中圆。2所示，此时粒子的初速度方向竖直向3上，则由几何关系有：-2则粒子在磁场中运动的最长时间：3 nm2qB动半径为R，则由牛顿第二定律有：qBv= mVsap= j/2!R=坠池|2 2则粒子的最小速度v =321A）2m2 nmX* /* 7 农；/（2）粒子在磁场中的运动周期T=0 y s qBPxR若粒子以最小的速度到达 P点时，其轨迹一定是以 AP为直径的圆（如图中圆O1所示）由几何关系知:设粒子在磁场中运动时其轨迹所对应的圆心角为0,则粒子在磁场中的运动时间为：上=旦丁=凹类型四：已知初、末速度的方

13、向（所在直线），但未知初速度大小 （即未知轨道半径大小）这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在初、末速度延长线形成的角的角平分线上。【例4】在xOy平面上的某圆形区域内，存在一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 B.个质量为m、带电量为+q的带电粒子，由原点 O 开始沿x正方向运动，进入该磁场区域后又射出该磁场；后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30（如图所示），已知P到O的距 离为L,不计重力的影响。（1）若磁场区域的大小可根据需要而改变，试求粒子速度的最大可能值；（2）若粒子速度大小为 v =豐，试求该圆形磁场区域的最小面积。6m【分析】初、末速度所在直线必定与粒

14、子的轨迹圆相切，轨迹圆圆心到两条直线的距离（即轨道半径）相等，因此，圆心必位于初、末速度延长线形成的角的角平分线QC上（如图甲）；在角平分线QC上取不同的点为圆心，由小到大作出一系列轨迹圆 的，其对应的粒子速度也最大。（如图乙），其中以C点为圆心轨迹是可能的轨迹圆中半径最大图【解答】过P点作末速度所在直线，交x轴于Q点，经分析可知，粒子在磁场中作圆周运动的轨迹的圆心必在.OPQ的角平分线QC上，如图甲所示。设粒子在磁场中作匀速圆周运动的轨道半径为r，则由牛顿第2二定律，有qvB=r贝U r二空， rqB由此可知粒子速度越大，其轨道半径越大，由图乙可知，速度最大的粒子在磁场中运动轨迹的圆心是y轴

15、上的C点。（1）如图丙所示，速度最大时粒子的轨迹圆过O点、且与PQ相切于A点。由几何关系有OQ= Lan 3 r, =OQtan30可得由、求得qBLv =3m图丙（2）将v=醬代入式，可得“=6，粒子的运动轨迹是如图丁所示的轨迹圆，该轨迹圆与X轴相切于D点、与PQ相切于E点。连接DE,由几何关系可知由于D点、E点必须在磁场内，即线段 DE在磁场内，故可知磁场面积最小时必定是以DE为直径（如图丁中所示）。即面积最小的磁场半径为则磁场的最小面积为1R D E2s = nR2 二 n仝 L)212n48Ov D类型五：已知初速度的大小这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在将入射点组成的边界沿垂直入

16、射速度方向平移一个半径距（即已知轨道半径大小）和方向，但入射点不确定图丁离的曲线上。【例5】如图所示，长方形 abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m, 0、e分别是ad、be的中点，以e为圆心eb为半径的圆弧和以 0为圆心0d为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（eb边界上无磁场）磁感应强度 B=0.25T。一群不计重力、质量m=3X10-7kg、电荷量 q=+2 X10-3C的带正电粒子以速度v=5 xl02m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域，则下列判断正确的是（D ）A. 从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B. 从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边

17、C. 从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边D. 从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点【分析】所有进入磁场的粒子的入射点均在dOb线上，将该曲线垂直速度向上平移rr * I I*m n w m一个半径r =mV后得到曲线Oaf，此即所有粒子在磁场中做圆周运动的圆心所在曲qBxXxXXXXx Bx线，在该曲线上从下到上取点作为圆心、mv为半径作一系列轨迹圆，其中为从qBd点射入粒子的轨迹（圆心在O点），为从O点射入粒子的轨迹（圆心在 a点），为从a点射入粒子的轨迹，从 d、O之 间入射粒子在磁场中转过1/4圆周后沿eb边界作直线运动最终汇聚于 b点，从O、a之间入射粒子先作直线运动再进入磁场做

18、圆周运动，由作图易知这些粒子也汇聚于b点。f【练习5】如图所示，在xOy平面内有一半径为R、与x轴相切于原点的圆形区域，该区域内有垂直于xOy平面的匀强磁场。在圆的左边 0y0）和初速度v的带电微粒沿 x轴正方向射向该区域， 其中沿半径AO方向进入磁场区域的带电微粒经磁场偏转后，从坐标原点0沿y轴负方向离开。（1）求磁感应强度B的大小和方向。请指出这束带电微粒与 x轴相交的区域，并说明理由。【分析】（1 ）从A点进入磁场区域的微粒轨迹圆心在A点正下方相距 R的C处，微粒轨迹如图所示，可知微粒轨迹半径为；（ 2）所有这些微粒进入磁场后做圆周运动的圆心均在如图所示半圆虚线qBOCD上，在该曲线上由上到下取点作为圆心、以R为半