有限单元法简介

1、2021-5-15有限单元法简介1 报告人：郭涛报告人：郭涛 有限单元法 一、数值模拟方法概述 二、有限单元法简介 三、有限单元法分析步骤 四、利用有限元软件进行工程分析 五、结后语 2021-5-15有限单元法简介3 一、数值模拟方法概述 工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固 体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁 分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流 体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界 条件下求解其控制方程的问题。 虽然人们能够得到它们的基本方程和边界条件，但 是能够用解析法求解的只是少数性质比较简单和边 界比较规则的问题，实际结构的形状和所受到的载 荷往往比

2、较复杂，按解析法求解是非常困难的。 2021-5-15有限单元法简介4 一、数值模拟方法概述 解决这类复杂问题主要有两种方法： 1、引入简化假设，使其达到能用解析法求解的状态， 然后求其近似解（未必可行，容易导致不正确的解 答） 2、保留问题的复杂性，利用数值模拟方法求得问题 的近似解（较多采用） 数值模拟技术（即cae技术，computer-aided engineering）是人们在现代数学、力学理论的基础 上，借助于计算机技术来获得满足工程要求的数值 近似解，是现代工程仿真学发展的重要推动力之一。 2021-5-15有限单元法简介5 一、数值模拟方法概述 目前在工程技术领域内常用的数值模

3、拟方法有： 1、有限单元法fem（ finite element method） 2、边界元法bem（boundary element method ） 3、有限差分法fdm（ finite difference method 4、离散单元法dem（discrete element method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。 2021-5-15有限单元法简介6 一、数值模拟方法概述 数值模拟结合计算机技术形成的应用软件在工程 中得到广泛的应用，国际上著名的有限元通用软件 有： ansys,mcs.patran,mcs.nastran,mcs.mar c,abaqus,adina

4、,flac等 它们大多采用fortran语言编写，不仅包含多种条 件下的有限元分析程序，而且带有强大的前处理和 后处理程序。 大多数有限元通用软件拥有良好的用户界面、使用方 便，功能强大。 2021-5-15有限单元法简介7 二、有限单元法简介 虽然近些年才采用了有限元这个名字，有限元的 概念在几个世纪以前就已经用过了。例如：古代数 学家用多边形逼近圆的办法求出圆周长以及圆的面 积；现在人们日常生活中丈量土地的时候也是分成 一块一块进行的，这都是利用了有限元的基本思想 化整为零化整为零。 现代有限元法第一个成功的尝试，是tunner， clough等人于1956年将刚架位移法推广应用于弹性 力

5、学平面问题，在分析飞机结构时得到的成果，他 们第一次给出了用三角形单元求得平面应力问题的 正确解答。 2021-5-15有限单元法简介8 二、有限单元法简介 随着高速计算机的发展，有限元的应用也以惊人 的速度发展，现在有限元法已经被工程师和科学家 们公认是一种完美和方便的分析工具。 40多年来，有限元法的应用已由弹性力学平面问题 扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展 到稳定问题、动力问题。分析的对象从弹性材料扩 展到塑性、黏弹性、黏塑性和复合材料等，从固体 力学扩展到流体力学、传热学等连续介质力学领域。 2021-5-15有限单元法简介9 有限单元法的常用术语： 二、有限单元法简介 真

6、实系统真实系统有限元模型有限元模型 有限元模型有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象是真实系统理想化的数学抽象。 定义定义 2021-5-15有限单元法简介10 自由度（dofs degree of freedoms） 自由度自由度(dofs) 用于描述一个物理场的响应特性用于描述一个物理场的响应特性。 结构结构 dofs 结构结构 位移位移 热热 温度温度 电电 电位电位 流体流体 压力压力 磁磁 磁位磁位 方向方向 自由度自由度 rotz uy roty ux rotx uz 2021-5-15有限单元法简介11 节点和单元 节点节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和空间中的坐标位置，

7、具有一定自由度和 存在相互存在相互物理作用物理作用。 单元单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、。单元有线、 面或实体以及二维或三维的单元等种类。面或实体以及二维或三维的单元等种类。 有限元模型由一些简单形状的有限元模型由一些简单形状的单元单元组成，单元之间通过组成，单元之间通过节点节点连连 接，并承受一定接，并承受一定载荷载荷。 载荷载荷 载荷载荷 2021-5-15有限单元法简介12 节点和单元 (续) 节点自由度是随连接该节点节点自由度是随连接该节点 单元类型单元类型 变化的。变化的

8、。 j i i j j kl i l k i p o m n k j i l 三维杆单元三维杆单元 (铰接铰接) ux, uy, uz 三维梁单元三维梁单元 二维或轴对称实体单元二维或轴对称实体单元 ux, uy 三维四边形壳单元三维四边形壳单元 ux, uy, uz, 三维实体热单元三维实体热单元 temp j p o m n k j i l 三维实体结构单元三维实体结构单元 rotx, roty, rotz rotx, roty, rotz ux, uy, uz, ux, uy, uz 2021-5-15有限单元法简介13 单元形函数 feafea（finite element analy

9、sisfinite element analysis）仅仅求解节点）仅仅求解节点 处的处的dofdof值。值。 单元单元形函数形函数是一种数学函数，规定了从节点是一种数学函数，规定了从节点dofdof值值 到单元内所有点处到单元内所有点处dofdof值的计算方法。值的计算方法。 因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果 的的“形状形状”。 单元形函数描述的是给定单元的一种单元形函数描述的是给定单元的一种假定假定的特性的特性 。 单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影 响求解精度。响求解精度。 2021-5

10、-15有限单元法简介14 真实的二次曲线真实的二次曲线 . 节点节点单元单元 二次曲线的线性近二次曲线的线性近 (不理想结果不理想结果) . 2 单元形函数(续) 节点节点单元单元 dof值二次分布值二次分布 . 1 节点节点 单元单元 线性近似线性近似 (更理想的结果更理想的结果) 真实的二次曲线真实的二次曲线 . . . . 3 节点节点单元单元 二次近似二次近似 (接近于真实的二次近似拟合接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果最理想结果) . 4 2021-5-15有限单元法简介15 单元形函数(续) 遵循遵循: dofdof值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值

11、可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均 值与实际情况吻合得很好。值与实际情况吻合得很好。 这些平均意义上的典型解是从单元这些平均意义上的典型解是从单元dofsdofs推导推导出来的（如，结构应力，热出来的（如，结构应力，热 梯度）。梯度）。 如果单元形函数不能精确描述单元内部的如果单元形函数不能精确描述单元内部的dofsdofs，就不能很好地得到导出，就不能很好地得到导出 数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。 遵循原则遵循原则: 当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选

12、择并接受接受该种单该种单 元类型所假定的单元形函数。元类型所假定的单元形函数。 在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析 时有时有足够足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。 2021-5-15有限单元法简介16 二、有限单元法简介 有限单元法的基本思想：有限单元法的基本思想： 1、 将一个连续域离散离散化为有限有限个单元并通过有限个节点节点相连接的等效集合 体。由于单元能按照不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不 同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。 2、 有限元

13、法利用在每一个单元内假设的的近似函数近似函数来分片地表示全求解域 上待求的未知场函数。单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个节 点的数值和其插值函数来表达。 3、一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个节点上的数值就成为新的 未知量，从而使一个连续的无限自由度连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度离散的有限自由度问题。 4、一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数插值函数计算出各个单元内场函数 的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然，随着单元数目的增 加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精 度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近 似解最

14、后将收敛于精确解。 2021-5-15有限单元法简介17 三、有限单元法分析步骤 有限元法分析问题的基本步骤基本步骤： 1、结构的离散化 离散化就是将要分析的结构分割成有限个单 元体，并在单元的指定位置设置节点，使相 邻单元的有关参数具有一定的连续性，构成 单元的集合体代替原来的结构。 结构离散化时，划分的单元大小和数目应根 据计算精度的要求和计算机的容量来决定 2021-5-15有限单元法简介18 三、有限单元法分析步骤 2、选择位移插值函数 为了能用节点位移表示单元体的位移、应变 和应力，在分析连续体问题时，必须对单元 中位移的分布做出一定的假设，一般假定位 移是坐标的某种简单函数。选择适

15、当的位移 函数是有限单元法中的关键。 3、分析单元的力学特性 利用几何方程、本构方程和变分原理得到单 元的刚度矩阵和载荷矩阵 2021-5-15有限单元法简介19 三、有限单元法分析步骤 4、集合所有单元平衡方程，得到整体结构的平 衡方程 先将各个单元刚度矩阵集合成整体刚度矩阵， 然后将各单元的等效节点力列阵集合成总的 载荷列阵 5、由平衡方程求解未知节点位移 按照问题的边界条件修改总的平衡方程，并 进行求解。 2021-5-15有限单元法简介20 三、有限单元法分析步骤 6、单元应变和应力的计算 根据已知结点的位移利用弹性力学方程和位 移插值函数算出单元的应变和应力。 线性静力有限元分析步骤

16、线性静力有限元分析步骤 结构离散结构离散 形成单元刚度矩阵形成单元刚度矩阵 装配总体刚度矩阵装配总体刚度矩阵 施加约束边界条件施加约束边界条件 施加载荷 求解方程求解方程 计算位移、应力等计算位移、应力等 f = 10000 磅 l = 10 英寸yin l = 10 英寸 面积 a = 1.5 英寸2 弹性模量 e = 10106 磅/英寸2 面积 a = 2.0 英寸2 弹性模量 e = 10106 磅/英寸2 例子：例子： 1 1、建立结构有限元模型、建立结构有限元模型 l=10英寸 a=1.5英寸2 l=10英寸 a=2.0英寸2 结点 3# 结点 1# 结点 2# 单元 单元 2 2

17、、形成单元刚度矩阵、形成单元刚度矩阵 3 3、总装刚度矩阵、总装刚度矩阵 4 4、施加边界条件、施加边界条件 5 5、施加作用载荷、施加作用载荷 6 6、求解矩阵方程、求解矩阵方程 7 7、计算单元应力、计算单元应力 0005. 0 10 0 . 0005. 0 l uu l l 12) 1 ( el 0006667. 0 10 005. 001167. 0 l uu l l 23) 2 ( el 24-6)1( el )1( el )/(5000-=10)5- (1010=e=英寸磅 24-6)2( el )2( el )/(6667-=10)667. 6- (1010=e=英寸磅 2021

18、-5-15有限单元法简介26 四、利用有限元软件进行工程分析 所有的通用有限元软件都包括：前处前处 理、求解器、后处理理、求解器、后处理三个有逻辑顺序 的模块。在进行实际工程分析时，也 该按照以上三个模块来进行。 进入求解器 进行求解（设 定分析步骤 ，输出变量） 前处理（建模、 材料特性、单元 选择及划分） 进入后处理（变 形图、等值线 图，列表显示 等等后处理） 2021-5-15有限单元法简介27 四、利用有限元软件进行工程分析 利用有限元软件进行工程问题的分析，一般应 按下列步骤进行： （一）、制订分析方案 需考虑以下几个方面： 2021-5-15有限单元法简介28 1、分析领域 几何

19、体几何体 载荷载荷 物理系统物理系统 结构结构 热热 电磁电磁 2021-5-15有限单元法简介29 2、分析目标 力？ 位移？ 温度？ 还是其他？ 2021-5-15有限单元法简介30 3、线性 / 非线性分析 “我的物理系统是在线性还是非线性状态下工作？线性我的物理系统是在线性还是非线性状态下工作？线性 求解能满足我的需要吗？如果不能，必须考虑哪种非线求解能满足我的需要吗？如果不能，必须考虑哪种非线 性特性？性特性？” 许多情况和物理现象都要求进行非线性计许多情况和物理现象都要求进行非线性计 算。算。 (a) 订书钉订书钉 t0t1t2t3 f u (b) 木制书架木制书架 b1b2 (c

20、) 气动带气动带 f u f u 2021-5-15有限单元法简介31 4、静力 / 动力分析 静力求解能否满足你的分析要求？如果不能，应当进行静力求解能否满足你的分析要求？如果不能，应当进行 那种动力分析？动力分析的所有载荷都是随时间变化的那种动力分析？动力分析的所有载荷都是随时间变化的 ，但在许多情况下动力影响可以忽略不计。，但在许多情况下动力影响可以忽略不计。 .一般情况下，激励频率低于结构最小固有频率一般情况下，激励频率低于结构最小固有频率 的的1/31/3时静力求解就足够了。时静力求解就足够了。 .惯性力是动力问题不同于静力问题的关键之处惯性力是动力问题不同于静力问题的关键之处 。

21、准则准则 2021-5-15有限单元法简介32 5、分析细节的考虑 在建立分析模型之前必须制订好建模方案：在建立分析模型之前必须制订好建模方案： 必须考虑那些细节问题？必须考虑那些细节问题？ 对称对称/ /反对称反对称/ /轴对称？轴对称？ 模型中存在应力奇异？模型中存在应力奇异？ 选用那种类型的单元？选用那种类型的单元？ .线单元线单元 .壳单元壳单元 .x xy y平面单元平面单元 -平面应力或应变单元平面应力或应变单元 -轴对称单元轴对称单元 -谐单元谐单元 .实体单元实体单元 .专用单元专用单元 .线性单元线性单元/ /高阶单元高阶单元/p/p单元单元 .四边形单元四边形单元/ /三角

22、形单元，块单元三角形单元，块单元/ /四面体单元四面体单元 2021-5-15有限单元法简介33 6 6、充分利用结构的对称性、充分利用结构的对称性 p p p p p 2021-5-15有限单元法简介34 7、网格密度 相邻单元的尺寸尽可能接近相邻单元的尺寸尽可能接近 应力变化大处单元应密集一些。结点的多少与疏密要考虑计算应力变化大处单元应密集一些。结点的多少与疏密要考虑计算 机的容量和计算精度机的容量和计算精度 结点所连接的单元个数尽可能一致。结点所连接的单元个数尽可能一致。 宜宜 不宜不宜 2021-5-15有限单元法简介35 8、单位制 注意：注意： ansys和和abaqus大型有限

23、元软件中，没有固定的单大型有限元软件中，没有固定的单 位制，大家在使用的过程中，可以自己选用前后一致的位制，大家在使用的过程中，可以自己选用前后一致的 一套单位制，则最后所得结果的单位即为即为所选单位一套单位制，则最后所得结果的单位即为即为所选单位 制对应的单位制对应的单位。 建议：尽量采用国际单位制 2021-5-15有限单元法简介36 9、材料特性 材料特性是有限元分析必须提供的数据，其 准确与否直接影响到计算的精度；必要的时 候需通过试验提供； 一个复杂分析中可能包含很多种性质截然不 同的材料，建模的时候应以足够的关键字以 识别； 很多有限元软件中，都提供用户接口，若软 件中没有现成的材料模型，用户可以自行添 加 2021-5-15有限单元法简介37 10、载荷 l有限元软件中的载荷除了传统意义的载荷 （重力、集中力、温度、电势等）外，还包 括边界条件 l在模型建立之前，应该确定所分析模型的工 作环境、作用载荷的种类、大小、方向，作 用位置等，这是保证分析正确的前提条件 2021-5-15有限单元法简介38 11、求解器 最后，根据分析问题的类型及要求，选择 合适的求解器进行求解即可。 ok! 可以利用软件建模了！ 2021-5-15有限单元法简介39 四、利用有限元软件进行工程分析 （二）