高中数学 考点41 随机事件的概率、古典概型、几何概型（含2016年高考试题）新人教A版

1、考点41 随机事件的概率、古典概型、几何概型 一、选择题1.(2016全国卷高考理科T4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.B.C. D.【解析】选B.如图所示,画出时间轴:小明到达的时间会随机地落在图中线段AB中,而当他到达时间落在线段AC或DB时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型,所求概率P=.2.(2016全国卷高考文科T3)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在

2、同一花坛的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.将4种颜色的花任选2种种在花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,有6种种法,其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有4种,故概率为.3.(2016全国卷理科T10)从区间0,1随机抽取2n个数x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A.B.C.D.【解题指南】xi0,1,yi0,1,i=1,2,3,n,故数对(xi,yi)(i=1,2,3,n)在以1为边长的正方形内,两数的平方和小于1的数对在以1为半径的圆内,

3、利用几何概型公式进行估计的值.【解析】选C.由题意得:(xi,yi)(i=1,2,n)在如图所示的正方形中,而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中,由几何概型概率计算公式知,所以=.4.(2016全国卷文科T8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.B.C.D.【解题指南】本题为几何概型中的长度比,利用相应公式进行计算.【解析】选B.至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为.5.(2016全国卷文科T5)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,

4、2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.B.C.D.【解题指南】根据基本事件的情况结合古典概型求解.【解析】选C.根据题意可以知道,所输入密码所有可能发生的情况如下:M1,M2,M3,M4,M5,I1,I2,I3,I4,I5,N1,N2,N3,N4,N5共15种情况,而正确的情况只有其中一种,所以输入一次密码能够成功开机的概率是.6.(2016天津高考文科T2)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为()A.B.C.D. 【解题指南】利用并事件的概率公式求解.【解析】选A.P(甲不输)=P(和棋)+P(甲获胜)=.7.(2016北

5、京高考文科T6)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为()A. B.C.D.【解题指南】本题属于古典概型的概率计算问题.【解析】选B.把5名同学依次编号为甲乙丙丁戊,基本事件空间=甲乙,甲丙,甲丁,甲戊,乙丙,乙丁,乙戊,丙丁,丙戊,丁戊,包含基本事件总数n=10.设A表示事件“甲被选中”,则A=甲乙,甲丙,甲丁,甲戊,包含基本事件数m=4.所以概率为P=.二、填空题8.(2016山东高考理科T14)在-1,1上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为.【解题指南】这是一个长度型几何概型的概率问题.根据事件发生的条件可求出k所在的区间长度

6、.进而容易求解.【解析】若直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,则有圆心到直线的距离d=3,即-k,所以所求概率P=.答案: 9.(2016江苏高考T7)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.【解题指南】列举出所有基本事件的结果,利用古典概型的概率公式计算.【解析】将骰子先后抛掷2次的点数记为(x,y),则共有36个等可能基本事件,其中点数之和大于或等于10的基本事件有6种:(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6).所以所求概率为=.答案: 3、 解答题10.(2

7、016全国卷文科T18)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数012345频数605030302010(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值.(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值.(3)求续保人本年度平均保费的估计值.【解题指南】(1)由已知可得续保人本年度的保费不高于

8、基本保费的频数,进而可得()的估计值.(2)由已知可得续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%的频数,对应于出险次数为2和3次的情况,进而可得()的估计值.(3)计算出险次数的频率,进而可得续保人本年度的平均保费估计值.【解析】(1)事件A发生当且仅当出险次数小于2,由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.

9、150.150.100.05调查的续保人的平均保费为0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.1925a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.11.(2016山东高考文科T16)某儿童乐园在六一儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:若xy3,则奖励玩具一个;若xy8,则奖励水杯一个;其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率.(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.【解题指南】用图表法能有效迅捷地解决“掷骰子”型概率问题.列出图表,基本事件总数,和各类试验结果一目了然.【解析】用数对表示儿童参加活动先后记录的数,其活动记录与奖励情况如下:xyyx123411234224683369124481216显然,基本事件总数为16.(1)xy3情况有5种,所以小亮获得玩具的概率=.(2)xy8情况有6种,所以获得水杯的概率=,所以小亮获得饮料的概率=,即小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.12.(2016四川高考文科T13)从2,3,8,9中任取两个